解析几何知识点更新.docx
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解析几何知识点更新
解析几何知识点更新
三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心。
三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心。
外心到三顶点的距离相等三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心。
三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心。
三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
内心到三角形三边距离相等。
直线与圆1.直线方程:
⑴点斜式:
)(xxkyy=⑵斜截式:
bkxy+=;⑶截距式:
1=+byax;⑷两点式:
121121xxxxyyyy=⑸一般式:
0=++CByAx,(A,B不全为0)。
2.两条直线的位置关系:
直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注3.几个公式:
⑴设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)⊿ABC的重心G:
(3,3321321yyyxxx++++);⑵点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离:
2200BACByAxd+++=⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是2221BACCd+=;4.圆的方程:
⑴标准方程:
①222)()(rbyax=+②222ryx=+。
⑵一般方程:
022=++++FEyDxyx()0422+FED注:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C0且B=0且D2+E2-4AF0;222111:
:
bxkylbxkyl+=+=21,2k1bbk=121=kk21,ll有斜率0:
1111=++CyBxAl,1221BABA=且02121=+BBAA不可写成0:
2222=++CyBxAl1221CBCB(验证)分式5.点、直线与圆的位置关系:
(主要掌握几何法)⑴点与圆的位置关系:
(d表示点到圆心的距离)=Rd点在圆上;②⑵直线与圆的位置关系:
(d表示圆心到直线的距离)=Rd相切;②Rd①Rd点在圆内;③Rd点在圆外。
①相交;③Rd相离。
⑶圆与圆的位置关系:
(d表示圆心距,rR,表示两圆半径,且rR)①+=rrRRdd相离;②+=rRRdd0外切;③内含。
+rRdrR相交;④内切;⑤r6.与圆有关的结论:
⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:
x0x+y0y=r2;过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;⑵以A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程:
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
圆锥曲线方程知识点一、曲线和方程1.曲线与方程:
在直角坐标系中,如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
1)曲线C上的点的坐标都是_______________;2)方程f(x,y)=0的解为坐标的点都_______________。
则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程,曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。
2,求轨迹方程练习:
1。
已知线段AB的长为10,动点P到A、B两点的距离的平方和为122,则动点P的轨迹方程为________________________2.设P为双曲线42xy2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是________________________二、椭圆1.定义:
|PF1|___|PF2|=2a__|F1F2|=2c若2a=2c,则轨迹为________________;2a2c,则轨迹为_____________。
2.几何性质:
焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程a、b、c的关系范围对称性焦点顶点轴长离心率准线方程3.一些结论:
(1)椭圆的一般方程:
122=+nymx(m、n为不相等的正数)
(2)12222=+++mbymax与12222=+byax有相同的焦点。
(3)|PF1|的最大值为a+c,最小值为ac。
练习:
1。
给定椭圆11003622=+yx,则其焦点坐标为__________和__________;焦距为________;长轴长为__________,短轴长为_________;离心率为________;准线方程为____________和_______________;若其上一点P到焦点1F的距离为6,则P到另一焦点2F的距离为_______;若AB为过焦点1F的弦,则2ABF∆的周长为___________。
2.椭圆5522=+kyx的一个焦点是(0,2),那么=k________3.写出下列椭圆的标准方程:
①15,1==cb,焦点在x轴上:
___________________________;②长轴长为20,;离心率为53:
________________________________________;③两焦点坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点25,23:
___________________;④经过点(-2,3)且与椭圆364922=+yx有共同焦点:
_______________________;⑤经过两点()()1,32,2,3BA:
__________________________________________;三、双曲线1.定义:
_|PF1|___|PF2|_=2a__|F1F2|=2c若2a=2c,则轨迹为_______________;2a2c,则轨迹为_____________。
若无绝对值符号,则轨迹为__________________。
2.几何性质:
焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程a、b、c的关系范围对称性焦点顶点轴长离心率准线方程渐近线方程3.一些结论:
(1)双曲线的一般方程:
122=nymx(m、n同号)
(2))0(2222=+byax与12222=+byax有相同的渐近线。
(3)|PF1|无最大值,最小值为ca练习:
1。
已知双曲线方程为1161222=yx,则其焦点在轴上,焦点坐标为()()21,FF,顶点坐标为_____________________,渐近线方程为__________,准线方程为____________,离心率为_________;若点P为该双曲线上任意一点,且101=PF,则_______2=PF。
2.已知双曲线方程为4422=yx,MN过左焦点1F,且4=MN,M、N同在左支上,则2MNF∆的周长为__________。
3.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
①焦点在y轴上,焦距为16,渐近线方程为xy37=②焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5)③经过点()2,315,3,2④以椭圆15822=+yx的焦点为顶点,顶点为焦点⑤与双曲线14416922=yx有共同渐近线且过点()3,34⑥一个焦点为)0,6(1F的等轴双曲线4.21,FF是双曲线1422=yx的两个焦点,点P在双曲线上且满足9021=PFF,则21PFF∆的面积是________四、抛物线1.定义:
与定点和定直线的距离______的点的轨迹。
2.几何性质:
焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围对称性焦点离心率|PF|=准线方程练习:
1求满足条件的抛物线的标准方程:
①焦点为F(-1,0)②准线为3=y③过点(-3,2)④焦点在直线042=yx上⑤和椭圆1162522=+yx有公共准线⑥焦点在y轴上,抛物线上一点)3,(mM到焦点的距离为52已知抛物线的方程为042=+yx,焦点为F,则①焦点F坐标为________,准线方程为_________,对称轴为______,焦点到准线的距离为_____;②若AB为过焦点的弦,则AB的最小值为_______;若A、B在准线上的射影分别为11,BA,则___________11=FBA;③已知M(-1,-3),P为抛物线上一动点,则PFPM+的最小值为________,此时P点的坐标为__________。
五.椭圆中的结论:
①内接矩形最大面积:
2ab;②P,Q为椭圆上任意两点,且OP0Q,则222211||1||1baOQOP+=+;③椭圆焦点三角形:
Ⅰ.2tan221bSFPF=∆,(21PFF=);Ⅱ.点M是21FPF∆内心,PM交21FF于点N,则caMNPM=||||;④当点P与椭圆短轴顶点重合时21PFF最大;4.双曲线中的结论:
x①双曲线12222=bya(a0,b0)的渐近线:
02222=b2yyax;②共渐进线xaby=的双曲线标准方程为(=222bax为参数,0);③双曲线焦点三角形:
Ⅰ.2cot221bSFPF=∆,(21PFF=);Ⅱ.P是双曲线22ax-22by=1(a>0,b>0)的左(右)支上一点,F1、F2分别为左、右焦点,则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为)(,aa;④双曲线为等轴双曲线=2e渐近线为xy=渐近线互相垂直;5.抛物线中的结论:
①抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB性质:
2p;y1y2=-p2;Ⅰ.x1x2=4Ⅱ.pBFAF2||1||1=+;Ⅲ.以AB为直径的圆与准线相切;Ⅳ.以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切;Ⅴ.sin22pSAOB=∆。
②抛物线y2=2px(p0)内接直角三角形OAB的性质:
Ⅰ.2212214,4PyyPxx==;Ⅱ.ABl恒过定点)0,2(p;Ⅲ.BA,中点轨迹方程:
)2(2pxpy=;Ⅳ.ABOM,则M轨迹方程为:
222)(pypx=+;Ⅴ.2min4)(pSAOB∆=。
③抛物线y2=2px(p0),对称轴上一定点)0,(aA,则:
Ⅰ.当pa0时,顶点到点A距离最小,最小值为a;Ⅱ.当pa时,抛物线上有关于x轴对称的两点到点A距离最小,最小值为22pap。
六、圆锥曲线的统一定义:
平面内到定点F和定直线l的距离之____为常数e的点的轨迹.当10e时,轨迹为__________;当1=e时,轨迹为__________;当1e时,轨迹为__________;当0=e时,轨迹为__________.七、直线与圆锥曲线1.位置关系
(1)联立方程组关于x(或y)的一元二次方程∆0∆_______;0∆=_______;0∆_______
(2)特殊情况:
若直线与双曲线的渐近线______,则直线与双曲线______但只有一个交点....;若直线与抛物线的对称轴______,则直线与抛物线______但只有一个交点....;2.弦长公式:
|AB|=___________________________________练习:
1。
已知直线1)1(+=xay与曲线axy=2恰有一个公共点,求实数a的取值范围。
2.已知斜率为2的直线经过椭圆14522=+yx的右焦点1F,与椭圆相交于A、B两点,求弦AB的长3.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线,被抛物线所截得的弦长为8,求抛物线的标准方程。
4.求双曲线14416922=yx被点A(8,3)平分的弦PQ所在直线的方程。
5.在抛物线xy642=上求一点,使它到直线04634=++yx的距离最短,并求出最短值。
6.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:
直线BD平行于抛物线的对称轴。
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