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第4讲功能关系能量守恒定律
知识梳理
知识点一 功能关系
1.功是能量转化的量度,即做了多少功就有多少能量发生了转化.
2.做功的过程一定伴随着能量的转化,而且能量的转化必须通过做功来实现.
3.几种常见的功与能量转化的关系:
(1)重力做功:
重力势能和其他能相互转化.
(2)弹簧弹力做功:
弹性势能和其他能相互转化.
(3)滑动摩擦力做功:
机械能转化为内能.
(4)电场力做功:
电势能与其他能相互转化.
(5)安培力做功:
电能和机械能相互转化.
知识点二 能量守恒定律
1.内容:
能量既不会凭空产生,也不会凭空消失,它只能从一种形式转化为另一种形式,或者从一个物体转移到另一个物体,在转化和转移的过程中,能量的总量保持不变.
2.适用范围:
能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律,是各种自然现象中普遍适用的一条规律.
3.表达式:
(1)ΔE初=ΔE末,初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和.
(2)ΔE增=ΔE减,增加的那些能量的增加量等于减少的那些能量的减少量.
思维诊断
(1)力对物体做了多少功,物体就有多少能.( )
(2)物体的速度增加,其机械能有可能在减少.( )
(3)能量在转化或转移的过程中,其总量会不断减少.( )
(4)能量的转化和转移具有方向性,且现在可利用的能源有限,故必须节约能源.( )
(5)滑动摩擦力做功一定会引起能量的转化.( )
考点突破
考点一 功能关系的应用
功是能量转化的量度.力学中的功与对应的能量的变化关系如下表所示:
功
能量改变
关系式
W合:
合外力的功(所有外力的功)
动能的改变量(ΔEk)
W合=ΔEk
WG:
重力的功
重力势能的改变量(ΔEp)
WG=-ΔEp
W弹:
弹簧弹力做的功
弹性势能的改变量(ΔEp)
W弹=-ΔEp
W其他:
除重力或系统内弹簧弹力以外的其他外力做的功
机械能的改变量(ΔE)
W其他=ΔE
Ff·Δx:
一对滑动摩擦力做功的代数和
因摩擦而产生的内能(Q)
Ff·Δx=Q(Δx为物体间的相对位移)
[例1] (多选)如图所示,楔形木块abc固定在水平面上,粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同,顶角b处安装一定滑轮.质量分别为M、m(M>m)的滑块,通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接,轻绳与斜面平行.两滑块由静止释放后,沿斜面做匀加速运动.若不计滑轮的质量和摩擦,在两滑块沿斜面运动的过程中( )
A.两滑块组成系统的机械能守恒
B.重力对M做的功等于M动能的增加
C.轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D.两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
[解析] 以M和m两滑块整体为研究对象,除重力外,M受到的摩擦力做负功,所以两滑块组成系统的机械能不守恒,且系统机械能的损失等于M克服摩擦力做的功,A错误,D正确.由动能定理可知,M动能的增加应等于重力、摩擦力、轻绳的拉力对M做功之和,B错误.以m为研究对象,除重力外,只有轻绳对其做功,所以其机械能的增加等于轻绳对其做的功,C正确.
[答案] CD
变式训练1
如图所示,在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道,半径OA水平、OB竖直,一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落,小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力.已知AP=2R,重力加速度为g,则小球从P到B的运动过程中( )
A.重力做功2mgR
B.机械能减少mgR
C.合外力做功mgR
D.克服摩擦力做功mgR
【解析】 小球由P到B的过程重力做功WG=mg(2R-R)=mgR,A错误.小球经过B点时恰好对轨道没有压力,由牛顿第二定律可知mg=m,即小球在B点的速度v=;小球由P到B的过程,由动能定理可知合力做功W合=ΔEk=mv2=mgR,C错误.又因为W合=WG+Wf,所以小球由P到B的过程摩擦力做功Wf=W合-WG=-mgR,由功能关系知,物体的机械能将减少mgR,B错误,D正确.
【答案】 D
考点二 摩擦力做功与能量的关系
1.摩擦生热的两个角度:
(1)从功的角度看,一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量.
(2)从能量的角度看,其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量.
2.两种摩擦力做功情况比较:
类别
比较
静摩擦力
滑动摩擦力
不同点
能量的转
化方面
在静摩擦力做功的过程中,只有机械能从一个物体转移到另一个物体,而没有机械能转化为其他形式的能量
(1)相互摩擦的物体通过滑动摩擦力做功,将部分机械能从一个物体转移到另一个物体
(2)部分机械能转化为内能,此部分能量就是系统机械能的损失量
一对摩擦
力的总功
方面
静摩擦力所做功的代数和总等于零
一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做的总功,大小等于摩擦力与两个物体相对路程的乘积,即WFf=-Ff·L相对,表示物体克服摩擦力做功
相同点
正功、负
功、不做
功方面
两种摩擦力对物体可以做正功、负功,还可以不做功
[例2] 电动机带动水平传送带以速度v匀速转动,一质量为m的小木块由静止轻放在传送带上(传送带足够长),若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ,如图所示,当小木块与传送带相对静止时,求:
(1)小木块的位移大小;
(2)传送带转过的路程;
(3)小木块获得的动能;
(4)摩擦过程产生的热量.
[解析] 对小木块,相对滑动时,由ma=μmg得:
加速度a=μg,由v=at得:
达到相对静止所用时间t=.
(1)小木块的位移x1=t=
(2)传送带始终匀速运动,路程x2=vt=
(3)小木块获得的动能Ek=mv2.
(4)产生的热量Q=μmg(x2-x1)=mv2.
[答案]
(1)
(2) (3)mv2 (4)mv2
变式训练2 如图所示,AB为半径R=0.8m的光滑圆弧轨道,下端B恰与小车右端平滑对接.小车质量M=3kg,车长L=2.06m,车上表面距地面的高度h=0.2m,现有一质量m=1kg的滑块,由轨道顶端无初速度释放,滑到B端后冲上小车.已知地面光滑,滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ=0.3,当车运动了t0=1.5s时,车被地面装置锁定(g=10m/s2).试求:
(1)滑块到达B端时,轨道对它支持力的大小;
(2)车被锁定时,车右端距轨道B端的距离;
(3)从车开始运动到被锁定的过程中,滑块与
车面间由于摩擦而产生的内能大小.
【解析】
(1)由机械能守恒定律和牛顿第二定律得
mgR=mv,FNB-mg=m.则:
FNB=30N.
(2)设m滑上小车后经过时间t1与小车同速,共同速度大小为v
对滑块有:
μmg=ma1,v=vB-a1t1
对于小车:
μmg=Ma2,v=a2t1
解得:
v=1m/s,t1=1s,因t1 故滑块与小车同速后,小车继续向左匀速行驶了0.5s,则小车右端距B端的距离为x车=t1+v(t0-t1).解得x车=1m. (3)Q=μmgx相对=μmg.解得Q=6J. 【答案】 (1)30N (2)1m (3)6J 考点三 能量守恒定律 对能量守恒定律的两点理解: (1)某种形式的能量减少,一定有另外形式的能量增加,且减少量和增加量相等,即ΔE减=ΔE增. (2)某个物体的能量减少,一定有别的物体的能量增加,且减少量和增加量相等,即ΔEA减=ΔEB增. [例3] 如图所示,一物体质量m=2kg,在倾角为θ=37°的斜面上的A点以初速度v0=3m/s下滑,A点距弹簧上端B的距离AB=4m.当物体到达B后将弹簧压缩到C点,最大压缩量BC=0.2m,然后物体又被弹簧弹上去,弹到的最高位置为D点,D点距A点距离AD=3m.挡板及弹簧质量不计,g取10m/s2,sin37°=0.6,求: (1)物体与斜面间的动摩擦因数μ. (2)弹簧的最大弹性势能Epm. [解析] (1)物体从开始位置A点到最后D点的过程中,弹性势能没有发生变化,动能和重力势能减少,机械能的减少量为 ΔE=ΔEK+ΔEP=mv+mglADsin37°① 物体克服摩擦力产生的热量为 Q=Fx② 其中x为物体的路程,即x=5.4m③ F=μmgcos37°④ 由能量守恒定律可得ΔE=Q⑤ 由①②③④⑤式解得μ=0.52 (2)由A到C的过程中,动能减少 ΔE′K=mv⑥ 重力势能减少ΔE′P=mglACsin37°⑦ 摩擦生热Q=FxAC=μmgcos37°xAC⑧ 由能量守恒定律得弹簧的最大弹性势能为 ΔEpm=ΔE′k+ΔE′P-Q⑨ 联立⑥⑦⑧⑨解得ΔEpm=24.4J. [答案] (1)0.52 (2)24.4J 变式训练3 节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车.有一质量m=1000kg的混合动力轿车,在平直公路上以v1=90km/h匀速行驶,发动机的输出功率为P=50kW.当驾驶员看到前方有80km/h的限速标志时,保持发动机功率不变,立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电,使轿车做减速运动,运动L=72m后,速度变为v2=72km/h.此过程中发动机功率的用于轿车的牵引,用于供给发电机工作,发动机输送给发电机的能量最后有50%转化为电池的电能.假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变.求: (1)轿车以90km/h在平直公路上匀速行驶时,所受阻力F阻的大小; (2)轿车从90km/h减速到72km/h过程中,获得的电能E电; (3)轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能E电维持72km/h匀速运动的距离L′. 【解析】 (1)轿车牵引力与输出功率关系P=F牵v,将P=50kW,v1=90km/h=25m/s代入得F牵==2×103N 当轿车匀速行驶时,牵引力与阻力大小相等,有F阻=2×103N (2)在减速过程中,注意到发动机只有P用于轿车的牵引.根据动能定理有Pt-F阻L=mv-mv代入数据得Pt=1.575×105J 电源获得的电能为E电=0.5×Pt=6.3×104J (3)根据题设,轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为F阻=2×103N.在此过程中,由能量转化及守恒定律可知,仅有电能克服阻力做功E电=F阻L′代入数据得L′=31.5m. 【答案】 (1)2×103N (2)6.3×104J (3)31.5m 能力提升 传送带模型的分析方法 1.模型构建 传送带是应用较广泛的一种传动装置,把物体放到运动着的传送带上,物体将在静摩擦力或滑动摩擦力的作用下被传送带输送到另一端,该装置即为传送带模型. 2.模型条件 (1)传送带匀速或加速运动. (2)物体以初速度v0滑上传送带或轻轻放于传送带上,物体与传送带间有摩擦力. (3)物体与传送带之间有相对滑动. 3.模型特点 (1)若物体轻轻放在匀速运动的传送带上,物体一定要和传送带之间产生相对滑动,物体一定受到沿传送带前进方向的摩擦力. (2)若物体静止在传送带上,与传送带一起由静止开始加速,如果动摩擦因数较大,则物体随传送带一起加速;如果动摩擦因数较小,则物体将跟不上传送带的运动,相对传送带向后滑动. (3)若物体与水平传送带一起匀速运动,则物体与传送带之间没有摩擦力;若传送带是倾斜的,则物体受到沿传送带向上的静摩擦力作用. [典例] (2016·云南部分名校统考) 如图所示,与水平面夹角θ=30°的倾斜传送带始终绷紧,传送带下端A点与上端B点间的距离L=4m,传送带以恒定的速率v=2m/s向上运动.现将一质量为1kg的物体无初速度地放于A处,已知物体与传送带间的动摩擦因数μ=,取g=10m/s2,求: (1)物体从A运动到B共需多长时间? (2)电动机因传送该物体多消耗的电能. [解析] (1)物体无初速度地放在A处后,因mgsinθ<μmgcosθ 故物体斜向上做匀加速直线运动. 加速度a==2.5m/s2 物体达到与传送带同速所需的时间t1==0.8s t1时间内物体的位移x1=t1=0.8m 之后物体以速度v做匀速运动,运动的时间 t2==1.6s 物体运动的总时间t=t1+t2=2.4s (2)物体在传送过程中的功能关系如图所示. 解法1: 前0.8s内物体相对传送带的位移Δx=vt1-x1=0.8m 因摩擦而产生的内能E内=μmgcosθ·Δx=6J 整个过程中多消耗的电能 E电=Ek+Ep+E内=mv2+mgLsinθ+E内=28J 解法2: 电动机多消耗的电能在数值上等于两个过程克服摩擦力所做的功,E电=Wf1+Wf2 传送带在加速过程的位移x1′=vt1=1.6m Wf1=μmgx1′cosθ=12J 传送带在匀速过程的位移x2′=vt2=3.2m Wf2=mgx2′sinθ=16J 所以E电=28J [答案] (1)2.4s (2)28J 类题拓展 如图所示,质量为m=1kg的滑块,在水平力作用下静止在倾角为θ=30°的光滑斜面上,斜面的末端B与水平传送带相接(物块经过此位置滑上皮带时无能量 损失),传送带的运行速度为v0=3m/s,长为L=1.4m.今将水平力撤去,当滑块滑到传送带右端C时,恰好与传送带速度相同.滑块与传送带间的动摩擦因数μ=0.25,g=10m/s2.求: (1)水平作用力F大小; (2)滑块下滑的高度; (3)若滑块进入传送带速度 大于3m/s,滑块在传送带上 滑行的整个过程中产生的热量. 【解析】 (1)滑块受到水平推力F、重力mg和支持力FN处于平衡,水平推力F=mgtanθF=N. (2)设滑块从高为h处下滑,到达斜面底端速度为v 下滑过程机械能守恒: mgh=mv2所以v= 若滑块冲上传送带时的速度小于传送带速度,则滑块在传送带上由于受到向右的滑动摩擦力而做匀加速运动, 根据动能定理有: μmgL=mv-mv2所以h=-μL,h=0.1m 若滑块冲上传送带时的速度大于传送带的速度,则滑块由于受到向左的滑动摩擦力而做匀减速运动;根据动能定理: -μmgL=mv-mv2所以h=+μL,h=0.8m. (3)设滑块在传送带上运动的时间为t,则t时间内传送带的位移: s=v0t mgh=mv2 v0=v-at 滑块相对传送带滑动的位移Δs=L-s 相对滑动生成的热量Q=μmg·Δs,Q=0.5J. 【答案】 (1)N (2)0.1m或0.8m (3)0.5J 真题检测 1.(2016·安庆模拟)如图甲所示,静止在地面上的一个物体在竖直向上的拉力作用下开始运动,在向上运动的过程中,物体的动能Ek与位移x关系图象如图乙所示.其中在0~h过程中的图线为平滑曲线,h~2h过程中的图线为平行于横轴的直线,2h~3h过程中的图线为一倾斜的直线,不计空气阻力,下列说法正确的是( ) A.物体上升到h高处时,拉力的功率为零 B.在0~h过程中拉力大小恒为2mg C.在h~2h过程中物体的机械能不变 D.在2h~3h过程中物体的机械能不变 【解析】 物体上升到h高处时,物体的动能不为零,物体的速度不为零,拉力的功率也不为零,选项A错误;在0~h过程中,应用动能定理,外力做的功等于动能变化量.若拉力大小恒为2mg,动能改变量与位移应成线性关系,图中不成线性关系,选项B错误;在h~2h过程中,物体的动能不变,势能增大,物体的机械能增大,选项C错误;在2h~3h过程中,物体的动能减小了mgh,势能增加了mgh,只有重力做功,机械能不变,选项D正确. 【答案】 D 2.如图所示是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图,图中①和②为楔块,③和④为垫板,楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦,在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中( ) A.缓冲器的机械能守恒 B.摩擦力做功消耗机械能 C.垫板的动能全部转化为内能 D.弹簧的弹性势能全部转化为动能 【解析】 由于系统内存在摩擦力,在车厢撞击压缩弹簧的过程中需要克服摩擦力做功,机械能不守恒,垫板的动能一部分转化为弹簧弹性势能,另一部分转化为内能,A、C错误,B正确.弹簧恢复原长过程中,克服摩擦力做功,弹性势能转化为内能和动能,D错误. 【答案】 B 3.(2015·全国卷Ⅰ)如图所示,一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置,直径POQ水平.一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落,恰好从P点进入轨道.质点滑到轨道最低点N时,对轨道的压力为4mg,g为重力加速度的大小.用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功,则( ) A.W=mgR,质点恰好可以到达Q点 B.W>mgR,质点不能到达Q点 C.W=mgR,质点到达Q点后, 继续上升一段距离 D.W 继续上升一段距离 【解析】 在最低点对小球受力分析,FN-mg=,FN=4mg,解得vN=,从抛出点到最低点应用动能定理,mg(R+R)+Wf=mv-0,解得Wf=-mgR,即克服摩擦力做功为mgR,B、D错误.小球在圆轨道右侧运动时的线速度小于在左侧对应高度处的线速度大小,即小球在轨道右侧受到的支持力较小,摩擦力也较小,即在右侧|Wf2| 【答案】 C 4.(多选)(2015·江苏卷)如图所示,轻质弹簧一端固定,另一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连,弹簧水平且处于原长.圆环从A处由静止开始下滑,经过B处的速度最大,到达C处的速度为零,AC=h.圆环在C处获得一竖直向上的速度v,恰好能回到A.弹簧始终在弹性限度内,重力加速度为g,则圆环( ) A.下滑过程中,加速度一直减小 B.下滑过程中,克服摩擦力做的功为mv2 C.在C处,弹簧的弹性势能为mv2-mgh D.上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度 【解析】 圆环向下运动的过程,在B点速度最大,说明向下先加速后减速,加速度先向下减小,后向上增大,A错误.下滑过程和上滑过程克服摩擦做功相同,因此下滑过程Wf+Ep=mgh,上滑过程Wf+mgh=mv2+Ep,因此克服摩擦做功Wf=mv2,B正确.在C处: Ep=mgh-Wf=mgh-mv2,C错误.下滑从A到B,mv+Ep′+Wf′=mgh′,上滑从B到A,mv+Ep′=mgh′+Wf′,得mv-mv=2Wf′,可见,vB2>vB1,D正确. 【答案】 BD
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