13标量场的梯度.docx
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13标量场的梯度
l=i
JU
1.3标量场的梯度
一、方向导数
1•方向导数的定义
方向导数表征标量场空间中,某点处场值沿特定方向变化的规律。
du
~dl
方向导数的物理意义
穿I%是标量场“(M)在点处沿肪向对距离的变化率
1)罟1%>0,标量场"在点M。
沿了方向是增加的;
2)罟Im'O,标量场"在点陆沿丁方向是减小的;
3)瓠。
=0,标量场“在点M。
沿了方向无变化。
方向导数与选取的考察方向有关。
一lim"(M)—况(M°)牡=起—&—
2.方向导数的计算公式
设一个标量函数u(x,y,z),若函数u在点P可微,贝!
|u在点P沿任意方向1的方向导数为
du
~dl
dudx
F
dxdl
dudydydl
dudzdzdl
设了方向的方向余弦是coscos/?
COS/,即
du
~dl
则方向导数的计算公式为
dududu
——cosa+——cosp+——cosydxdydz
二、标量场的梯度
标量场在什么方向上变化率最大?
其最大的变化率是多少?
n梯度
标量场U沿指定方向的变化率就是标量场在该方向的方向导数
du.du一du一du一一一
=(CxHHCz)•(COSOCCx+COSDCyCOSVCz)dldxdydz'
哈密顿算符
l=.
'矢量一服从矢量运算的规则;
算子一代表一种微分运算,服从微分运算规则;
1)▽本身无独立意义,只有作用于标量函数或矢量函数时才代委一种运算。
5V-AVxA
2)只对它后边的量起运算作用。
不能随便交换▽的位置。
dudu_du_du__十_
=(CxH€yHCz)•(COSOCCx+COSpCy+COS卩0乙)dldxdy'dz
—zdd0_、V=(——ex+——ex+——ejdxxdyydzz
z
dxdydz
「fdlt〜dll〜dllVIt—CxHCyFC
Vw=gradu
Qu->
——=gradu・ei=1graduIIeiIcos9dl
语1=1du
)—=1graduIcos0dl
梯度的定义:
在空间某点的任意方向上,方向导数有无穷多个,其中有一个值最大,这个方向导数的最大值定义为梯度。
max
式中:
爲是场量U变化率最大的方向上的单位矢量。
梯度的性质
*标量场的梯度为矢量,且是坐标位置的函数
*标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率
*标量场梯度的方向垂直于等值面,为标量场
增加最快的方向
=1
*标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影
直角坐标系中
柱坐标系中
gradu=Vu=ex
球坐标系中
等温线分布
du-du一du
H€yF€z
dxdydz
7「du-1du-du
gradu=\u=ep一+e(p+冬一
dppd(pdz
了「du-1du-1du
gradu—yU—Crhcofc(p
drrdOrsinOd(p
2.梯度的基本运算公式
1)VC=O(C为常数)
2)V(Cw)二CVw
3)V(w±v)=Vw±Vv
4)V(wv)=wVv+vVw
5)VF(w)=
6)V(-)=4(vVw-wVv)
vv2dFdF
7)VF(^,v)=——Vw+——Vv
dudv
式中:
c为常数;况,卩为坐标变量函数;
3.梯度的重要性质
VxVw三0
高度场的梯度与过该点的等高线垂直;
数值等于该点位移的最大变化率;
指向地势升高的方向。
例2电位场的梯度
图2电位场的梯度
电位场的梯度与过该点的等位线垂直;
数值等于该点的最大方向导数;
指向电位增加的方向。
产生场的场源所在的空间位置
点称为源点,记为(H,y⑺或卩
场所在的空间位置点称为场点,记为(x,y,刃或7
源点到场点的距离为R=\r-r
从源点指向场点的矢量为
例3求
KK
▽表示对(兀,y,z)运算,▽'表示对(0』',z')运算。
dR一
莎+5
dR_dR
一+e7一
dyzdz
dR
x-xr
dR
y-yf
dR_z~z
dx
一R
dy
R
dz~R
NR卫
PR=
—►
R
R
R
1
R
V—=
R
FI3
R2
*飞一
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号心“)吩务吩务鲁
V/W=/WV^=
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