四川中考数学考前专题训练二次函数综合题10道.docx
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四川中考数学考前专题训练二次函数综合题10道
题型五二次函数综合题
类型一线段数量关系与最值关系
1.如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;
(3)在抛物线对称轴上是否存在点
M,使|MA-MC|最大?
若存在,请求出点M
的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;
2)x=0,则y=3,∴点C(0,3),令
则直线AC的解析式为y=-x+3,设点P(x,x2-4x+3),∵PD∥y轴,
∴点D(x,-x+3),
∴PD=(-x+3)-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x-3)2+9,
∵a=-1<0,
∴当x=3时,线段PD的长度取最大值,最大值为9;24
(3)存在.
由抛物线的对称性得,对称轴垂直平分AB,
∴MA=MB,
当M、B、C不在同一条直线上时,由三角形的三边关系得,|MA-MC|=|MB-MC| 当M、B、C三点共线时,|MA-MC|=|MB-MC|=BC,∴|MA-MC|≤BC,即当点M在BC的延长线上时,|MA-MC|最大,最大值即为BC的长度,设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0), ∵B(1,0),C(0,3), ∴直线BC的解析式为y=-3x+3, ∵抛物线的对称轴为x=2, ∴当x=2时,y=-3×2+3=-3, ∴点M(2,-3),即抛物线对称轴上存在点M(2,-3),使|MA-MC|最大. 2.如图,抛物线y=-1x2+bx+c的图象过点A(4,0),B(-4,-4),且抛物线4 与y轴交于点C,连接AB,BC,AC. (1)求抛物线的解析式; (2)点P是抛物线对称轴上的点,求△PBC周长的最小值及此时点P的坐标; (3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),过E作y轴的平行线,分 别交抛物线及x轴于F、D两点.请问是否存在这样的点E,使DE=2DF? 若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 1 解: (1)∵抛物线y=-4x+bx+c的图象经过点A(4,0),B(-4,-4), 11 ∴抛物线的解析式为y=-41x2+21x+2; 11 2)由抛物线y=-14x2+12x+2可得, 第2题解图 设直线BC′的解析式为y=kx+m, ∵点B(-4,-4),C′2(,2), 4km4 2k4kmm24,解得 ∴直线BC′的解析式为y=x, 将x=1代入y=x,得y=1, ∴点P坐标为(1,1), ∵点B(-4,-4),C(0,2), ∴BC=42+(2+4)2=213,∴此时△PBC的周长=CP+BC+PB=BC+BC′=213+62,∴△PBC周长的最小值为213+62,此时点P坐标为(1,1);(3)存在. 假设存在点E,使DE=2DF,由点A(4,0),B(-4,-4)可得直线AB的解析式为y =12x-2, 则F(x,-14x2+12x+2), DE=|12x-2|=2-12x,DF=|-14x2+12x+2|, 111 当2-2x=2×(-4x2+2x+2)时,即点F位于x轴上方, 解得x1=-1,x2=4(舍去), 15 将x=-1代入y=2x-2,得到y=-2, ∴E(-1,-52). 当2-21x=2×(-1)×(-41x2+12x+2)时,即点F位于x轴下方, 解得x1=-3,x2=4(舍去), 17 将x=-3代入y=2x-2,得到y=-2, ∴E(-3,-2). 57 综上所述,存在这样的点E,其坐标为(-1,-52)或(-3,-27). 类型二面积数量关系与最值关系 3.如图,已知抛物线y=-12x2+bx+c与x轴分别交于点B、E,与y轴交于点A,OB=8,tan∠ABD=1,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度的速度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度的速度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动. (1)求抛物线的解析式; (2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大,最大面积是多少? (3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理 由. 解: (1)∵OB=8,tan∠ABD=1, ∴OA=OB=8, ∴A(0,8),B(8,0). 把点A(0,8),B(8,0)代入y=-1x2+bx+c得 ∴抛物线解析式为y=-1x2+3x+8; 2 (2)令y=0,有-1x2+3x+8=0, 2 解得x1=-2,x2=8, ∴E(-2,0), ∴BE=10,∵S△CED=1DE×OC, 2 ∴S=1t×(10-t)=-1t2+5t, 22 0≤t≤8), ∴S与t的函数关系式为S=-1t2+5t=-1(t-5)2+25 222 1 25 2; ∵a0 t=5时,△CED的面积最大,最大面积为 3)存在. 当△CED的面积最大时,t=5,即BD=DE=5,此时要使S△PCD=S△CED,CD为公共 边,只需求出过点B、或过点E且平行于CD的直线即可,如解图: 第3题解图 设直线CD的解析式为y=kx+b,由 (2)可知OC=5,OD=3, ∴C(0,5),D(3,0), ∴直线CD的解析式为y=-53x+5, ∵DE=DB=5, ∴过点B且平行于CD的直线为y=-5(x-5)+5, 3 过点E且平行于CD的直线为y=-5(x+5)+5, 3分别与抛物线解析式联立得: 方程①: -1x2+3x+8=-5(x-5)+5,23 解得x1=8,x2=4, 3 方程②: -1x2+3x+8=-5(x+5)+5, 23 解得x3=34,x4=-2, 3 又∵P点不与E点重合, ∴满足题意的P点坐标有3个,分别是P1(8,0),P2(43,1090),P3(334,-2090). 4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0与)x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OB=8,OC=6. (1)求抛物线的解析式; (2)点M从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点N从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△MBN存在时,求运动多少秒使△MBN的面积最大,最大面积是多少? (3)在 (2)的条件下,△MBN面积最大时,在BC上方的抛物线上是否存在点P,使△BPC的面积是△MBN的面积的9倍,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. 329 yxx6; 84 (2)设运动时间为t秒,则AM=3t,BN=t,MB=10-3t, ∴抛物线的解析式为 解: (1)∵OA=2,OB=8,OC=6, ∴根据函数图象得A(-2,0),B(8,0),C(0,6), 在Rt△BOC中,BC=8262=10, ∴NH∥CO,∴△BHN∽△BOC, OCBC即HNt HNBN 610 3∴HNt, 5 5 2, ∵当△MBN存在时,0 3 大面积是52; (3)存在. 设直线BC的解析式为y=kx+c(k≠0,) 把B(8,0),C(0,6)代入, ∴直线BC的解析式为y43x6, ∵点P在抛物线上, ∴设Pm,-3m29m6, 84 如解图②,过点P作PE∥y轴,交BC于点E, 第4题解图② 45, 2, ∴EP3m29m63m63m23m,8448 当△MBN的面积最大时,S△BPC=9S△MBN S△BPCS△CEPS△BEP 11 EPmEP8m 22 18EP 2 32 4m23m 8 3m212m, 2 ∴3245 ∴m12m, 22解得m1=3,m2=5, 当m1=3时,3m29m675, 848 当m2=5时,3m29m663, 848 ∴P3,75或5,63. 88 类型三相似三角形存在性问题 5.如图,已知直线y1=1x+b和抛物线y2=-5x2+ax+b都经过点B(0,1)和点 1224 C,过点C作CM⊥x轴于点M,且CM=5. 2 (1)求出抛物线的解析式; (2)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度,沿OM向点M运动,过点P作PE⊥x轴分别交抛物线和直线于点E,F.当点P运动多少秒时,四边形EFMC为菱形? (3)在 (2)的条件下,在直线AC上是否存在一点Q,使得以点E、F、Q为顶点的三角形与△AMC相似? 若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 解: (1)把B(0,1)代入y1=21x+b,得b=1,∴y1=1x+1, 2 把y=5代入y1=1x+1得x=3, 22 ∴C(3,5), 2 552b1b1 把B(0,1),C(3,5)代入y2=-5x2+ax+b得,455,解得17, 243aba 424 5217 ∴y2=-x+x+1. 44 2)∵四边形EFMC为菱形, 则EF=FM=CM=5, 2设P(t,0),则EP=-5t2+17t+1,FP=1t+1,MP=3-t, 442 则EF=EP-FP=-5t2+17t+1-1t-1=-5t2+15t, 44244 FM=PF2PM245t25t10, 解①得t=1或t=2, 解②得t=1或t=3,要使①,②同时成立,则t=1, 即当点P运动1秒时,四边形EFMC为菱形; (3)存在. 由 (2)可知t=1,∴点F的横坐标为1, 将x=1代入y1=1x+1中,得y1=3, 22 将x=1代入y2=-5x2+17x+1中,得y2=4. 44 ∴点E(1,4),F(1,3), 2 将y=0代入y1=1x+1中,得x=-2,∴点A的坐标为(-2,0), 2 ①如解图,过点E作EQ1⊥CF于点Q1, 第5题解图 ∵四边形EFMC为菱形, ∴∠ECF=∠ACM,FE=EC, ∴∠EFC=∠ECF=∠ACM,又∵∠EQ1F=∠AMC=90°,∴△EQ1F∽△AMC,∵EF=EC,EQ1⊥CF,∴Q1为CF的中点,∵F(1,3),C(3,5), 22∴点Q1的坐标为(2,2); ②如解图,过点E作EQ2//x轴,交直线BC于点Q2,∵EQ2//x轴, ∴∠EQ2F=∠CAM,∠Q2EF=∠FPA=90°,∴∠Q2EF=∠AMC=90°, ∴△EQ2F∽△MAC,又∵E(1,4), ∴设Q2(x,4),将y=4代入y1=1x+1,得x=6,∴点Q2的坐标为(6,4); 综上所述,点Q的坐标为(2,2)或(6,4). 类型四特殊三角形存在性问题 6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,-6)和点C(6,0). (1)求抛物线的解析式; (2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B,试判断△ABC的形状;(钝角三角形、 直角三角形、锐角三角形) (3)抛物线上是否存在点P,使得△PAC是以AC为底的等腰三角形? 若存在, 请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由. 解: (1)将A(0,-6)和C(6,0)代入y=x2+bx+c中, c6 3c666bc0,解得 ∴抛物线的解析式为y=x2-5x-6; (2)由x2-5x-6=0,解得x1=-1,x2=6, ∴点B的坐标为B(-1,0), 即点B在(-6,0)与原点之间, 又∵OA=OC=6, ∴∠BAC为锐角, ∴△ABC为锐角三角形; (3)存在. 如解图,设M为线段AC的中点,则OM为AC的垂直平分线,直线OM与抛物线必有两个交点都是满足条件的点P, ∵A(0,-6),C(6,0), ∴点M的坐标为(3,-3),设直线OM的解析式为y=kx, 将点M(3,-3)代入得,k=-1, 即直线OM的解析式为y=-x, yx 联立2,得x2-4x-6=0, yx25x6 ∴x1=2-10,x2=2+10, x210y102 x210,或, y102 ∴点P的坐标为(2-10,10-2)或(2+10,-2-10). 第6题解图 7.如图,抛物线yx2bxc与直线y=x-1交于A、B两点,点A的纵坐标为-4,点B在y轴上,直线AB与x轴交于点F,点P是线段AB下方的抛物线上一动点,横坐标为m,过点P作PC⊥x轴于点C,交直线AB于点D. (1)求抛物线的解析式; (2)当m为何值时,线段PD的长度取得最大值,其最大值是多少? (3)是否存在点P,使△PAD是直角三角形? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. 解: (1)∵在y=x-1中,当x=0时,y=-1,当y=-4时,x=-3,∴点B的坐标为(0,-1),点A的坐标为(-3,-4), ∵抛物线yx2bxc与直线y=x-1交于A、B两点, ∴抛物线的解析式为y=x2+4x-1; (2)∵点P的横坐标是m,且点P在抛物线y=x2+4x-1上,PC⊥x轴,∴P(m,m2+4m-1),D(m,m-1). ∵点P在线段AB的下方, ∴-3 22329∴PDm1(m24m1)m23m(m)2, 24∴当m3时,线段PD取得最大值,最大值是9; 24(3)存在. 当∠APD=90°时,如解图①, ∵PC⊥x轴, ∴∠PCF=90°, ∴∠PCF=∠APD, ∴CF∥AP,即x轴∥AP, ∴点P与点A的纵坐标相同,即m2+4m-1=-4, 解得m1=-1,m2=-3(与A重合,舍去), ∴P(-1,-4); 当∠PAD=90°时,如解图②,过点A作AE⊥x轴于点E, 2 PD=-3m-m,CE=3+m, 在y=x-1中,当y=0时,x=1, ∴F(1,0),即OF=1, ∴EF=4,AF=42, ∵PC⊥x轴,∴AE∥CD, ∴AD23m, ∵AE∥CD,∴∠ADP=∠EAF,∵∠PAD=∠AEF=∠DCF=90°, ∴△PAD∽△FEA, PDAD3mm223m ∴m3=-2,m4=-3(与A重合,舍去),∴P(-2,-5), 综上所述,P点的坐标为(-1,-4)或(-2,-5). 类型五特殊四边形存在性问题 1 8.如图,一次函数y=2x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数 11 y=2x2+bx+c的图象与一次函数y=2x+1的图象交于B、C两点,与x轴交 于D、E两点且D点坐标为(1,0). (1)求二次函数的解析式; (2)若抛物线上存在点P,使S△BDC=S△PBC,求出P点坐标(不与已知点重合); (3)点N为x轴上一点,平面内是否存在点M,使得B、N、C、M为顶点构成 矩形? 如果存在,请求出M点的坐标;如果不存在,请说明理由. 第8题图 解: (1)将x=0代入y=2x+1中,得: y=1, ∴B(0,1),将B(0,1),D(1,0)的坐标代入y=21x2+bx+c得: 13 ∴二次函数的解析式为y=2x2-2x+1; (2)如解图①,过点D作DF∥y轴交AC于点F,过点P作PG∥y轴交AC于点G, 第8题解图① 33 将x=1代入直线BC的解析式得: y=23,即F(1,23), 1则G(x,2x+1), ∴GP=|12x+1-(12x2-23x+1)|=|-21x2+2x|. ∵△PBC的面积=△DBC的面积, 13∴DF=GP,即|2x2-2x|=2, 13当2x2-2x=2时,解得x=2+7或x=2-7, ∴点P的坐标为(2+7,7+27)或(2-7,7-27), 13当21x2-2x=-32时,解得x=3或x=1(舍去), ∴点P的坐标为(3,1), 综上所述,点P的坐标为(3,1)或(2+7,7+27)或(2-7,7-27); (3)如解图②所示,当∠CBN=90°时,则BN的解析式为y=-2x+1, 1y=2x+1将直线BC的解析式与抛物线的解析式联立得: 2 123y=2x2-2x+1 x=0x=4 解得(舍去),或, y=1y=3 ∴点C的坐标为(4,3), 将y=0代入直线BN的解析式得: -2x+1=0, 1 解得x=12, 1 ∴点N的坐标为(21,0), 设点M的坐标为(x,y), ∵四边形BNMC为矩形, 1+y +4 2+4=0+x0+3 2=2,2 第8题解图③ 设CN的解析式为y=-2x+n,将点C的坐标代入得: -8+n=3,解得n=11, ∴CN的解析式为y=-2x+11, 将y=0代入得-2x+11=0, 11解得x=121, ∴点N的坐标为(2,0), 设点M的坐标为(x,y), ∵四边形BMNC为矩形, 0+11 3+y, 2, 0+2=4+x,1+0= 2=2,2= 3 解得x=2,y=-2, 3 ∴点M的坐标为(2,-2); 如解图④所示,当∠BNC=90°时,过点C作CF⊥x轴,垂足为F,设ON=a,则NF=4-a,∵∠BNO+∠OBN=90°,∠BNO+∠CNF=90°,∴∠OBN=∠CNF,又∵∠BON=∠CFN, 第8题解图④ ∴△BON∽△NFC, ONOBa1 ∴CF=NF,即3=4-a,解得: a=1或a=3, 当a=1时,点N的坐标为(1,0),设点M的坐标为(x,y),∵四边形BNCM为矩形, 解得x=3,y=4, ∴点M的坐标为(3,4); 当a=3时,点N的坐标为(3,0),设点M的坐标为(x,y),∵四边形BNCM为矩形, 解得x=1,y=4, ∴点M的坐标为(1,4), 39 3 x+c 4 综上所述,点M的坐标为(3,4),(1,4),(2,-2)或(2,2). 出点E的坐标和△BEC面积的最大值; (3)在 (2)的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在, 请说明理由. C,与y轴交于点B, 解: (1)∵直线y=-3x+3与x轴交于点 4 ∴点B的坐标是(0,3),点C的坐标是(4,0),∵抛物线y=ax2+3x+c经过B、C两点, 4 33 16a4c0a 4,解得8, c3c3 ∴y=-83x2+43x+3; (2)如解图①,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,交x轴于点 F, 第9题解图① ∴设点E的坐标是(x,-3x2+3x+3), 84 则点M的坐标是(x,-3x+3), 4 ∴EM=-3x2+3x+3-(-3x+3)=-3x2+3x, 84482∴S△EBC=S△BEM+S△MEC=1EM·OC 2 =1×(-3x2+3x)×4 ∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点, =1×(-x+3x)×4 282=-3x2+3x 4=-3(x-2)2+3, 4 ∴
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