人教版九年级下册数学2721两角分别相等的两个三角形相似导学案.docx
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人教版九年级下册数学2721两角分别相等的两个三角形相似导学案
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东宫白庶子,南寺远禅师。
——白居易《远师》
27.2.1相似三角形的判定
第4课时两角分别相等的两个三角形相似
学习目标:
1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.
2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法,并能进行相关计算.(重点、难点)
3.掌握判定两个直角三角形相似的方法,并能进行相关计算.
一、知识链接
学校举办活动,需要三个内角分别为90°,60°,30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干.小明手上的测量工具只有一个量角器,他该怎么做呢?
一、要点探究
探究点1:
两角分别相等的两个三角形相似
操作与同伴合作,一人画△ABC,另一人画△A′B′C′,使∠A=∠A′=40°,∠B=∠B′=55°,探究下列问题:
问题1度量AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的长,并计算出它们的比值.你有什么发现?
问题2试证明△ABC∽△A′B′C′.
证明:
在△A′B′C′的边A′B′(或A′B′的延长线)上,
截取A′D=AB,过点D作DE//B′C′,交A′C′于点E,【补全证明过程】
【要点归纳】由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理:
两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言:
∵∠A=∠A',∠B=∠B',∴△ABC∽△A'B'C'.
【典例精析】
例1如图,在△ABC和△DEF中,∠A=40°,∠B=80°,∠E=80°,∠F=60°.求证:
△ABC∽△DEF.
【针对训练】如图,在△ABC和△A'B'C'中,若∠A=50°,∠B=75°,∠A'=50°,当∠C'=时,△ABC∽△A'B'C'.
例2如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:
PA·PB=PC·PD.
证明:
连接AC,DB.
∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角,
∴∠A=_____,
同理∠C=_______,
∴△PAC∽△PDB,
∴_____,即PA·PB=PC·PD.
【针对训练】如图,⊙O的弦AB,CD交于点P,若PA=3,PB=8,PC=4,则PD=.
【分析】此图中,没有完整的三角形出现,根据题目给的四条边,可以知道,它们属于△BCP和△ADP因此连接AD、BC,根据圆周角的性质得到解题所需角度,进而求解
探究点2:
判定两个直角三角形相似
例3如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8.E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂为D.求AD的长.
【要点归纳】由此得到一个判定直角三角形相似的方法:
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
思考对于两个直角三角形,我们还可以用“HL”判定它们全等.那么,满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗?
证明如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°,.
求证:
Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
【要点归纳】由此得到另一个判定直角三角形相似的方法:
边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
例4如图,∠ACB=∠ADC=90°,AD=2,CD=
,当AB的长为时,△ACB与△ADC相似.
【分析】观察得到AB和A分别是斜边,但两条直边的对应关系并没有确定,因此需要分类讨论
【针对训练】在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1)∠A=35°,∠B′=55°:
;
(2)AC=3,BC=4,A′C′=6,B′C′=8:
;
(3)AB=10,AC=8,A′B′=25,′C′=15:
.
二、课堂小结
1.如图,已知AB∥DE,∠AFC=∠E,则图中相似三角形共有()
A.1对 B.2对C.3对 D.4对
第1题图第2题图第3题图第4题图
2.如图,△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD:
DE=3:
5,AE=8,BD=4,则DC的长等于()
A.
B.
C.
D.
3.如图,点D在AB上,当∠=∠(或∠=∠)时,△ACD∽△ABC;
4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D.若AB=6,AD=2,则BD=,AC=,BC=.
5.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:
△ADE∽△EFC.
6.如图,△ABC的高AD,BE交于点F.求证:
.
7.如图,∠1=∠2=∠3,求证:
△ABC∽△ADE.
参考答案
合作探究
一、要点探究
探究点1:
两角分别相等的两个三角形相似
问题2解:
则有△A′DE∽△A′B′C′,∠A′DE=∠B′.
∵∠B=∠B′,∴∠A′DE=∠B.
又∵A′D=AB,∠A=∠A′,∴△A′DE≌△ABC,∴△ABC∽△A′B′C′.
【典例精析】
例1证明:
∵在△ABC中,∠A=40°,∠B=80°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=60°.
∵在△DEF中,∠E=80°,∠F=60°.∴∠B=∠E,∠C=∠F.∴△ABC∽△DEF.
【针对训练】55°
例2∠D∠B
【针对训练】6
探究点2:
判定两个直角三角形相似
例3解:
∵ED⊥AB,∴∠EDA=90°.又∠C=90°,∠A=∠A,∴△AED∽△ABC.
∴
.∴
.
证明证明:
设
=k,则AB=kA′B′,AC=kA′C′.
由勾股定理,得
,
.
∴
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
例43或3
解析:
∵∠ADC=90°,AD=2,CD=
,
∴
.
要使这两个直角三角形相似,有两种情况:
(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有AC:
AD=AB:
AC,即
:
2=AB:
,解得AB=3;
(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有AC:
CD=AB:
AC,即
:
=AB:
,解得AB=3
.∴当AB的长为3或3
时,这两个直角三角形相似.
【针对训练】
(1)相似
(2)相似(3)相似
当堂检测
1.C2.A
3.ACDBADCACB
4.4
186
5.证明:
∵DE∥BC,EF∥AB,∴∠AED=∠C,∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.
6.证明:
∵△ABC的高AD、BE交于点F,
∴∠FEA=∠FDB=90°,∠AFE=∠BFD(对顶角相等).
∴△FEA∽△FDB,∴
.
7.证明:
∵∠BAC=∠1+∠DAC,∠DAE=∠3+∠DAC,∠1=∠3,∴∠BAC=∠DAE.
∵∠C=180°-∠2-∠DOC,∠E=180°-∠3-∠AOE,∠DOC=∠AOE(对顶角相等),
∴∠C=∠E.∴△ABC∽△ADE.
【素材积累】
1、冬天是纯洁的。
冬天一来,世界变得雪白一片,白得毫无瑕疵,白雪松软软地铺摘大地上,好似为大地铺上了一层银色的地毯。
松树上压着厚厚的白雪,宛如慈爱的妈妈温柔地抱着自己的孩子。
白雪下的松枝还露出一点绿色,为这白茫茫的世界增添了一点不一样的色彩。
2、张家界的山真美啊!
影影绰绰的群山像是一个睡意未醒的仙女,披着蝉翼般的薄纱,脉脉含情,凝眸不语,摘一座碧如翡翠的山上,还点缀着几朵淡紫、金黄、艳红、清兰的小花儿,把这山装扮得婀娜多姿。
这时,这山好似一位恬静羞涩的少女,随手扯过一片白云当纱巾,遮住了她那美丽的脸庞。
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