射影面积法求二面角.docx
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射影面积法求二面角
s射影
射影面积法(cosq=
S原
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积
S射
的都可利用射影面积公式(cos—)求出二面角的大小。
s斜
例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中,
AD//BC,ZABC=90,SA丄平面ABC,SA=AB=BC=1,
1
AD=2.求面SCD与面SAB所成的角的大小。
解法1:
可用射影面积法来求,
这里只要求出S^scd与S^sab即可,
故所求的二面角0应满足cost=二—
=?
勺"卫\皿汽返=322
例2.(2008北京理)如图,在三棱锥P-ABC中,
AC=BC=2,ACB^90,
AP二BP二AB,PC_AC.
(I)求证:
PC_AB;
(n)求二面角B-AP-C的大小;
C
解:
(I)证略
(n):
AC=BC,AP=BP,△APC◎△BPC.
又PC_AC,PC_BC•又ACB=90;,即AC_BC,且ACRPC二C,
BC_平面PAC.
取AP中点E•连结BE,CE.
AB二BP,BE_AP.
EC是BE在平面PAC内的射影,
.CE_AP.
S原=S"abe=—AE*EB-.2*6=•.3
设二面角B-AP-C的大小为二,则cos「:
二§射
面角B-AP-C的大小为!
:
-arcco^^
3
练习1:
如图5,E为正方体ABCD—AiBiCiDi的
棱CCi的中点,求平面ABiE和底面AiBiCiDi所成
图5
•••△人。
£是厶ABE在平面ACP内的射影,
2.如图一,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA_平面ABCD,
AP=AB=2,BC=2'.2,E,F分别是AD,PC的中点.
⑴证明:
PC_平面BEF;
(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小.
题
(1)解略;题
(2)中平面BEF与平面BAP夹角即为平面BEF与平面BAP所成的锐二面角.
方法一:
垂面法
在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面,此平面截得的图形便是二面角的平面角•
如图一:
;PA_平面ABCD,BC平面ABCD,PA_BC•
又、・BC_AB,ABnPA=A,.BC_平面BAP.
又:
BC平面PBC,.平面PBC_平面BAP.
由题
(1),PC丄平面BEF,PCu平面BEF,二平面PBC丄平面BEF.所以.PBF是所求二面角的平面角.
:
PB=Vpa2+AB2=2血,PF=丄PC=丄Jab2+bc2+pa2,
22
pf72兀
.sinPBF,PBF.
PB24
即平面BEF与平面BAP夹角为一.
4
方法二:
平移平面法
如果两平行平面同时与第三个平面相交,那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面
角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角如图二:
取BC的中点G,连接FG,EG.
:
E,F分别是AD,PC的中点,EGLAB,FGlPB.
又・・・fgReg二g,ab^pb二b,
-平面EFG二平面BAP.
-二面角B-EF-G的大小就是平面BEF与平面BAP夹角的大小.可以证明•BFG为二面角B-EF-G的平面角,并求出其大小为.
4
方法三:
射影法
S
利用公式cos,其中S表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积,S表示
S
此多边形在另一个半平面射影的面积,二表示原图形与射影图形所成的二面角.
如图三:
取PB的中点H,连接FH,AH,
■-1I-1
;F为PC中点,FH二BC,AE二BC.
由解法一知,BC_平面BAP,
.FH_平面BAP,AE_平面BAP,
.点F、E在平面BAP内的射影分别为H、A.
.=BEF在平面BAP上的射影为ABAH.
可以证明;BEF和:
BAH均为直角三角形•
1:
HF;BC,AE:
BC,HF二BCBC,
2
.四边形HFEA为平行四边形,.EF二AE.
记平面BEF与平面BAP夹角为二,则cost-SB塑2
S霑EF2
所以,即平面BEF与平面BAP夹角为一.
44
3•已知ABC是正三角形,PA_平面ABC
且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。
B
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角
来度量的,本题可利用三垂线定理(逆)来作
平面角,还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。
解1:
(三垂线定理法)
取AC的中点E,连接BE,过E做EF_PC,连接BF'■PA_平面ABC,PA平面PAC
.平面PAC_平面ABC,平面PAC平面ABC=AC
.BE_平面PAC
由三垂线定理知BF_PC
■■BFE为二面角A-PC-B的平面角
设PA=1,E为AC的中点,BE=-^,EF=>
24
tanBFE=里a6EF
/BFE=argtan6
解2:
(三垂线定理法)
取BC的中点E,连接AE,PE过A做AF_PE,FM_PC,连接
平面PAE_平面PBC,平面PAE平面PBC=PE
由三垂线定理知AM—PC
FMA为二面角A-PC-B的平面角
设PA=1,AM=,,AF=翌AE=£
2PE7
.sinFMA=生42
AM7
..FMA=argsin守
解3:
(投影法)
.平面PAC_平面ABC,平面PAC平面ABC=AC
.BE_平面PAC
PEC是PBC在平面PAC上的射影
设PA=1,则PB=PC=2,AB=1
4.在单位正方体ABQP-ABCD中,
由射影面积公式得,COS二瓷叮亠吨吟,
三垂线法
利用三垂线定理或逆定理构造出二面角的平面角,进而求解。
解法一•作AO_AC,取AB的中点M,
连结OMAM•
AM_AB
AmbC=AM_平面ABC
AbPIbc二B
.AOM为所求二面角A-AC-B的平面角
在RtLAAC中
AC6
AC"3
.sinAOM
AM.3
AO一2
.AOM=60;
•射影法
利用斜面面积和射影面积的关系:
S射影二S斜面cost(v为斜面与射影所成二面角的
平面角)直接求解。
解法二、取AC的中点G,连结BG
BG_AC
BG—AA=BG_平面AAC
ACDAA二A
LABC在平面A,AC上的射影为LA,GC
S二
SRtLA|BC-2
S[AGC-SRtAiAG-
222
=—=
244
ABC
COST
.COS--
从而二面角A-AQ-B的大小为605
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- 射影 面积 二面角
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