第13讲长方体和正方体小学三年级奥数讲义.docx
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第13讲长方体和正方体小学三年级奥数讲义.docx
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第13讲长方体和正方体小学三年级奥数讲义
第13讲长方体和正方体
(一)
一、知识要点
在数学竞赛中,有许多有关长方体、正方体的问题。
解答稍复杂的立体图形问题要注意几点:
1.必须以基本概念和方法为基础,同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来;
2.依赖已经积累的空间观念,观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化;
3.求一些不规则的物体体积时,可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练
【例题1】一个零件形状大小如下图:
算一算,它的体积是多少立方厘米?
表面积是多少平方厘米?
(单位:
厘米)
【思路导航】
(1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积,左边的长方体体积是10×4×2=80(立方厘米),右边的长方体的体积是10×(6-2)×2=80(立方厘米),整个零件的体积是80×2=160(立方厘米);
(2)求这个零件的表面积,看起来比较复杂,其实,朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等;朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。
因此,此零件的表面积就是(10×6+10×4+2×2)×2=232(平方厘米)。
想一想:
你还能用别的方法来计算它的体积吗?
练习1:
1.一个长5厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体,被切去一块后(如图),剩下部分的表面积和体积各是多少?
2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段,表面积增加了2平方分米,求这根木料原来的体积。
3.有一个长8厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体木块,在它的左右两角各切掉一个正方体(如图),求切掉正方体后的表面积和体积各是多少?
【例题2】有一个长方体形状的零件,中间挖去一个正方体的孔(如图),你能算出它的体积和表面积吗?
(单位:
厘米)
【思路导航】
(1)先求出长方体的体积,8×5×6=240(立方厘米),由于挖去了一个孔,所以体积减少了2×2×2=8(立方厘米),这个零件的体积是240-8=232(立方厘米);
(2)长方体完整的表面积是(8×5+8×6+6×5)×2=236(平方厘米),但由于挖去了一个孔,它的表面积减少了一个(2×2)平方厘米的面,同时又增加了凹进去的5个(2×2)平方厘米的面,因此,这个零件的表面积是236+2×2×4=252(平方厘米)。
练习2:
1.有一个形状如下图的零件,求它的体积和表面积。
(单位:
厘米)。
2.有一个棱长是4厘米的正方体,从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后,剩下物体的体积和表面积各是多少?
3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上(如图),那么得到的物体的体积和表面积各是多少?
【例题3】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体,拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。
原正方体的表面积是多少平方厘米?
【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体,其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积,每块正方形的面积是50÷4=12.5(平方厘米)。
正方体有6个这样的面,所以,原来正方体的表面积是12.5×6=75(平方厘米)。
练习3:
1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体,这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米,而长是原来长方体的2倍。
如果拼成的长方体的长是24厘米,那么它的体积是多少立方厘米?
2.一根长80厘米,宽和高都是12厘米的长方体钢材,从钢材的一端锯下一个最大的正方体后,它的表面积减少了多少平方厘米?
3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体,它们的表面积最多会减少多少平方分米?
【例题4】把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。
已知每块砖的体积是288立方厘米,求大长方体的表面积。
【思路导航】要求大长方体的表面积,必须知道它的长、宽和高。
我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高,显然,a=4h,即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a,砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。
由1/6a3=288可知,a=12.b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米,宽12厘米,高是8+3=11厘米,表面积就不难求了。
练习4:
1.一块小正方体的表面积是6平方厘米,那么,由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米?
2.一个长方体的体积是385立方厘米,且长、宽、高都是质数,求这个长方体的表面积。
3.有24个正方体,每个正方体的体积都是1立方厘米,用这些正方体可以拼成几种不同的长方体?
用图画出来。
第14讲长方体和正方体
(二)
一、知识要点
在长方体、正方体问题中,我们还会常常遇到这样一些情况:
把一个物体变形为另一种形状的物体;把两个物体熔化后铸成一个物体;把一个物体浸入水中,物体在水中会占领一部分的体积。
解答上述问题,必须掌握这样几点:
1.将一个物体变形为另一种形状的物体(不计损耗),体积不变;
2.两个物体熔化成一个物体后,新物体的体积是原来物体体积的和;
3.物体浸入水中,排开的水的体积等于物体的体积。
二、精讲精练
【例题1】有两个无盖的长方体水箱,甲水箱里有水,乙水箱空着。
从里面量,甲水箱长40厘米,宽32厘米,水面高20厘米;乙水箱长30厘米,宽24厘米,深25厘米。
将甲水箱中部分水倒入乙水箱,使两箱水面高度一样,现在水面高多少厘米?
【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样,我们可以这样思考:
把两个水箱并靠在一起,水的体积就是(甲水箱的底面积+乙水箱的底面)×水面的高度。
这样,我们只要先求出原来甲水箱中的体积:
40×32×20=25600(立方厘米),再除以两只水箱的底面积和:
40×32+30×24=2000(平方厘米),就能得到后来水面的高度。
练习1:
1.有两个水池,甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米,乙水池空着,它长6分米、宽和高都是4分米。
现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池,使两个水池中水面同样高。
问水面高多少?
2.有一个长方体水箱,从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米,箱中水面高10厘米。
放进一个棱长20厘米的正方体铁块后,铁块顶面仍高于水面。
这时水面高多少厘米?
3.一段钢材长15分米,横截面面积是1.2平方分米。
如果把它煅烧成一横截面面积是0.1平方分米的钢筋,求这根据钢筋的长。
【例题2】将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积。
【思路导航】因为正方体的六个面都相等,而54=6×9=6×(3×3),所以这个正方体的棱是3厘米。
用同样的方法求出另两个正方体的棱长:
96=6×(4×4),棱长是4厘米;150=6×(5×5),棱长是5厘米。
知道了棱长就可以分别算出它们的体积,这个大正方体的体积就等于它们的体积和。
练习2:
1.有三个正方体铁块,它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。
现将三块铁熔成一个大正方体,求这个大正方体的体积。
2.将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体,已知这个长方体的长是13厘米,宽7厘米,求它的高。
3.把8块边长是1分米的正方体铁块熔成一个大正方体,这个大正方体的表面积是多少平方分米?
【例题3】有一个长方体容器,从里面量长5分米、宽4分米、高6分米,里面注有水,水深3分米。
如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中,水面上升多少分米?
【思路导航】铁块的体积是2×2×2=8(立方分米),把它浸入水中后,它就占了8立方分米的空间,因此,水上升的体积也就是8立方分米,用这个体积除以底面积(5×4)就能得到水上升的高度了。
练习3:
1.有一个小金鱼缸,长4分米、宽3分米、水深2分米。
把一块假山石浸入水中后,水面上升0.8分米。
这块假山石的体积是多少立方分米?
2.有一个正方体容器,边长是24厘米,里面注满了水。
有一根长50厘米,横截面是12平方厘米的长方形的铁棒,现将铁棒垂直插入水中。
问:
会溶出多少立方厘米的水?
3.有一块边长是5厘米的正方体铁块,浸没在一个长方体容器里的水中。
取出铁后,水面下降了0.5厘米。
这个长方体容器的底面积是多少平方厘米?
【例题4】有一个长方体容器(如下图),长30厘米、宽20厘米、高10厘米,里面的水深6厘米。
如果把这个容器盖紧,再朝左竖起来,里面的水深应该是多少厘米?
【思路导航】首先求出水的体积:
30×20×6=3600(立方厘米)。
当容器竖起来以后,水流动了,但体积没有变,这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体。
只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。
练习4:
1.有两个长方体水缸,甲缸长3分米,宽和高都是2分米;乙缸长4分米、宽2分米,里面的水深1.5分米。
现把乙缸中的水倒进甲缸,水在甲缸里深几分米?
2.有一块边长2分米的正方体铁块,现把它煅造成一根长方体,这长方体的截面是一个长4厘米、宽2厘米的长方形,求它的长。
3.像例题中所说,如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下,这时的水深又是多少厘米?
第15讲长方体和正方体(三)
一、知识要点
解答有关长方体和正方体的拼、切问题,除了要切实掌握长方体、正方体的特征,熟悉计算方法,仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外,还必须知道:
把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分,新增加的表面积等于切面面积的两倍。
二、精讲精练
【例题1】一个棱长为6厘米的正方体木块,如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块,表面积增加多少厘米?
【思路导航】把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体,可以按下图中的线共锯6次,每锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的面,锯6次共增加36×2×6=432平方厘米的面积。
因此,锯好后表面积增加432平方厘米。
练习1:
1.把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体,这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米?
2.有一个棱长是1米的正方体木块,如果把它锯成体积相等的8个小正方体,表面积增加多少平方米?
3.把一个正方体的六个面都涂上红色,然后把它锯两次锯成4个同样的小长方体,没有涂颜色的面积是60平方厘米。
求涂上红色的面积一共是多少平方厘米?
【例题2】有一个正方体木块,把它分成两个长方体后,表面积增加了24平方厘米,这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米?
【思路导航】把正方体分成两个长方体后,增加了两个面,每个面的面积是24÷2=12平方厘米,而正方体有6个这样的面。
所以原正方体的表面积是12×6=72平方厘米。
练习2:
1.把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是多少平方厘米?
2.有一个正方体木块,长4分米、宽3分米、高6分米,现在把它锯成两个长方体,表面积最多增加多少平方分米?
3.有三块完全一样的长方体积木,它们的长是8厘米、宽4厘米、高2厘米,现把三块积木拱成一个大的长方体,怎样搭表面积最大?
最大是多少平方厘米?
【例题3】有一个正方体,棱长是3分米。
如果按下图把它切成棱长是1分米的小正方体,这些小正方体的表面积的和是多少?
想一想:
在切的过程中,每切一切,就会增加两个3×3平方分米的面,你能用这种思路来计算所求问题吗?
练习3:
1.用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体,至少需要多少个小正方体?
如果要摆一个棱长是6厘米的正方体,需要多少个小正方体?
2.有一个长方体,长10厘米、宽6厘米、高4厘米,如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体,一共能锯多少个?
这些小正方体的表面积和是多少?
3.把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体,这个长方体的表面积至少是多少平方厘米?
【例题4】一个正方体的表面涂满了红色,然后如下图切开,切开的小正方体中:
(1)三个面涂有红色的有几个?
(2)二个面涂有红色的有几个?
(3)一个面涂有红色的有几个?
(4)六个面都没有涂色的有几个?
【思路导航】按题中的要求切,切成的小正方体一共有3×3×3=27个。
(1)三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处,共有8个;
(2)二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上,共有1×12=12个;
(3)一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上,共有1×6=6个;
(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间,有27-(8+12+6)=1个。
练习4:
1.把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色,然后切成1立方厘米的小正方体,这些小正方体中,一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个?
2.把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体,然后在大正方体的表面涂上颜色,已知两面被涂上红色的小正方体共有24个,那么,这些小正方体一共有多少个?
3.把1立方米的正方体木块的表面涂上颜色,然后切成1立方分米的小正方体,在这些小正方体中,六个面都没有涂色的有多少个?
第16讲倍数问题
(一)
一、知识要点
倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一,它是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系,求这几个数的应用题。
解答倍数问题,必须先确定一个数(通常选用较小的数)作为标准数,即1倍数,再根据其它几个数与这个1倍数的关系,确定“和”或“差”相当于这样的几倍,最后用除法求出1倍数。
二、精讲精练
【例题1】两根同样长的铁丝,第一根剪去18厘米,第二根剪去26厘米,余下的铁丝第一根是第二根的3倍。
原来两根铁丝各长多少厘米?
【思路导航】由于第二根比第一根多剪去26-18=8厘米,所以剩下的铁丝第一根就比第二根多(3-1)倍。
因此,8÷(3-1)=4(厘米)。
就是现在第二根铁丝的长度,它原来长4+26=30厘米。
练习1:
1.两个数的和是682.其中一个加数的个位是0,如果把这个0去掉,就得到另一个加数。
这两个加数各是多少?
2.两根绳子一样长,第一根用去6.5米,第二根用去0.9米,剩下部分第二根是第一根的3倍。
两根绳子原来各长多少米?
3.一筐苹果和一筐梨的个数相同,卖掉40个苹果和15个梨后,剩下的梨是苹果的6倍。
原来两筐水果一共有多少个?
【例题2】甲组有图书是乙组的3倍,若乙组给甲组6本,则甲组的图书是乙组的5倍。
原来甲组有图书多少本?
【思路导航】甲组的图书是乙组的3倍,若乙组拿出6本,甲组相应的也拿出6×3=18本,则甲组仍是乙组的3倍。
事实上甲组不但没有拿出18本,反而接受了乙组的6本,18+6就正好对应着后来乙组的(5-3)倍。
因此,后来乙组有图书(18+6)÷(5-3)=12本,乙组原来有12+6=18本,甲组原来有18×3=54本。
练习2:
1.原来小明的画片是小红的3倍,后来二人各买了3张,这样小明的画片就是小红的2倍。
原来二人各有多少张画片?
2.一个书架分上、下两层,上层的书的本数是下层的4倍。
从下层拿5本放入上层后,上层的本数正好是下层的5倍。
原来下层有多少本书?
3.幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍,吃掉10个梨和6个苹果后,剩下的苹果个数正好是梨的5倍。
原来买来苹果和梨共多少个?
【例题3】幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。
大班的同学每7人一组,每组领3个梨和4个苹果,结果梨正好分完,苹果还剩下16个。
大班共有多少个同学?
【思路导航】因为苹果是梨的2倍,每组分3个梨和3×2=6个苹果最后就一起分完。
可每组分4个苹果,少分6-4=2个,所以有8组同学,全班有7×8=56人。
练习3:
1.高年级同学植树,共有杉树苗和杨树苗100棵。
如果每个小组分给杉树苗6棵,杨树苗8棵,那么,杉树苗正好分完,杨树苗还剩2棵。
两种树苗原来各有多少棵?
2.高年级同学植树,已知杨树的棵数正好是杉树的2倍。
如果每小组分到杉树6棵,杨树8棵,那么,杉树正好分完,杨树还剩20棵。
两种树原来各的多少棵?
3.同学们带着水果去看“敬老院”的老人,带的苹果是桔子的3倍。
如果每位老人拿2个桔子和4个苹果,那么,桔子正好分完,苹果还剩下14个。
同学们把水果分给了几位老人?
【例题4】有两筐桔子,如果从甲筐拿出8个放进乙筐,两筐的桔子就同样多;如果从乙筐拿出13个放到甲筐,甲筐的桔子是乙筐的2倍。
甲、乙两筐原来各有多少个桔子?
【思路导航】根据“从甲筐拿出8个放进乙筐,两筐的橘子就同样多”可知,原来甲筐比乙筐多8×2=16个橘子;如果从乙筐拿出13个放到甲筐,这时,甲筐就比乙筐多16+13×2=42个。
因此,乙筐里还有42÷(2-1)=42个,原来乙筐里有42+13=55个,甲筐里原来有55+16=71个。
练习4:
1.甲、乙两仓存有货物,若从甲仓取31吨放入乙仓,则两仓所存货物同样多;若乙仓取14吨放入甲仓,则甲仓的货物是乙仓的4倍。
原来两仓各存货物多少吨?
2.兄弟两人原有同样多的人民币,后来哥哥买了5本书,平均每本8.4元;弟弟买了3支笔,每支笔1.2元,现在弟弟的钱是哥哥的3倍。
兄弟两人原来各有多少元?
3.学校组织夏令营活动,如果参加的女生名额给5个男生,则男、女生人数同样多;如果参加的男生名额给4个女生,则男生是女生人数的一半。
原定夏令营中男、女生各多少人?
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