高一数学知识点总结.docx
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高一数学知识点总结
高中数学必修1知识点总结
集合
()元素与集合的关系:
属于)(和不属于()
1
(2)集合中元素的特性:
确定性、互异性、无序性集合与元素
(3)集合的分类:
按集合中元素的个数多少分为:
有限集、无限集、空集
(4)集合的表示方法:
列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间
子集:
若xAxB,则AB,即A是B的子集。
nn
1AnA2真子集有个。
、若集合中有个元素,则集合的子集有个,
(2-1)
关系
注
2、任何一个集合是它本身的子集,即
AA
3A,B,C,ABBC,AC.
、对于集合如果,且那么
4
、空集是任何集合的(真)子集。
集合
真子集:
若AB且AB(即至少存在xB但xA),则A是B的真子集。
00
集合相等:
AB且ABAB
定义:
ABx/xA且xB集合与集合
交集
性质:
AAA,A,ABBA,ABA,ABB,ABABA
运算
定义:
ABx/xA或xB
并集
性质:
AAA,AA,ABBA,ABA,ABB,ABABB
Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)
定义:
CAxxU且xAA
/U
补集性质(:
),(),(),()()(),
CAACAAUCCAACABCACB
UUUUUUU
C(AB)(CA)(CB)
UUU
-1-
映射定义:
设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个元素x,
在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
B为从集合A到集合B的一个映射
传统定义:
如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,
定义按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。
那么y就是x的函数。
记作yf(x).
近代定义:
函数是从一个数集到另一个数集的映射。
定义域
函数及其表示函数的三要素值域
对应法则
解析法
函数的表示方法列表法
图象法
单调性
传统定义:
在区间,上,若12,如
(1)
(2),则()在,上递增,,是
abaxxbfxfxfxabab
递增区间;如f(x1)f(x2),则f(x)在a,b上递减,a,b是的递减区间。
导数定义:
在区间a,bf(x)0f(x)a,ba,bf(x)0
上,若,则在上递增,是递增区间;如
则f(x)在a,b上递减,a,b是的递减区间。
函数
函数的基本性质
最大值:
设函数yf(x)IM1xIf(x)M的定义域为,如果存在实数满足:
()对于任意的,都有;
(2()()
)存在,使得。
则称是函数的最大值
00
xIfxMMyfx
最值
最小值:
设函数yf(x)IN1xIf(x)N的定义域为,如果存在实数满足:
()对于任意的,都有;
(2xIf(x)NNyf(x)
)存在,使得。
则称是函数的最小值
00
fxfxxDfx
(1)()(),()定义域,则叫做奇函数,其图象关于原点对称。
fxfxxDfx
奇偶性
(2)()(),()y定义域,则叫做偶函数,其图
象关于轴对称。
奇偶函数的定义域关于原点对称
周期性:
在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数,为周期;
f(x)f(xT)f(x)(T0)f(x)T
Tf(x)的最小正值叫做的最小正周期,简称周期
(1)描点连线法:
列表、描点、连线
函数图象的画法
(2)变换法
平移变换
伸缩变换
对称变换
向左平移个单位:
yy,xaxyf(xa)
11
向右平移个单位:
ayy,xaxyf(xa)
11
向上平移个单位:
()
bxxybyybfx
11
向下平移个单位:
()
bxxybyybfx
11
横坐标变换:
把各点的横坐标x缩短(当w1时)或伸长(当0w1时)
1
到原来的w倍(纵坐标不变),即xwxyfwx
1/1()
纵坐标变换:
把各点的纵坐标伸长(或缩短(到A
yAA
1)01)原来的倍
1
(横坐标不变),即yy/Ayf(x)
1
xx2xx2xx
1010
关于点对称:
(0,0)2220(20)
xyyyfxx
yyyyyy
1010
xx2xx2xx
1010
(2)
关于直线xx对称:
yfxx
00
11
yyyy
xxxx
112(
关于直线yy对称:
yyyyyyyyf)
x
00
22
1010
xx1
1()
关于直线对称:
yxyfx
yy
1
第二章基本初等函数
附:
-2-
一、函数的定义域的常用求法:
1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于
零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数ytanx中
xk(kZ);余切函数ycotx中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,
2
应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法:
1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法
三、函数的值域的常用求法:
1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、
直接法
四、函数的最值的常用求法:
1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法
五、函数单调性的常用结论:
1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数,则f(x)g(x)在这个区间上也为
增(减)函数
2、若f(x)为增(减)函数,则f(x)为减(增)函数
3、若f(x)与g(x)的单调性相同,则yf[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单
调性不同,则yf[g(x)]是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答:
比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作
函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论:
1、如果一个奇函数在x0处有定义,则f(0)0,如果一个函数yf(x)既是
奇函数又是偶函数,则f(x)0(反之不成立)
2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。
4、两个函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那
么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。
5、若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)可以表示为
11
f(x)[f(x)f(x)][f(x)f(x)],该式的特点是:
右端为一个奇函数
22
和一个偶函数的和。
-3-
零点:
对于函数()我们把使的实数叫做函数的零点。
yfx,f(x)0xyf(x)
定理:
如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,
零点与根的关系那么,函数yf(x)在区间[a,b]内有零点。
即存在c(a,b),使得f(c)0,这个c也是方
程的根。
(反之不成立)
f(x)0
关系:
方程yf(x)yf(x)x
f(x)0有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点
(1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0,给定精确度;
函数与方程
(2)求区间(,)的中点;
abc
函数的应用
(3)计算f(c);
二分法求方程的近似解①若f(c)0,则c就是函数的零点;
②若fafc则令b(c此时零点xab);
()()0,(,)
0
③若f(c)f(b)0,则令a(c此时零点x(c,b));
0
(4)判断是否达到精确度:
即若a-b,则得到零点的近似值a(或b);否则重复24。
几类不同的增长函数模型
函数模型及其应用用已知函数模型解决问题
建立实际问题的函数模型
-4-
nananmn
m
根式:
为根指数,为被开方数
aa分数指数幂
指数的运算
rsrs
aaa(a0,r,sQ)
指数函数性质
rsrs
(a)a(a0,r,sQ)
rrs
(ab)ab(a0,b0,rQ)
指数函数
x
定义:
一般地把函数且叫做指数函数。
ya(a0a1)
性质:
见表1
对数:
x
logN,aN
为底数,为真数
a
基本初等函数
对数函数
对数的运算
性质
log(MN)logMlogN;
aaa
M
loglogMlogN;
aaa
N
n
logMnlogM;(a0,a1,M0,N0)
aa
.
换底公式:
log
a
logb
c
b(a,c0且a,c1,b0)
loga
c
对数函数
定义:
一般地把函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数
性质:
见表1
幂函数
定义:
一般地,函数yx叫做幂函数,x是自变量,是常数。
性质:
见表2
表
1
x
指数函数0,1
yaaa
对数数函数
ylogxa0,a1
a
定
xRx0,义
域
值
域
y0,yR
-5-
图
象
过定点(0,1)过定点(1,0)
减函数增函数减函数增函数
x(,0)时,y(1,x(0,1)y(0,)x(0,1)时,y(,0)
时,x(,0)时,y(0,1)
x(0,)y(0,1)
时,x(1,)y(,0x)时,y
x(0,)时,y(1,)时,(1,)(0,)
性
质
ab
ababab
表2幂函数yx(R)
p
q
00111
p
为奇数
q为奇数奇函数
p为奇数
q
为偶数
p为偶数
q
为奇数偶函数
第一象限
性质
减函数增函数
过定点
(,)
01
-6-
-7-
- 配套讲稿:
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- 数学 知识点 总结