高一数学指数函数教案.docx
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高一数学指数函数教案
高一数学指数函数教案
【篇一:
高中数学《指数函数-指数函数及其性质》人教a版必修1教案】
2.1.2指数函数及其性质
(1)——教案
一、三维目标1.知识与技能
掌握指数函数的概念、图象和性质.
能借助计算机或计算器画指数函数的图象.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质.2.过程与方法
学习的过程中体会研究具体函数的过程和方法,如具体到一般,数形结合的方法等.通过探讨指数函数的底数a>0,且a≠1的理由,明确数学概念的严谨性和科学性.3.情感态度与价值观
通过实例引入指数函数,激发学生学习指数函数的兴趣,逐步培养学生的应用意识.教学过程中,通过现代信息技术的合理应用,让学生体会更多认识世界的有效手段.二、教学重点
指数函数的概念和性质.三、教学难点
用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.四、教具准备
多媒体课件、投影仪、大屏幕、自制ppt课件.五、教学过程
(多媒体显示如下材料)
材料1:
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个?
?
一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么?
(生思考,师组织学生交流各自的想法,捕捉学生交流中与下列结论有关的信息)结论:
材料1中y和x的关系为y=2x.
材料2:
当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量p与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?
(生思考)
1
生:
p=()5730.
2
1
师:
你能发现上面两关系式y=2,p=()5730有什么相同的地方吗?
2
x
t
t
(生讨论,师及时总结得到如下结论)
1
我们发现:
在关系式y=2和p=()5730中,每给一个自变量都有唯一的一个函数
2
x
t
1
值和它对应,因此关系式y=2和p=()5730都是函数关系式,且函数y=2x和函数p=
2
x
t
1
()5730在形式上是相同的,解析式的右边都是指数式,且自变量都在指数位置上.2
师:
你能从以上两个解析式中抽象出一个更具有一般性的函数模型吗?
(生交流,师总结得出如下结论)
t
1
生:
用字母a来代替2与()5730.
2
1
结论:
函数y=2和函数p=()5730都是函数y=ax的具体形式.函数y=ax是一类重要
2
x
t
1
的函数模型,并且有广泛的用途,它可以解决好多生活中的实际问题,这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型——指数函数.
(引入新课,书写课题)
(二)讲解新课(20分钟)
1.指数函数的概念
(师结合引入,给出指数函数的定义)
一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是r.
合作探究:
(1)定义域为什么是实数集?
(生思考,师适时点拨,给出如下解释)
结论:
在a>0的前提下,x可以取任意的实数,所以函数的定义域是r.合作探究:
(2)在函数解析式y=ax中为什么要规定a>0,a≠1?
(生思考,师适时点拨,给出如下解释,并明确指数函数的定义域是实数r)结论:
这是因为(ⅰ)a=0时,当x>0,ax恒等于0;当x≤0,ax无意义.
111?
(ⅱ)a<0时,例如a=-,x=-,则ax=(-)4无意义.
444
(ⅲ)a=1时,ax恒等于1,无研究价值.
所以规定a>0,且a≠1.
-
2
1
1
,且a≠1).2
生:
只有⑥⑨为指数函数.
方法引导:
指数函数的形式就是y=ax,ax的系数是1,其他的位置不能有其他的系数,但要注意化简以后的形式.有些函数貌似指数函数,实际上却不是,例如y=ax+k(a>0,且a≠1,k∈z);有些函数看起来不像指数函数,实际上却是指数函数,例
---
如y=ax(a>0,且a≠1),这是因为它的解析式可以等价化归为y=ax=(a1)x,其中--
a1>0,且a1≠1.如y=23x是指数函数,因为可以化简为y=8x.要注意幂底数的范围和自变量x所在的部位,即指数函数的自变量在指数位置上.
2.指数函数的图象和性质
师:
指数函数y=ax,其中底数a是常数,指数x是自变量,幂y是函数.底数a有无穷多个取值,不可能逐一研究,研究方法是什么呢?
(生思考)
师:
要抓住典型的指数函数,分析典型,进而推广到一般的指数函数中去.那么选谁作典型呢?
先来研究a>1的情况
生:
函数y=2x的图象.
师:
作图的基本方法是什么?
生:
列表、描点、连线.合作探究:
(1)我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研究.下面我们通过用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数y?
2x的图象生:
借助多媒体手段画出图象.
师:
研究函数要考虑哪些性质?
生:
定义域、值域、单调性、奇偶性等.
师:
通过图象和解析式分析函数y=2x的性质应该如何呢?
生:
图象左右延伸,说明定义域为r;图象都分布在x轴的上方,说明值域为r+;图象上升,说明是增函数;不关于y轴对称也不关于原点对称,说明它既不是奇函数也不是偶函数.
师:
再研究0<a<1的情况,类似地,从中选择一个具体函数进行研究,可选什么函数?
生:
我们选择函数y=(
1x
)的图象作典型.2
合作探究:
(2)用计算机完成以下表格并绘出函数
y?
()的图象.生:
1
2
x
作出函数y=(
1x
)的图象
.2
合作探究:
(3)思考底数a的变化对图象的影响.
师:
指数函数y?
ax(a>0且a≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系?
(多媒体显示如下材料)
注意观察电脑软件画出y?
5,y?
3,y?
(),y?
()
x
x
x
13
x
15
x
的函数图象.
(生观察并讨论,给出如下结论)
结论1:
从图上看y?
a(a>1)与y?
a(0<a<1)两函数图象的特征.
xx
结论2:
在第一象限内,底数a越小,函数的图象越接近x轴.合作探究:
(4)根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、奇偶性.(生讨论并总结,共同给出如下结论)
我们发现:
一般地,指数函数y=ax在底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质
3.例题讲解(10分钟)
【例1】求下列函数的定义域:
(1)y=8
12x?
1
1
;
(2)y=?
()x.
2
(多媒体显示,师组织学生讨论完成)师:
我们已经有过求函数定义域的一些实战经验,你觉得求函数定义域时哪些方面应该引起你的高度注意?
(生交流自己的想法,师归纳,得出如下结论)
(1)分式的分母不能为0;
(2)偶次根号的被开方数大于或等于0;(3)0的0次幂没有意义.
师:
这些注意点在我们所要解决的问题中有没有出现?
是否还有其他新的要求或限制条件?
(生讨论交流,并板演解答过程,师组织学生进行评析,规范学生解题)
11,原函数的定义域是{x|x∈r,x≠};22
1111
(2)∵1-()x≥0,∴()x≤1=()0.∵函数y=()x在定义域上单调递减,
2222
解:
(1)∵2x-1≠0,∴x≠
∴x≥0.∴原函数的定义域是[0,+∞).
(三)巩固练习(5分钟)
课堂练习:
(1)函数f(x)?
()的定义域和值域分别是多少?
(2)当x?
[?
1,1]时,函数f(x)?
3?
2的值域是多少?
解:
(1)x?
r,y?
0
(2)(-
x
1
2
x
5
,1)3
【篇二:
人教版高中数学指数与指数函数教案】
二指数与指数函数(2.5指数)
教学时间:
第二课时
课题:
2.5.2分数指数幂教学目标:
1.理解分数指数幂的概念。
2.掌握有理指数幂的运算性质。
3.会对根式、分数指数幂进行互化。
4.培养学生用联系观点看问题。
教学重点:
分数指数幂的概念和运算性质。
教学难点:
分数指数幂概念的理解教学方法:
发现教学法教具准备:
投影片2张(1.回顾性质,2.举例)教学过程:
(i)复习回顾
师:
上一节课,我们一起复习了整数指数幂折运算性质,并学习了根式的运算
性质。
(打出投影片1)
师:
对于整数指数幂运算性质
(2),当a0,m,n是分数时也成立。
(说明:
对于这一点,课本采用了假设性质
(2)对a0,m,n是分数也成立这种方法,我认为不妨先推广性质
(2),为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备)。
师:
对于根式的运算性质,大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数
n的一致性。
接下来,我们来看几个例子。
(打出投影片2)
(说明:
对于例子可设计为填空题,让学生参与得出。
)
师:
上述推导过程主要利用了根式的运算性质,例子③、④、⑤用到了推广的
整数指数幂运算性质
(2)。
因此,我们可以得出正分数指数幂的意义。
(ii)讲授新课
1.正数的正分数指数幂的意义:
板书
m
na?
am(a?
0,m,n?
n*,且n?
1
师:
大家要注意两点,一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是根式与
分数指数幂可以进行互化。
另外,我们还对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定。
2.规定:
板书
a?
m
n?
1
am
n(a?
0,m,n?
n*,且n?
1)
0的正分数指数幂等于0。
0的负分数指数幂无意义。
师:
规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数推广到有理数指数。
当a0时,整数指数幂的运算性质,对于有理指数幂也同样适用。
即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质:
3.有理指数幂的运算性质:
板书
(1)ar?
as=ar+s(a0,r,s∈q)
(2)(a)=ar?
(a0,r,s∈q)
rs
(3)(a?
b)=a?
b(a0,b0,r∈q)
师:
说明:
若a0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数,上述有理指数
幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用,有关概念和证明在本书从略。
rrr(这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫。
接下来,大家通过例题来熟悉一下本节的内容。
)
4.例题讲解
1-316100))4。
例2:
求值:
8,481-23123
分析:
此题主要运用有理指数幂的运算性质。
解:
8=(22=22=4;
1=10-1=;101-3-2-3(-2)?
(-3)6()=
(2)=2=2=64;4
34?
(-16-322-327()4=()4=()=。
81338100=(10)=10-2-121212?
(-2232333?
23
例3:
用分数指数幂的形式表示下列各式:
分析:
此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。
a2?
a,a3?
a2,aa(式中a?
0)
解:
a?
a?
a?
a?
a
3232322122?
1223?
a;?
a;
1
23411352a?
a?
a?
a?
a12123?
32aa?
(a?
a)?
(a)?
a.
师:
为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质,我们来
做一下练习题。
(iii)课堂练习
课本p74练习:
1、2、3。
要求:
学生板演练习,做完后老师讲评。
(iv)课时小结
通过本节学习,要求大家理解分数指数幂的意义,掌握分数指数幂与
根式的互化,熟练运用有理指数幂的运算性质。
(v)课后作业
一、课本p75习题2.5:
2,3,4.
二、1.预习内容:
课本p73
2.预习提纲:
(1)根式的运算如何进行?
(2)利用理指数幂运算性质进行化简、求值,有哪些常用技巧?
板书设计:
教学后记:
【篇三:
高一数学指数函数教学设计】
3.1.2指数函数的概念教学设计
一、教学目标:
知识与技能:
理解指数函数的概念,能够判断指数函数。
过程与方法:
通过观察,分析、归纳、总结、自主建构指数函数的概念。
领会从特殊到一般的数学思想方法,从而培养学生发现、分析、解决问题的能力。
情感态度与价值观:
在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
二、教学重点、难点:
教学重点:
指数函数的概念,判断指数函数。
教学难点:
对底数的分类。
三、学情分析:
学生已经学习了函数的知识,,指数函数是函数知识中重要的一部分内容,学生若能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图象,则一定能从中发现指数函数的本质,所以对已经熟悉掌握函数的学生来说,学习本课并不是太难。
学生通过对高中数学中函数的学习,对解决一些数学问题有一定的能力。
通过教师启发式引导,学生自主探究完成本节课的学习。
高一学生的认知水平从形象向抽象、从特殊向一般过渡,思维能力的提高是一个转折期,但是,学生的自主意识强,有主动学习的愿望与能力。
有好奇心、好胜心、进取心,富有激情、思维活跃。
四、教学内容分析
函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。
如何突破这个即重要又抽象的内容,其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来,通过具有一定思考价值的问题,激发学生的求知欲望――持久的好奇心。
我们知道,函数的表示法有三种:
列表法、图象法、解析法,以往的函数的学习大多只关注到图象的作用,这其实只是借助了图象的直观性,只是从一个角度看函数,是片面的。
本节课,主要是让学生学会如何去发现研究心的函数,为后面学习对数函数、幂函数做出铺垫。
五、教学过程:
(一)创设情景
问题1:
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗?
学生回答:
y与x之间的关系式,可以表示为y?
2x。
()。
学生回答:
y与x之间的关系式,可以表示为y=
(二)导入新课
引导学生观察,两个函数中,有什么共同特征?
学生回答:
均为幂的形式,底数是常数,自变量x在指数位置。
设计意图:
充实实例,突出底数a的取值范围,让学生体会到数学来源于生产生活实际。
12x
()分别以0?
a?
1或a?
1的数为底,加深对定义的感性认识,为顺函数y=2x、y=
利引出指数函数定义作铺垫。
(三)新课讲授
指数函数的定义
一般地,函数y?
a(a?
0且a?
1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是r。
x12x
a?
0且a?
1的含义:
0?
a?
1或a?
1
设计意图:
为按0?
a?
1或a?
1两种情况得出指数函数性质作铺垫。
若学生回答不合适,引导学生用区间表示:
(0,1)∪(1,+∞)
探究1:
指数函数定义中,为什么规定“a?
0且a?
1”如果不这样规定会出现什么情况?
设计意图:
教师首先提出问题:
为什么要规定底数大于0且不等于1呢?
这是本节的一个难点,为突破难点,采取学生自由讨论的形式,达到互相启发,补充,活跃气氛,激发兴趣的目的。
对于底数的分类,可将问题分解为:
(1)若a0会有什么问题?
(如a?
?
2,x?
(2)若a=0会有什么问题?
(当x?
0时,a1则在实数范围内相应的函数值不存在)2x)?
0;当x?
0时,ax无意义。
(3)若a=1又会怎么样?
(1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.)
师:
为了避免上述各种情况的发生,所以规定a?
0且a?
1。
在这里要注意生生之间、师生之间的对话。
设计意图:
认识清楚底数a的特殊规定,才能深刻理解指数函数的定义域是r;并为学习对数函数,认识指数与对数函数关系打基础。
探究2:
观察指数函数的解析式有什么特点?
教师提醒学生指数函数的定义是形式定义,必须在形式上一模一样才行,然后把问题引向深入。
(四)巩固与练习
例题:
例1:
指出下列函数那些是指数函数:
(1)y?
x2
(2)y?
8x(3)y?
?
10x(4)y?
(?
4)x(5)y?
?
x21(6)y?
52x?
1(7)y?
xx(8)y?
(2a?
1)x(9)y?
(2a?
1)x(a?
且a?
1)2
教师引导学生观察这些指数值的特征,根据指数函数的定义判断。
(2)(5)(9)都是指数函数;
(1)底数不是常数,(3)底数的系数为-1而不是1,(4)底数不满足a?
0且a?
1,(6)自变量的形式不对(7)底数不为常数(8)底数含有a,不能确定底数的值,而指数函数的底数必需大于零且不等于一。
例2:
若函数y?
(a?
3a?
3)?
a是指数函数,求a的值。
练习:
1、指出下列哪些是指数函数。
xx?
12x
(1)y?
2?
(2)
(2)y?
2(3)y?
()(4)y?
3(5)y?
x2?
x?
1
x13
2、函数y?
(a?
2)2ax是指数函数,则()
a.a?
1或a?
3b.a?
1c.a?
3d.a?
0且a?
1
设计意图:
加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。
(五)课堂小结
通过本节课的学习,你学到了哪些知识?
你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗?
设计意图:
让学生在小结中明确本节课的学习内容,强化本节课的学习重点,并为后续学习打下基础。
(六)布置作业
1、在同一坐标系中分别作出如下函数的图像,观察它们有什么特征?
?
1?
y?
2y?
?
?
?
2?
xx
2、三维设计相应的练习。
设计意图:
课后思考的安排,激发学生的学习兴趣,主要为学有余力的学生准备的。
并为下一节课讲授指数函数图像随底数a变化规律作铺垫。
板书设计:
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