机械优化设计ppt.ppt
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,机械优化设计Mechanicaloptimizationdesign,教材:
机械优化设计(第四版),孙靖民主编机械工业出版社,绪论,优化设计是20世纪60年代初,在电子计算机技术广泛应用的基础上发展起来的一门新的设计方法。
它是以电子计算机为计算工具,利用最优化原理和方法寻求最优设计参数的一门先进设计技术。
绪论,一、定义:
优化设计:
根据给定的设计要求和现有的设计条件,应用专业理论和优化方法,在计算机上满足给定设计要求的许多可行方案中,按给定的目标自动地选出最优的设计方案。
机械优化设计:
在满足一定约束的前提下,寻找一组设计参数,使机械产品单项设计指标达到最优的过程。
绪论,一、定义:
机械优化设计:
机械设计理论+优化方法得到设计参数的最优值,指在一定条件(各种设计因素)影响下所能得到的最佳设计值。
(相对概念),绪论,一、定义:
机械优化设计方法包括:
1)解析法:
主要是利用微分学和变分学的理论,适应于解决小型和简单的问题;2)数值计算方法:
使利用已知的信息,通过迭代计算来逼近最优化问题的解,因此它的运算量很大,直到计算机出现后才得以实现。
绪论,二、从传统设计到优化设计:
传统设计:
在调查分析的基础上,参考同类产品通过估算、经验类比或试验等方法来确定初始方案,然后通过计算各个参数是否能满足设计指标的要求,如果不符合要求就凭借经验对参数进行修改,反复进行分析计算性能检验参数修改,直到符合设计指标为止。
优化设计:
借助计算机技术,应用一些精度较高的力学的数值分析方法(如有限元法等)进行分析计算,并从大量的可行设计方案中寻找到一种最优的设计方案。
绪论,二、从传统设计到优化设计:
优化设计与传统设计相比有以下三点特点:
设计的思想是最优设计,需要建立一个能够正确反映实际设计问题的优化数学模型;设计的方法是优化方法,一个方案参数的调整是计算机沿着使方案更好的方向自动进行的,从而选出最优方案;设计的手段是计算机,由于计算机的运算速度快,分析和计算一个方案只需要几秒甚至千分之一秒,因而可以从大量的方案中选出“最优方案”。
绪论,三、本课程的主要内容:
机械优化设计包括:
1)建立优化设计问题的数学模型2)选择恰当的优化方法3)编程求解最优的设计参数,绪论,三、本课程的主要内容:
本课程的研究内容:
优化的原理与算法本课程分为八章进行讨论:
第一章,介绍优化设计的基本概念;第二章,介绍优化设计算法中用到的数学基础知识,为后面几章的学习打好基础;第三、四、五、六章分别介绍一位搜索、无约束优化、线性规划和约束优化的原理与算法,这些都是本课程学习的重点;第七章,介绍多目标及离散变量优化方法;第八章,介绍几种机械优化设计的实例,说明如何应用优化方法解决机械设计问题。
绪论,四、机械优化设计的发展趋势:
1)模糊优化设计技术2)面向产品创新设计的优化技术3)广义优化设计技术4)产品全寿命周期的优化设计技术5)CAD/CAPP/CAM集成系统中的优化技术6)智能优化算法7)多学科综合优化,第一章优化设计概述,第一节人字架的优化设计,如图所示的人字架由两个钢管构成,其顶点受外力2F=3105N。
人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1105Mpa,材料密度=7.8103kg/m3,许用压应力y=420MPa。
求在钢管压应力不超过许用压应力y和失稳临界应力e的条件下,人字架的高h和钢管平均直径D,使钢管总质量m为最小。
第一章优化设计概述,第一节人字架的优化设计,人字架的优化设计问题归纳为求x=DhT使质量m(x)min满足强度约束条件和稳定约束条件,第一章优化设计概述,第一节人字架的优化设计,第一章优化设计概述,第一节人字架的优化设计,第一章优化设计概述,第一节人字架的优化设计解析法:
第一章优化设计概述,第一节人字架的优化设计解析法:
等值线越往里,函数值越小;等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈慢;无约束时,等值线族的共同中心就是函数的极小值。
第一章优化设计概述,第一节人字架的优化设计作图法:
等值线(面):
函数f(x)的值依次为一系列常数ci时,变量x取得的一系列值的集合。
求极值就是求等值线的中心!
第一章优化设计概述,第一节人字架的优化设计作图法:
等值线(面):
函数f(x)的值依次为一系列常数ci时,变量x取得的一系列值的集合。
二维设计问题,等值线为平面曲线。
对于三维设计问题,其等值函数是一个面,叫做等值面;对于n维设计问题则为等值超越曲面。
第一章优化设计概述,第一节人字架的优化设计作图法:
由图中数据得:
D*=6.43cm,h*=76cm,在极值点处m*=8.47kg,第一章优化设计概述,第三节优化设计问题的数学模型,一个优化设计问题一般包括三个部分:
1.需要合理选择的一组独立参数,称为设计变量;2.需要最佳满足的设计目标,这个设计目标是设计变量的函数,称为目标函数;3.所选择的设计变量必须满足一定的限制条件,称为约束条件(或称设计约束)。
优化设计问题的数学模型的三要素:
设计变量、目标函数和约束条件。
第一章优化设计概述,第三节优化设计问题的数学模型,设计变量:
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数,称为设计变量。
设计变量向量:
第一章优化设计概述,第三节优化设计问题的数学模型,优化设计的维数:
设计变量的数目称为优化设计的维数,如有n(n=1,2,)个设计变量,则称为n维设计问题。
任意一个特定的向量都可以说是一个“设计”。
第一章优化设计概述,第三节优化设计问题的数学模型,设计空间:
由n个设计向量为坐标所组成的实空间称作设计空间。
一个“设计”,就是设计空间中的一个点,这个点可以看成是设计变量向量的端点(始点是坐标原点),称这个点式设计点。
设计空间的维数(设计的自由度):
设计变量愈多,则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多,设计愈灵活,但难度亦愈大、求解亦愈复杂。
含有210个设计变量的为小型设计问题;1050个为中型设计问题;50个以上的为大型设计问题。
第一章优化设计概述,第三节优化设计问题的数学模型,约束条件:
在优化设计中,对设计变量取值时的限制条件,称为约束条件或设计约束,简称约束。
第一章优化设计概述,第三节优化设计问题的数学模型,目标函数(评价函数):
在优化设计中,把设计目标(设计指标)用设计变量的函数形式表示出来,这个函数就叫做目标函数,用它可以评价设计方案的好坏,所以它又被称作评价函数。
第一章优化设计概述,第三节优化设计问题的数学模型,单目标函数优化问题:
在最优化设计问题中,可以只有一个目标函数。
多目标函数优化问题:
当在同一设计中要提出多个目标函数时,这种问题称为多目标函数的优化问题。
第一章优化设计概述,第三节优化设计问题的数学模型,优化问题的数学模型,第一章优化设计概述,第三节优化设计问题的数学模型,建立优化的数学模型,在计算机上求得的解,就称为优化问题的最优解,它包括:
1)最优方案(最优点):
2)最优目标函数值:
第一章优化设计概述,第三节优化设计问题的数学模型,建立数学模型要求:
1)希望建立一个尽可能完善的数学模型,精确的表达实际问题;2)力求所建立的数学模型尽可能的简单,方便计算求解。
第一章优化设计概述,第三节优化设计问题的数学模型,例:
现用薄板制造一体积5m3,长度不小于4m的无上盖的立方体货箱。
要求该货箱的钢板耗费量最少,试确定货箱的长、宽和高的尺寸。
(写出该优化问题的数学模型),例:
有一块薄板,宽度为24cm,长度为100cm,制成如图所示的梯形槽,问斜边长l和倾角为多大时,梯形槽的容积最大。
(写出该优化问题的数学模型),第一章优化设计概述,第三节优化设计问题的数学模型,优化问题的几何解释:
无约束优化问题:
目标函数的极小点就是等值面的中心;等式约束优化问题:
设计变量x的设计点必须在所表示的面或线上,为起作用约束。
不等式约束优化问题:
可行点非可行点边界点,第一章优化设计概述,第三节优化设计问题的数学模型,优化问题的几何解释:
第一章优化设计概述,第四节优化设计问题的基本解法,数学解析法:
把优化对象用数学模型描述出来后,用数学解析法(如微分法、变分法等)来求出最优解。
图解法:
直接用作图的方法来求解优化问题,通过画目标函数和约束函数的图形,求出最优解。
特点是简单、直观,但仅限于n2的低维优化问题的求解。
数值迭代法:
依赖于计算机的数值计算特点而产生的,它具有一定逻辑结构并按一定格式反复迭代计算,逐步逼近优化问题最优解的一种方法。
不仅可以用于求解复杂函数的优化解,还可以用于处理没有数学解析表达式的优化设计问题。
例1:
求下列二维优化问题的最优解,图解法,s.t.,X2,O,(2,2),h(X),g1(X),g3(X),X1,g2(X),练习1:
求下列二维优化问题的最优解,练习2:
已知优化问题,画出此优化问题的目标函数等值线和约束曲线,并确定
(1)可行域的范围(用阴影画出)
(2)在图中标出无约束最优解和约束最优解(3)若加入等式约束在图中标出约束最优解,g2(X),g1(X),g3(X),g4(X),X1,X2,A,B,C,h(X),o,第一章优化设计概述,第四节优化设计问题的基本解法,数值迭代法的基本步骤:
数值迭代法的核心:
1)建立搜索方向dk2)计算最佳步长k3)如何判断是否找到最优点,迭代法的基本思想:
步步逼近、步步下降,第一章优化设计概述,第四节优化设计问题的基本解法,数值迭代法的迭代终止准则(是充分小的正数,且0),1.点距足够小准则:
当相邻两个设计点的移动距离已达到充分小时。
2.函数下降量足够小准则:
当函数值的下降量充分小时,也就是前后两个迭代点间函数的目标函数值充分接近时。
第一章优化设计概述,第四节优化设计问题的基本解法,数值迭代法的迭代终止准则:
3.函数梯度充分小准则:
根据极值存在的必要条件(函数极值点的必要条件是函数在这一点的梯度的模为零),则迭代点的函数梯度的模充分小时,可以作为迭代的终止准则。
第二章优化设计的数学基础,第一节多元函数的方向导数和梯度,一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向的变化率。
二元函数的偏导数:
第二章优化设计的数学基础,第一节多元函数的方向导数和梯度,方向导数:
2,1,o,偏导数与方向导数之间的数量关系:
第二章优化设计的数学基础,第一节多元函数的方向导数和梯度,多元函数的方向导数:
第二章优化设计的数学基础,第一节多元函数的方向导数和梯度,例:
第二章优化设计的数学基础,第一节多元函数的方向导数和梯度,梯度:
第二章优化设计的数学基础,第一节多元函数的方向导数和梯度,梯度:
梯度的性质:
1)梯度是一个向量;2)梯度方向是方向导数最大的方向,即函数值变化最快(函数值变化率最大)的方向;3)梯度方向是等值面(线)的法线方向。
第二章优化设计的数学基础,第一节多元函数的方向导数和梯度,多元函数的梯度:
第二章优化设计的数学基础,第一节多元函数的方向导数和梯度,例题:
解:
函数变化率最大的方向就是梯度方向,用单位向量表示,函数变化率最大的数值就是梯度的模。
第二章优化设计的数学基础,第一节多元函数的方向导数和梯度,例题:
第二章优化设计的数学基础,第二节多元函数的泰勒展开,一元函数,第二章优化设计的数学基础,第二节多元函数的泰勒展开,二元函数:
二元函数泰勒展开式的矩阵形式:
对称矩阵,第二章优化设计的数学基础,第二节多元函数的泰勒展开,多元函数泰勒展开式的矩阵形式:
是函数在该点的梯度,第二章优化设计的数学基础,第二节多元函数的泰勒展开,多元函数的海赛矩阵:
第二章优化设计的数学基础,第二节多元函数的泰勒展开,例:
第二章优化设计的数学基础,第二节多元函数的泰勒展开,二次二维函数用向量和矩阵的表示方法:
第二章优化设计的数学基础,第二节多元函数的泰勒展开,二次n维函数用向量和矩阵的表示方法:
第二章优化设计的数学基础,第二节多元函数的泰勒展开,几种特殊类型函数的梯度:
第二章优化设计的数学基础,第二节多元函数的泰勒展开,二次型:
第二章优化设计的数学基础,第二节多元函数的泰勒展开,正定矩阵:
第二章优化设计的数学基础,矩阵正定与负定的判定:
正定:
矩阵A正定的条件是A的各阶主子式大于零;负定:
矩阵A负定的条件是各阶主子式负、正相间。
第二节多元函数的泰勒展开,第二章优化设计的数学基础,第三节无约束优化问题的极值条件,必要条件,充分条件,第二章优化设计的数学基础,第三节无约束优化问题的极值条件,第二章优化设计的数学基础,第三节无约束优化问题的极值条件,例:
第二章优化设计的数学基础,第四节凸集、凸函数和凸规划,当极值点x*能使f(x*)在整个可行域中为最小值(最大值)时,即在整个可行域中对任一x都有f(x)f(x*)(或者f(x)f(x*)时,则x*就是全局极小点(全局极大点)。
全局极值点(最优点):
第二章优化设计的数学基础,第四节凸集、凸函数和凸规划,若f(x*)为局部可行域中的极小值(极大值)而不是整个可行域中的最小值(或最大值)时,则称x*为局部极小点(局部极大点)。
局部极值点(相对极值点):
第二章优化设计的数学基础,第四节凸集、凸函数和凸规划,一个下凸的函数,它的极值点只有一个,并且该点既是局部极值点也是全局极值点,我们就称这个函数具有凸性。
函数的凸性(单峰性):
第二章优化设计的数学基础,第四节凸集、凸函数和凸规划,设R是一个点集(或区域),若连接其中任意两点x1和x2的直线都属于R,则称这种集合R是一个凸集。
凸集:
第二章优化设计的数学基础,第四节凸集、凸函数和凸规划,凸集的性质:
第二章优化设计的数学基础,第四节凸集、凸函数和凸规划,具有凸性(表现为单峰性)或只有唯一的局部最优值,即全局最优值的函数,称为凸函数或单峰函数。
凸函数:
第二章优化设计的数学基础,第四节凸集、凸函数和凸规划,1若f(x)为定义在凸集R上的一个凸函数,且是一个正数(0),则f(x)也必是定义在凸集R上的凸函数。
2定义在凸集R上的两个凸函数f1(x)和f2(x),其和f(x)=f1(x)+f2(x)也一定是该凸集上的一个凸函数。
3若f1(x)、f2(x)是定义在凸集R上的两个凸函数,和为两个任意正数,则函数f1(x)+f2(x)仍是R上的凸函数。
4若定义在凸集R上的一个凸函数f(x)有两个最小点x1和x2则这两点处的函数值f(x1)和f(x2)必相等,否则,其中较大的点就不是f(x)的最小点了。
5若x1和x2是定义在凸集R上的一个凸函数f(x)的两个最小点,则其连接线段上的一切点必为f(x)的最小点。
凸函数的性质:
第二章优化设计的数学基础,第四节凸集、凸函数和凸规划,凸性条件:
第二章优化设计的数学基础,第四节凸集、凸函数和凸规划,例:
例:
第二章优化设计的数学基础,第四节凸集、凸函数和凸规划,凹函数:
凸函数,下凸有极小值,上凸有极大值,凹函数,第二章优化设计的数学基础,第四节凸集、凸函数和凸规划,凸规划:
目标函数与约束条件均为凸函数的优化问题称为凸规划。
凸规划的性质,第二章优化设计的数学基础,第五节等式约束优化问题的极值条件,等式约束优化问题的数学模型:
消元法降维法拉格朗日乘子法升维法,解法,第二章优化设计的数学基础,第五节等式约束优化问题的极值条件,消元法:
(二维),(一维),二元函数(一个等式约束):
第二章优化设计的数学基础,第五节等式约束优化问题的极值条件,n元函数(l个等式约束条件):
(n-l维无约束优化问题),消元法,第二章优化设计的数学基础,第五节等式约束优化问题的极值条件,n元函数(l个等式约束条件):
拉格朗日乘子法,极值必要条件,第二章优化设计的数学基础,第五节等式约束优化问题的极值条件,极值必要条件,几何意义:
在等式约束的极值点上,目标函数的负梯度等于各约束函数梯度的线性组合。
第二章优化设计的数学基础,第五节等式约束优化问题的极值条件,例:
第二章优化设计的数学基础,第六节不等式约束优化问题的极值条件,求解不等式约束优化问题的基本思想:
将不等式约束条件变成等式约束条件。
具体做法:
引入松弛变量。
第二章优化设计的数学基础,第六节不等式约束优化问题的极值条件,拉格朗日函数:
第二章优化设计的数学基础,第六节不等式约束优化问题的极值条件,拉格朗日函数:
极值条件,一元函数,第二章优化设计的数学基础,第六节不等式约束优化问题的极值条件,极值条件,一元函数,第二章优化设计的数学基础,第六节不等式约束优化问题的极值条件,起作用约束的下标集合:
一元函数,第二章优化设计的数学基础,第六节不等式约束优化问题的极值条件,极值条件,库恩塔克条件,第二章优化设计的数学基础,第六节不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件,第二章优化设计的数学基础,第六节不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件,几何意义:
在约束极小值点x*处,函数f(x)的负梯度一定可以表示成所有起作用约束在改点的梯度(法向量)的非负线性组合。
第二章优化设计的数学基础,第六节不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件的几何意义(二维):
第二章优化设计的数学基础,第六节不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件的几何意义(二维):
第二章优化设计的数学基础,第六节不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件的几何意义(二维):
结论:
第二章优化设计的数学基础,第六节不等式约束优化问题的极值条件,同时具有等式和不等式约束的优化问题:
库恩塔克条件:
第二章优化设计的数学基础,第六节不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件举例:
第二章优化设计的数学基础,第六节不等式约束优化问题的极值条件,库恩塔克条件举例:
第三章一维搜索方法,一维搜索:
对于单个变量(一维问题)的直接探索(搜索或寻查)。
多维问题的数值迭代法,每步为一维搜索,第三章一维搜索方法,第二节搜索区间的确定与区间消去法原理,单峰区间:
函数在该区间只有一个极值点。
第三章一维搜索方法,第二节搜索区间的确定与区间消去法原理,确定搜索区间的外推法(进退法/成功失败法):
第三章一维搜索方法,第二节搜索区间的确定与区间消去法原理,确定搜索区间的外推法的基本步骤:
第三章一维搜索方法,第二节搜索区间的确定与区间消去法原理,确定搜索区间的外推法的基本步骤:
第三章一维搜索方法,第二节搜索区间的确定与区间消去法原理,确定搜索区间的外推法的程序流程图:
第三章一维搜索方法,第二节搜索区间的确定与区间消去法原理,例:
第三章一维搜索方法,第二节搜索区间的确定与区间消去法原理,一维搜索的基本原理:
通过外推法,我们可以确定一个包含一元函数极值点的搜索区间,为了进一步找到极小点,我们需要不断的缩小搜索区间,消去不可能包含极小点的区间,使区间在缩小的过程中逐步向极小点靠拢,最后缩小到极小点附近一个极小的领域内。
这个时候,如果我们规定一个足够小的正数,称为收敛精度。
则当区间长度达到足够小,即取该区间的中点作为极值点,这才能完成整个一维搜索。
第三章一维搜索方法,第二节搜索区间的确定与区间消去法原理,区间消去原理:
不断缩小区间所用的原理。
包括:
1)直接法:
直接比较试选点的函数值;2)间接法:
利用函数导数值的变化信息。
第三章一维搜索方法,第二节搜索区间的确定与区间消去法原理,直接法,第三章一维搜索方法,第二节搜索区间的确定与区间消去法原理,直接法,第三章一维搜索方法,第二节搜索区间的确定与区间消去法原理,间接法,第三章一维搜索方法,第二节搜索区间的确定与区间消去法原理,区间缩短率:
第三章一维搜索方法,第二节搜索区间的确定与区间消去法原理,一维搜索方法的分类:
试探法:
它是按照某种给定的规律来确定区间内插入点的位置的。
插入点位置的确定是为了使区间缩短的更快,而不管函数值的分布规律。
它包括:
黄金分割法(0.618法)、裴波纳契(Fibonacci)法等。
插值法(函数逼近法):
这种方法是根据某点处的某些信息(如函数值、一阶导数、二阶导数等)来构造一个差值函数来逼近原来的函数,用插值函数的极小点作为区间的插入点。
它包括:
二次差值法、三次插值法等。
第三章一维搜索方法,第三节一维搜索的试探法,黄金分割法(0.618法):
基本原理:
通过比较单峰区间内两个内分点的函数值,不断舍弃单峰区间的左端或者右端的一部分,使区间按照固定区间缩短率(=0.618)逐步缩短,直到极小点所在的区间缩短到给定的误差范围内,而得到近似最优解。
第三章一维搜索方法,第三节一维搜索的试探法,黄金分割法(0.618法):
黄金分割法的内分点的选取原则:
每次区间缩短都取相等的区间缩短率(),同时插入点距离两个端点有对称性。
第三章一维搜索方法,第三节一维搜索的试探法,黄金分割法(0.618法):
计算步骤:
第三章一维搜索方法,第三节一维搜索的试探法,黄金分割法(0.618法):
计算步骤:
第三章一维搜索方法,第三节一维搜索的试探法,黄金分割法(0.618法):
计算步骤:
第三章一维搜索方法,第三节一维搜索的试探法,黄金分割法(0.618法):
程序框图:
第三章一维搜索方法,第三节一维搜索的试探法,黄金分割法(0.618法):
例:
第三章一维搜索方法,第三节一维搜索的试探法,斐波那契法:
和黄金分割法相似,都是在搜索区间内对称的取点,通过比较两点函数值逐步缩小初始单峰区间来搜索出满意的极小点x*。
与黄金分割法不同的是:
黄金分割法每次迭代式按照同一区间缩短率=0.618来缩短区间,而斐波那契法每次迭代的区间缩短率是不同的,它是按斐波那契数列Fn产生的分数序列为缩短率来缩短区间的。
,,第三章一维搜索方法,第三节一维搜索的试探法,斐波那契法:
,,第三章一维搜索方法,第三节一维搜索的试探法,斐波那契法:
,,区间缩短率用相邻两数的前一数与后一数之比产生,如计算五个点的函数值(即迭代四次,每次区间缩短率分别为,第三章一维搜索方法,第三节一维搜索的试探法,斐波那契法:
,,推广到计算n个点的函数值,经过n-1次迭代所获得的区间总缩短率为,第三章一维搜索方法,第三节一维搜索的试探法,斐波那契法的特点:
,,第三章一维搜索方法,第三节一维搜索的试探法,斐波那契法的迭代步骤:
,,第三章一维搜索方法,第三节一维搜索的试探法,斐波那契法的迭代步骤:
,,第三章一维搜索方法,第四节一维搜索的插值方法,插值法(函数逼近法):
我们就可以根据几个试验点的函数值,利用插值方法建立函数的某种近似表达式,进而求得函数的极小值,并用它作为原函数极小点的近似值。
这种方法称为插值法,或函数逼近法。
牛顿法(切线法):
利用一点的函数值,一阶导数值和二阶导数值来构造此二次函数。
抛物线法(二次插值法):
利用三点的函数值形成一个抛物线来构造二次函数。
,,第三章一维搜索方法,第四节一维搜索的插值方法,牛顿法(切线法):
用切线代替弧逐渐逼近函数极值的一种方法。
,,第三章一维搜索方法,第四节一维搜索的插值方法,牛顿法的计算步骤:
,,第三章一维搜索方法,第四节一维搜索的插值方法,,,牛顿法的缺点:
1)每一次迭代都要计算函数的二阶导数,增加了计算工作量;2)对初始点的要求较高,如果选不好,可能使数列发散或收敛到一个不是极小点的点上。
第三章一维搜索方法,第四节一维搜索的插值方法,,,第三章一维搜索方法,第四节一维搜索的插值方法,二次插值法(抛物线法):
,,基本思想:
在给定的单峰区间a,b内,利用函数上的三个点来构造一个二次插值函数p(),以近似地表达原目标函数f(),并求这个插值函数的极小点近似作为原目标函数的极小点。
它是以目标函数的二次插值函数的极小点作为
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