宁夏高考理科数学真题及答案.docx
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宁夏高考理科数学真题及答案
2019年宁夏高考理科数学真题及答案
本试卷共5页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1•答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2•选择题必须使用2B铅笔填涂;非选才i题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清
楚。
3•请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4•作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5•保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分•在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|x2-B={x|x-KO},贝UAnB二
5x+6>0},
A.(-&1)B.(-2,1)
C.(-3,-1)D.(3,+8)2.设z二-3+2i,则在复平面内Z对应的点位于
B.第二象限
A.第一彖限
C.第三象限
uur
已知AB二(2,3),
D.第四彖限
uuruuruuruur
AC二(3,t),|BC|二1,则ABBC二
B.-2
D.3
A.-3
C.2
我国航天事业取得又一重大
4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,
为解决这个问题,
L2点的轨道运行丄2点是平衡点,位于
成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.
发射了嫦娥四号屮继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
地月连线的延长线上•设地球质量为M,月球质量为M,地月距离为R,L点到月球的距离为r,根据
MiM2M1
牛顿运动定律和万有引力定律,「满足方程:
七2(Rr)T.设工,由于的值很小,
R3
(Rr)2r2
33
33,则r的近似值为
因此在近似计算中
)2
A.
(
1
r
B
E3
*3M2c
•
R
12c
C.
3\l2R
Mi
D.
3\|2R
3M.
演讲比赛共有9位评委分別给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从
9个原始评分中去掉1个
最高分、「个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是
A.中位数
C方差
6.a>b,则
A.In(a-
b)>0
Ca3~
b3>0
7a,3为两个平面,贝ija//(3的充要条
.件
A.a内有无数条直线与3平行
C3平行于同一条直线
■
2X
8若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆3p
B.平均数
D.极差
B3a<3b
D
■
Ba内有两条相交直线与3平行
Da,(3垂直于同一平面
■
1的一个焦点,则P二
A.2
C.4
9卜列函数屮,以一为周期且在区间
2
■
A.f(x)=cos2x
B.3
D.8
一)单调递增的是
2
Bf(x)=sin2x
C.f(x)=cosx
D.f(x)=sinx
10.已知a€(0,—)f2sin2a=cos2a+1,贝Usin
a二
IA.
B
22
"•设F为双曲线C:
勺、1(a0,b0)的右焦点,0为坐标原点,以0F为直径的圆与圆/y2a2ab
交于P,Q两点•若|PQOF,则C的离心率为
A・・2B.,3
C.2D.'5
12.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x1)2f(x),且当(0,1]时,f(x)x(x1)•若对任意
8,,——
A.
x(,m],都有f(x)则m的取值范围是
D.
B.
C.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13•我国高铁发展迅速,技术先进•经统计,在经停某站的高铁列车屮,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的
正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.
14
尹.若f(In2)8,则a
•已知f(x)是奇函数,且当X0时,f(x)
・—,AAi一,47c
15.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b6,a2c,B―,则AABC的面积为3
16•中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一•印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但
南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正
多边形围成的多面体•半正多面体体现了数学的对称美•图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所
有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1・则该半正多面体共有个面,其棱
长为・(本题第一空2分,第二空3分.)
17-21题为必考题,每个试题考
、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第
生都必须作答•第22、23为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
如图,长方体ABCDABCD的底面ABC匿正方形,点E在八AA上,BELEC.
(1)证明:
BEL平面EBG;
(2)若AE二AE,求二面角B-EC-G的正弦值.
18.(12分)
门分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:
10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束•甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲
得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:
10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结朿.
⑴求P(X二2);
(2)求事件“X二4且甲获胜”的概率.
19.(12分)
已知数列{an}和{bn}满足ai=1,bi二0,4ani3anbn4,4b-3bnan4.
Cl)证明:
{a+bn}是等比数列,{an-bn)是等差数列;
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
20.(12分)
・—X1
已知函数fxInx•
X1
(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;
『的切线.
(2)设X。
是f(x)的一个零点,证明曲线y=lnx在点A(Xg,InXo)处的切线也是曲线y
21.(12分)
已知点A(-2,0),B(2,0),动点Mx,y)满足直线AM与BM的斜率之积为•记M的轨迹为曲线C
2
(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,P口x轴,垂足为E,连结Q可延长交C于点G
(i)证明:
△PQG是直角三角形;
(ii)求厶PQG面积的最大值.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题屮任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选彳4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在极坐标系中,O为极点,点M(o,o)(o0)在曲线C:
4sin上,直线1过点A(4,0)且与0M垂直,垂足为
P.
(1)当0二§时,求0及丨的极坐标方程;
(2)当M在C上运动且P在线段OMh时,求P点轨迹的极坐标方程.
23.[选彳4-5:
不等式选讲](10分)
已知f(x)|xa|x|x2|(xa).
(1)当a1时,求不等式f(x)0的解集;
⑵若x(,1)时,f(x)0,求a的取值范围.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学•参考答案
1.A2.C3.C4.D
5.A
6.C7.B8.D9.A
10.B
11.A12.B
13.0.98
14.-3
15.63
16.26;721
17.解:
⑴由已知得,
B1C1平面ABB,A,
BE平面ABBiA,
故印心BE.
又BEEG,所以BE平面EBg
⑵由⑴知BEBi90•由题设知RtzXABE且Rtz\ABiE,所以AEB45,
故AEAB,AA2AB.
uuiruuu
以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,|DA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
UUU
则C(0,1,0),B(l,1,0),Cl(0,1,2),E(l,0,1),CB设平面EBC勺法向量为n=(x,V,x),则
uur
CBn0,日口x0,uuu即
CEn0,xyz0,
所以可取n二(0,1,1).
设平面ECCi的法向量为m二(x,y,z),则
0.
所以可取m二(1,1,0).
In||m|
所以,二面角BECCi的正弦值为
18.解:
(1)X二2就是10:
10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙
得分•因此P(X二2)二0.5X0.4+(1-0.5)X(1-0.4)=0.5・
(2)X二4且甲获胜,就是10:
10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:
前
两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为[0.5X(1-0.4)+(1-0.5)X0.4]X0.5X0.4=0.1.
19.1
紹•"、cb旦而;鸟省A()0(o-日fla.4k..彳—ia.,k-1
—*—f.1・・・一
又因为ai+b=l,所以anbn是首项为公比为一的等比数歹U.
由题设得4(a“1bni)4(anbn)&即an1bn1anbn2.
又因为ai-bi=l
,所以
anbn是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由
(1)知,
3n
1bn
Bnbn
2n1,
1〃
1
所以orr
an2L(an
bn)
(3nbn)]
2n
bnbn;
I(an
bn)]/
20.解:
(l)f(x)的定义域为(0,1)U(1,+8).
因为f(X)
X(X1)2
0,所以f(x)在(0,1),(1,+8)单调递增.
因为f(e)=1
f(e2)2
e21
e21
e23
e°30,所以f(x)在(匕+8)
J1
有唯一零点Xi,
rr・、
1、
Xi
InX1
1
-f(x)0,故f(x)在(0,
1)有唯一零点
\/
Xi
综上,f(X)有且仅有两个零点.
1
Xo
_2
12k2
ykx
由X2v2
•上1
42
、一2i——
记u],则P(u,uk),Q(u,uk),E(u,0).
J2k2
于是直线QG的斜率为k,方程为yK(xu).22
2(x
2y
2
-2
(2k)x
2一
2uk
22
ku80•①
U和Xg是方程①的解,
XG
uk3□
2uk
从而直线PG的斜率为-2-4
u(3k22)
2k2u
2
u(3k2)
仁由此得yfl
2k2
uk
所以PQPG,即4PQG是直角三角形.
(ii)由(i)得|PQ|2uJIk2.
|PG|
2uk、
k21
…2—,所以△PQG勺面积
S2|PQhpgi65
…1
设14+—,则由k>0得t>2,当且仅当k=1时取等
k
因为S—8.为在[2,+8)单调递减,
12t2
所以当t=2,
八・・・・・・口…
16
即k=1时,S取得最大值,最大值为一
一…,16因此,△PQ面积的最大值为一
9
22•解:
(1)
因为M
。
在C±,当
o—时,
3
4sin—273・
3
由已知得
|0P||0A|cos-2.
3
设、
)为1上除P的任意一点.在
RtzXOPQ中,
cos—|OP|2,
3
经检验点P(2,-)在曲线cos
—2上.
3
所以,1的极坐标方程为
COS
2.
4cos
(2)设P(,),在RtzXOAP中,|OP||OA|cos4cos,即
因为P&线段OMt,且APOM,故的取值范围是「「42所以,P点轨迹的极坐标方程为4cos,
42
23.解:
⑴当ah时,f(x)=|x1|x+|x21(x1).
当x1时,f(x)2(x1)20;当x1时,f(x)0.
所以,不等式f(x)0的解集为(,1).
(2)因为f(a)二0,所以a1.
当a1,x(,1)时,f(x)=(ax)x+(2x)(xa)=2(ax)(x
所以,a的取值范围是[1,)・
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