高中数学 第二章 平面向量 71点到直线的距离公式72向量的应用举例 新人教A版必修4.docx
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高中数学第二章平面向量71点到直线的距离公式72向量的应用举例新人教A版必修4
2019高中数学第二章平面向量7.1点到直线的距离公式、7.2向量的应用举例新人教A版必修4
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1.问题导航
(1)已知直线l的方向向量(M,N)或法向量(A,B),如何设l的方程?
(2)向量可以解决哪些常见的几何问题?
(3)向量可以解决哪些物理问题?
2.例题导读
P102例1.通过本例学习,学会利用点到直线的距离公式计算点到直线的距离.
试一试:
教材P102练习T1,T2,T3你会吗?
P102例2.通过本例学习,学会利用向量方法解答平面几何问题的方法步骤.
试一试:
教材P104习题2-7B组T1你会吗?
P103例3,例4.通过此两例学习,学会利用向量方法解答物理中位移、力等问题.
试一试:
教材P104习题2-7A组T3,B组T2你会吗?
1.直线l:
Ax+By+C=0的法向量
(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量.
(2)若直线l的方向向量v=(B,-A),则直线l的法向量n=(A,B).
(3)与直线l的法向量n同向的单位向量n0==.
2.点到直线的距离公式
点M(x0,y0)到直线l:
Ax+By+C=0的距离
d=.
3.用向量解决平面几何中的问题
(1)证明线段平行或相等,可以用向量的数乘、平行向量定理.
(2)证明线段垂直,可以用向量数量积运算.
(3)利用向量数量积运算,可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积.
4.用向量解决解析几何中的问题
解析几何是在平面直角坐标系内研究图形的性质,这类问题大多适用于向量的坐标运算,建立适当的平面直角坐标系,设出向量的坐标,将几何问题转化为向量的线性运算或数量积的运算.
5.向量在物理中的应用
向量有着丰富的物理背景,向量的物理背景是位移、力、速度等,向量数量积的物理背景是力所做的功,因此,利用向量可以解决一些物理问题.
用向量法解决物理问题时,要作出相应的几何图形,以帮助我们建立数学模型.向量在物理中的应用,如求力的合成与分解,力做功等,实际上是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后再用获得的结果解释物理现象.
1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的三角形法则求解.( )
(2)若△ABC为直角三角形,则有·=0.( )
(3)若向量∥,则AB∥CD.( )
解析:
(1)正确.物理中的力既有大小又有方向,所以力可以看作向量,F1,F2的合力可按照向量加法的三角形法则求解.
(2)错误.因为△ABC为直角三角形,角A并不一定是直角,有可能是角B或角C为直角.
(3)错误.向量∥时,直线AB∥CD或AB,CD重合.
答案:
(1)√
(2)× (3)×
2.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为( )
A.梯形 B.菱形
C.矩形D.正方形
解析:
选A.=(3,3),=(-2,-2),所以=-,与共线,但||≠||,故此四边形为梯形.
3.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们间的夹角为90°时合力大小为20N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为________N.
解析:
根据题意,当F1,F2夹角为90°时,
|F1|2+|F2|2=202,
因为|F1|=|F2|,所以|F1|=|F2|=10,
则当F1,F2夹角为120°时,它们的合力大小为||=10.
答案:
10
4.在△ABC中,若C=90°,AC=BC=4,则·=________.
解析:
因为C=90°,AC=BC=4,所以△ABC为等腰直角三角形,
所以BA=4,∠ABC=45°,所以·=16.
答案:
16
1.对直线l:
Ax+By+C=0的方向向量及法向量的两点说明
(1)设P1(x1,y1),P2(x2,y2)为直线上不重合的两点,则=(x2-x1,y2-y1)及其共线的向量λ均为直线的方向向量.显然当x1≠x2时,向量与共线,因此向量=(B,-A)为直线l的方向向量,由共线向量的特征可知(B,-A)为直线l的方向向量.
(2)结合法向量的定义可知,向量(A,B)与(B,-A)垂直,从而向量(A,B)为直线l的法向量.
2.向量法在几何证明与计算中的几个主要应用
(1)A、B、C三点共线的证法
只需证=λ或=(x1,y1),=(x2,y2)满足x1y2-x2y1=0.
(2)证明AB⊥AC的方法
只需证·=0.
(3)求A、B两点间距离的方法
可把表示成λa+μb或者求坐标(x,y),然后利用向量的运算求解.
(4)求∠AOB的方法
利用数量积定义的变形cos∠AOB=.
3.向量在物理中应用时应注意的三个问题
(1)把物理问题转化为数学问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型.
(2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.
(3)在解决具体问题时,要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识:
①力、速度、加速度和位移都是向量;
②力、速度、加速度和位移的合成与分解就是向量的加、减法;
③动量mv是数乘向量;
④功是力F与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积.
向量在解析几何中的应用
(1)经过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,2)的直线方程是________.
(2)已知圆C:
(x-3)2+(y-3)2=4及点A(1,1),M是圆C上的任一点,点N在线段MA的延长线上,且=2,求点N的轨迹方程.
[解]
(1)在直线上任取一点P(x,y),则=(x+1,y-2),
由∥a,得(x+1)×2-(y-2)×3=0,即2x-3y+8=0.故填2x-3y+8=0.
(2)设N(x,y),M(x0,y0).
因为=2,所以(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),
所以即
又因为点M(x0,y0)在圆C:
(x-3)2+(y-3)2=4上,
所以(x0-3)2+(y0-3)2=4,所以(2x)2+(2y)2=4,即x2+y2=1,所以点N的轨迹方程为x2+y2=1.
将本例
(1)中的“平行于向量”改为“法向量为”结果如何?
解:
由法向量a=(3,2),设直线的方程为3x+2y+c=0,又A(-1,2)在直线上,所以3×(-1)+2×2+c=0,得c=-1,即3x+2y-1=0.
方法归纳
向量在解析几何中的应用问题
向量与解析几何的综合是高考的热点.主要题型有:
(1)向量的概念、运算、性质、几何意义与解析几何问题结合.
(2)将向量作为描述问题或解决问题的工具.(3)以向量坐标运算为工具,考查直线与曲线相交、轨迹等问题.
1.
(1)已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m=________.
(2)已知点P(-3,0),点A在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线AQ上,满足·=0,=-.当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.
解:
(1)由已知得直线的一个法向量为n=(m,1),其单位向量为n0==(m,1),在直线上任取一点P(0,-3),则=(-3,-5),=(1,-7).依题意有|·n0|=|·n0|,即=,解得m=或m=-6.故填或-6.
(2)设点M(x,y)为轨迹上的任一点,设A(0,b),Q(a,0)(a>0),则=(x,y-b),=(a-x,-y).
因为=-,所以(x,y-b)=-(a-x,-y).
所以a=,b=-,即A,Q.
=,=.
因为·=0,所以3x-y2=0.
即所求轨迹方程为y2=4x(x>0).
向量在平面几何中的应用
如图正三角形ABC中,D、E分别是AB、BC上的一个三等分点,且AE、CD交于点P.求证:
BP⊥DC.
(链接教材P100例2)
[证明] 设=λ,并设三角形ABC的边长为a,则有:
=+=λ+
=λ+=(2λ+1)-λ.
又=-,∥,
所以(2λ+1)-λ=k-k,
于是有解得λ=.
所以=.
所以=+=+,
=-.
所以·=·
=a2-a2-a2cos60°=0.
所以由向量垂直的等价条件知BP⊥DC.
方法归纳
用向量解决平面几何问题的两种常见思路
(1)向量的线性运算法
―→
―→
―→
(2)向量的坐标运算法
―→―→―→
2.
(1)如图,在▱ABCD中,E,F在对角线BD上,且BE=FD,则四边形AECF的形状是________.
(2)如图所示,在平行四边形ABCD中,BC=2BA,∠ABC=60°,作AE⊥BD交BC于点E,求BE∶EC的值.
解:
(1)由已知可设==a,==b,故=+=a+b,=+=b+a,又a+b=b+a,则=,即AE,FC平行且相等,故四边形AECF是平行四边形.故填平行四边形.
(2)法一:
设=a,=b,|a|=1,|b|=2,
则a·b=|a||b|cos60°=1,=a+b.
设=λ=λb,则=-=λb-a.
由AE⊥BD,得·=0,
即(λb-a)·(a+b)=0,
解得λ=,所以BE∶EC=∶=2∶3.
法二:
以B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
设B(0,0),C(2,0),
则A,D.
设E(m,0),则=,=,
由AE⊥BD,得·=0,即(m-)-×=0,
解得m=,所以BE∶EC=∶=2∶3.
向量在物理中的应用
一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8m.已知|F1|=2N,方向为北偏东30°,|F2|=4N,方向为北偏东60°,|F3|=6N,方向为北偏西30°,求这三个力的合力F所做的功.
(链接教材P103例4)
[解] 以三个力的作用点为原点,正东方向为x轴正半轴,正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系,如图所示.
由已知可得F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3).
所以F=F1+F2+F3=(2-2,4+2).
又位移s=(4,4),
所以F·s=(2-2)×4+(4+2)×4=24(J).
故这三个力的合力F所做的功是24J.
方法归纳
利用向量解决物理问题的思路及注意问题
(1)向量在物理中的应用,实际上是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后用所获得的结果解释物理现象.
(2)在用向量法解决物理问题时,应作出相应图形,以帮助建立数学模型,分析解题思路.
(3)注意问题:
①如何把物理问题转化为数学问题,也就是将物理之间的关系抽象成数学模型;②如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.
3.
(1)一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:
牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为( )
A.6 B.2
C.2D.2
(2)点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P0的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为( )
A.(-2,4)B.(-30,25)
C.(10,-5)D.(5,-10)
(3)已知两恒力F1=(3,4)、F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求:
①F1、F2分别对质点所做的功;
②F1,F2的合力F对质点所做的功.
解:
(1)选D.因为力F是一个向量,由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1,F2为邻边的平行四边形的对角线的长,故|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|·cos60°=4+16+8=28,所以|F3|=2.
(2)选C.由题意知,=5v=(20,-15),
设点P的坐标为(x,y),则
解得点P的坐标为(10,-5).
(3)设物体在力F作用下的位移为s,则所做的功为W=F·s,=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).
①W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(J),W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J).
②W=F·=(F1+F2)·=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(J).
易错警示
向量在几何应用中的误区
在△ABC中,已知向量与满足·=0且=,则△ABC的形状为________.
[解析] 因为向量,分别表示与向量,同向的单位向量,所以以,为邻边的平行四边形是菱形.
根据平行四边形法则作=+(如图所示),
则AD是∠BAC的平分线.
因为非零向量满足
·=0,
所以∠BAC的平分线AD垂直于BC,所以AB=AC,
又cos∠BAC==,且∠BAC∈(0,π),
所以∠BAC=,所以△ABC为等边三角形.
[答案] 等边三角形
[错因与防范]
(1)解答本题常会给出错误的答案为“直角三角形”,原因在于未能正确分析挖掘题设中的条件,直接根据数量积为零,就判断△ABC为直角三角形.
(2)为杜绝上述可能发生的错误,应该:
①注意知识的积累
向量线性运算和数量积的几何意义是解决向量问题的依据,如本例中,的含义,邻边相等的平行四边形是菱形,菱形的对角线平分对角.
②树立数形结合意识
推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导,回答应力求准确,如本例求解时,以图形辅助解题,较为形象直观.
4.
(1)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),且+=2,则称A3,A4调和分割A1,A2.已知平面上的点C,D调和分割点A,B,则下面说法正确的是( )
A.C可能是线段AB的中点
B.D可能是线段AB的中点
C.C、D可能同时在线段AB上
D.C、D不可能同时在线段AB的延长线上
(2)设O为△ABC所在平面上一点,动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.重心 B.垂心
C.外心 D.内心
解析:
(1)选D.因为C,D调和分割点A,B,
所以=λ,=μ,且+=2(*),
不妨设A(0,0),B(1,0),则C(λ,0),D(μ,0),
对A,若C为AB的中点,则=,即λ=,将其代入(*)式,得=0,这是无意义的,故A错误;
对B,若D为AB的中点,则μ=,同理得=0,故B错误;
对C,要使C,D同时在线段AB上,则0<λ<1,且0<μ<1,
所以>1,>1,
所以+>2,这与+=2矛盾;故C错误;显然D正确.
(2)选C.设线段BC的中点为D,
则=.
所以=+λ
=+λ,
所以-=λ=,
所以·=λ·
=λ
=λ
=λ(-||+||)=0,
所以DP⊥BC,即点P一定在线段BC的垂直平分线上,即动点P的轨迹一定通过△ABC的外心.
1.已知直线x+3y+9=0,则直线的一个法向量为( )
A.a=(1,3) B.a=(3,1)
C.a=(3,-1)D.a=(-3,-1)
解析:
选A.直线Ax+By+C=0的法向量可以为(A,B).
2.在△ABC中,若·+||2=0,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.钝角三角形
解析:
选C.因为·+||2=0,
所以·+2=0,即·(+)=0.
所以·=0,所以⊥,即AB⊥AC.
所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.
3.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度是40m/s,则鹰的飞行速率为( )
A.m/sB.m/s
C.m/sD.m/s
解析:
选C.设鹰的飞行速度为v1,鹰在地面上的影子的速度为v2,则v2=40m/s,因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下,故|v1|==(m/s),故选C.
[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
一个人骑自行车行驶速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度的大小为( )
A.v1-v2 B.v1+v2
C.|v1|-|v2|D.
解析:
选C.根据速度的合成可知.
若=(2,2),=(-2,3)分别表示F1,F2,则|F1+F2|为( )
A.(0,5)B.25
C.2D.5
解析:
选D.因为F1+F2=(0,5),
所以|F1+F2|==5.
过点A(2,3)且垂直于向量a=(2,1)的直线方程为( )
A.2x+y-7=0B.2x+y+7=0
C.x-2y+4=0D.x-2y-4=0
解析:
选A.设所求直线上任一点P(x,y),则⊥a.
又因为=(x-2,y-3),
所以2(x-2)+(y-3)=0,
即所求的直线方程为2x+y-7=0.
若Ai(i=1,2,3,4,…,n)是△AOB所在平面内的点,且·=·.
给出下列说法:
①||=||=…=||=||;
②||的最小值一定是||;
③点A、Ai在一条直线上.
其中正确的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
解析:
选B.由·=·,
可得(-)·=0,即·=0,
所以⊥,即点Ai在边OB过点A的垂线上.
故三个命题中,只有③正确,故选B.
5.已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,则等于( )
A.(-1,2)B.(1,-2)
C.(1,2)D.(-1,-2)
解析:
选A.设D(x,y),则=(x-2,y+1),=(x-3,y-2),=(-6,-3).
因为⊥,∥.
所以解得所以=(-1,2).
已知三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y),满足F1+F2+F3=0,若F1与F2的合力为F,则合力F与力F1夹角的余弦值为________.
解析:
因为F1+F2+F3=0,F1+F2=F,
所以F=-F3,因为F3的坐标为(-5,1),
所以F=-F3=(5,-1),
设合力F与力F1的夹角为θ,
则cosθ===.
答案:
已知直线的方向向量为a=(3,1),且过点A(-2,1),则直线方程为____________.
解析:
由题意知,直线的斜率为,设直线方程为x-3y+c=0,把(-2,1)代入得c=5,
故所求直线方程为x-3y+5=0.
答案:
x-3y+5=0
8.已知|a|=,|b|=4,|c|=2,且a+b+c=0,则a·b+b·c+c·a=________.
解析:
(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·c+b·c+a·b)=0,所以a·b+b·c+c·a=-.
答案:
-
9.在△ABC中,·=|-|=6,M为BC边的中点,求中线AM的长.
解:
因为|-|=6,所以(-)2=36.
即2+2-2·=36.
又因为·=6,所以2+2=48.
又因为=(+),
所以2=(2+2+2·)=×(48+12)=15,
所以||=,即中线AM的长为.
10.已知点A(-1,0),B(0,1),点P(x,y)为直线y=x-1上的一个动点.
(1)求证:
∠APB恒为锐角;
(2)若四边形ABPQ为菱形,求·的值.
解:
(1)证明:
因为点P(x,y)在直线y=x-1上,
所以点P(x,x-1),
所以=(-1-x,1-x),=(-x,2-x),
所以·=2x2-2x+2=2(x2-x+1)
=2>0,
所以cos∠APB=>0,
若A,P,B三点在一条直线上,则∥,
得到(x+1)(x-2)-(x-1)x=0,方程无解,
所以∠APB≠0,所以∠APB恒为锐角.
(2)因为四边形ABPQ为菱形,所以||=||,
即=,
化简得到x2-2x+1=0,
所以x=1,所以P(1,0),
设Q(a,b),因为=,
所以(a-1,b)=(-1,-1),所以
所以·=(0,-2)·(1,-1)=2.
[B.能力提升]
水平面上的物体受到力F1,F2的作用,F1水平向右,F2与水平向右方向的夹角为θ,物体在运动过程中,力F1与F2的合力所做的功为W,若物体一直沿水平地面运动,则力F2对物体做功的大小为( )
A.WB.W
C.WD.W
解析:
选D.设物体的位移是s,根据题意有(|F1|+|F2|·cosθ)|s|=W,即|s|=,所以力F2对物体做功的大小为W.
2.记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则( )
A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}
B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}
C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2
D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2
解析:
选D.对于min{|a+b|,|a-b|}与min{|a|,|b|},相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较,它们的大小关系不确定,因此A,B均错,而|a+b|,|a-b|中的较大者与|a|,|b|可构成非锐角三角形的三边,因此有max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2.
3.已知△ABC的面积为10,P是△ABC所在平面上的一点,满足++2=3,则△ABP的面积为________.
解析:
由++2=3,得++2=3(-),所以4+2(-)=0,所以2=,由此可得PA与CB平行且|CB|=2|PA|,故△ABP的面积为△ABC的面积的一半,故△ABP的面积为5.
答案:
5
4.在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是________.
解析:
设D(x,y),由||=1,得(x-3)2+y2=1,向量++=(x-1,y+),故|++|=的最大值为圆(x-3)2+y2=1上的动点到点(1,-)距离的最大值,其最大值为圆(x-3)2+y2=1的圆心(3,0)到点(1,-)的距离加上圆的半径,即+1=1+.
答案:
1+
5.在平面直角坐标系xOy中,已知向量=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),且∥.
(1)求x与y间的关系;
(2)若⊥,求x与y的值及四边形ABCD的面积.
解:
(1)由题意得=++=(x+4,y-2),=(x,y),
因为∥,所以(x+4)y-(y-2)x=0,
即x+2y=0.①
(2)由题意得=+=(x+6,y+1),
=+=(x-2,y-3),
因为⊥,所以·=0,
即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,
即x2+y2+4x-2y-15=0,②
由①②得或
当时,=(8,0),=(0,-4),
则S四边形ABCD=||||=16,
当时,=(0,4),=(-8,0),
则S四边形ABCD=||||=16,
综上或四边形ABCD的面积为16.
6.(选做题)已知e1=(1,0),e2=(0,1),现有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为
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