最新一次函数的图像和性质讲义4.docx
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最新一次函数的图像和性质讲义4
最新一次函数的图像和性质讲义2019.4
一、知识回顾
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点(0,0)和点(1,k)的一条直线。
解析式
图象
图象位置
函数变化
y=kx(k>0)
第一、
三象限
y随着x
的增大
而增大
y=kx(k<0)
第二、
四象限
y随着x
的增大
而减小
二、导入新课:
什么是一次函数?
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.
当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注:
一次函数一般形式y=kx+b
①k≠0
②x指数为1
③b取任意实数
如何判定一个函数是否为一次函数?
1.从表达式角度考虑:
有三条件:
自变量x为一次;因变量y为一次,系数k≠0.
2.从图像角度考虑:
判断所形成的图像是否为直线。
练习:
1、下列函数关系中,是一次函数的个数是()
①y=②y=③y=210-x④y=x2-2⑤y=+1
A、1B、2C、3D、4
2、若函数y=(3-m)xm-9是正比例函数,则m=。
3、当m、n为何值时,函数y=(5m-3)x2-n+(m+n)
(1)是一次函数
(2)是正比例函数
创设问题
猜想:
既然正比例函数是特殊的一次函数,正比例函数的图象是直线,那么一次函数的图象也会不会也是一条直线呢?
它们图象之间有什么关系?
一次函数又有什么性质呢?
例1作出一次函数y=2x+1的图象.
例2作一次函数y=--2x+5的图象
解:
列表:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=2x+1
..
…
y=--2x+5
描点:
连线:
探究:
1、满足关系式y=-2x+5的x,y所对应的点(x,y)都在一次函数的图象上吗?
满足关系式的x,y所对应的点(x,y)都在图象上.
2、在所作的图象上取几个点,找出它们的横坐标和纵坐标,并验证它们是否满足关系y=-2x+5?
.
图象上所有的点都满足关系式.
类似地,数学上已经证明:
一次函数y=kx+b(b≠0)的图像是一条直线.我们常常把这条直线叫作“直线y=kx+b”.
由于两点确定一条直线,因此画一次函数的图像,只要描出图像上的两个点,然后过这两点作一条直线就行了.
为了便于计算和描点,取我们可以取较简单的数,一般我们取直线与两坐标轴的交点
直线y=kx+b与y轴的交点横坐标为0,所以为(0,b),与x轴的交点纵坐标为0,只要令y=0,求出x即可,即为(
0)
例1、画函数
的图像。
解:
当x=0时,y=1.所以直线与y轴的交点为(0,1)
当y=0时,
,解得:
x=2,所以直线与x轴交点为(2,0)
三、新知探究(五个探究)
探究一:
探究K的正负与函数的关系——回想正比例函数,猜想……
在同一坐标系中作出y=2x+1、y=-2x+1的图象
解:
列表:
描点:
连线:
分析:
从上图中,我们可以看出,对于一次函数y=2x+1,k=2>0,当自变量x取的值由小变大时,对应的函数值y也由小变大;对于一次函数y=-2x+1,k=-2<0,当自变量x取的值由小变大时,对应的函数值y反而由大变小
结论:
从以上的两个例子中,我们可以得到:
一次函数y=kx+b(k≠0)中,K决定了直线的方向:
当k>0时,y随x的增大而增大;(递增)
当k<0时,y随x的增大而减小.(递减)
练习1
1.判断下列函数中,y的值随x的值增大而变化的情况.
(1)y=-3x+3;
(2)y=3x-3;
(3)y=(3-π)x;(4)y=0.5x.
解析:
(1)式中,-3<0,所以函数y的值随x的值增大而减小;
(2)式中,3>0,所以函数y的值随x的值增大而增大;
(3)式中,3-π<0,所以函数y的值随x的值增大而减小;
(4)式中,0.5>0,所以函数y的值随x的值增大而增大.
练习2:
1.一次函数y=3x+6上有两点(2,y1)和(5,y2),则y1与y2的大小关系是________.
解析:
3>0,所以,x越大,y也越大,2<5,所以y1 2.一次函数y=-5x-6上有两点(m1,n1)和(m2,n2),当m1 解析: -5<0,所以,x越大,y越小,因为m1 真题链接: (2013遵义)P1(x1,y1),P2(x2,y2)是函数y=-0.5x+3图象上的两点,下列判断中,正确的是() A.y1>y2B.y1<y2C.当x1<x2时,y1<y2D.当x1<x2时,y1>y2 解析: 根据正比例函数图象的性质: 当k<0时,y随x的增大而减小,所以D为正确答案. 探究二: 探究两条直线的位置关系——平行&相交&重合 请同学们在下面直角坐标系中再画出如下函数的图象: (1)y=2x (2)y=2x+2(3)y=2x-2(4)y=1/2x(5)y=1/2x+2 观察1: 两个一次函数,当k一样,而b不一样时如: y=1/2x与y=1/2x+2,有什么发现? 发现: 两直线互相平行,一条直线可以由另一条直线向上或向下平移得到 结论: 两直线k相等,b不等时,互相平行。 几条直线呢? 总结: 直线: y=k1x+b1,y=k2x+b2 1.K1=k2,b1≠b2时,两直线平行 2.K1≠k2时,两直线相交于一点 3.K1=k2,b1=b2时,两直线重合 观察2: 两个一次函数,当k不一样,如: y=2x+2与y=1/2x+2,有什么发现? 发现: 两直线相交 结论: 两直线k不相等时,相交。 几条直线呢? 练习: 已知: 函数y=(m+1)x+2m﹣6,若函数图象与直线y=2x+5平行,求其函数的解析式。 解: 因为两直线平行,所以: m+1=2解得m=1∴y=2x﹣4 探究三: 探究b的与函数图像的关系 画出函数y=2x-1、y=-2x+l,y=2x+2,y=1/2x+2的图象,并观察他们与y轴的交点。 发现1: 直线y=2x-1中,b=-1,所以与y轴交点为(0,-1); 直线y=-2x+1中,b=1,所以与y轴交点为(0,1); 说明: 图象与y轴交于(0,b),b就叫做图象在y轴上的截距。 发现2: 直线y=2x+2和y=1/2x+2与y轴的交点相同。 总结: 1.直线y=kx+b的图象与y轴交于(0,b),b叫做图象在y轴上的截距。 2.b决定了直线与y轴交点的位置: ①当b>0时,直线与y轴交于正半轴上; ②当b<0时,直线与y轴交于负半轴上; ③当b=0时,直线经过原点,是正比例函数. 练习: 说说下面4个函数与y轴的交点: (1)y=2x+3, (2)y=x-2, (3)y=-2x+4, (4)y=-x+2 探究四: 探究直线的平移 请大家在同一坐标系内作出下列函数y=x,y=x+2,y=x-2的图象。 首先根据刚才学过的知识通过解析式思考这三条直线的特点: 得出: 1.K都大于0,所以三条直线y都随x的增大而增大(k>0,递增); 2.K都相等,所以三条直线互相平行; 3.第一条直线过原点,第二条直线在y轴上的截距为2,第三条直线在y轴的截距为-2. 下面画函数图像 1.列表 x … -2 -1 0 1 2 … y=x … … y=x+2 … … y=x-2 … … 2.描点 3.连线 观察与比较: 议一议: 正比例函数y=x与一次函数y=x+2、y=x-2图象有什么异同点. 归纳: 1.这三个函数的图象形状都是; 2.这三条直线互相平行,即倾斜程度; 3.函数y=x的图象经过原点,函数y=x+2的图象与y轴交于点__,函数y=x-2的图象与y轴交于点, 4.函数y=x+2的图象看作由直线y=x向平移个单位长度而得到.函数y=x-2的图象可以看作由直线y=x向平移个单位长度而得到. 比较它们函数的解析式与图象,你能解释这是为什么吗? 思考: 你能说出一次函数y=3x-4的图象是什么形状吗? 它与直线y=3x有什么关系? 一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx图象有什么关系? 一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。 (当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移) 巩固练习: 1.直线y=3x-2可由直线y=3x向平移单位得到。 2.直线y=x+2可由直线y=x-1向___平移___单位得到。 3.对于函数y=5x+6,y的值随x的值减小而______。 4.函数y=2x-4与y轴的交点为____,与x轴交于___. 5.函数y=3(x-2)在y轴上的截距为____。 6.把直线向上平移3个单位所得到的直线的函数解析式为_____. 7.将直线y=2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是________。 8.在平面直角坐标系中,将直线向下平移4个单位长度后。 所得直线的解析式为___________. 探究五: 探究|k|与直线的关系 发现: |k|越大,直线越接近y轴,|k|越小,直线越离y轴。 |k|相同,直线的倾斜程度相同 即: |k|决定了直线的倾斜程度,|k|越大,直线越“陡” 四、知识小结 一次函数y=kx+b(k≠0) K决定了直线的走向: 1.k的正负决定直线的倾斜方向,k>0,递增,k<0,递减; 2.|k|决定了直线的倾斜程度,|k|越大,直线越“陡”; 3.K相同,两直线平行;k不同,两直线相交; b决定了直线与y轴交点的位置: ①当b>0时,直线与y轴交于正半轴上; ②当b<0时,直线与y轴交于负半轴上; ③当b=0时,直线经过原点,是正比例函数. 一次函数与坐标系的关系 记住最基本的一次函数: 正比例函数 练习: 1.一次函数y=-2x+4的图象经过第象限,y的值随x的值增大而(增大或减少)图象与x轴交点坐标是,与y轴的交点坐标是 . 2.已知k>0,b>0,则直线y=kx+b不经过第_________象限. 3.如图,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m,n是常数,且mn≠0)图像的是(). 4.已知一次函数的图象如图1所示,那么的取值范围是() 练习.如图所示的图象中,不可能是关于x的一次函数y=mx-(m-3)的图象的是() 五、经典例题 例1.已知关于x的一次函数y=(2k-1)x+(2k+1). (1)当k满足什么条件时,函数y的值随x的值的增大而增大? (2)当k满足什么条件时,y=(2k-1)x+(2k+1)的图像经过原点? (3)当k满足什么条件时,函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像与y轴的交点在x轴的下方? (4)当k满足什么条件时,函数y的值随x的值的增大而减小且函数图像与y轴的交点在x轴的上方? 解析: (1)当2k-1>0时,y的值随x的值增大而增大.解2k-1>0,得: k>0.5. (2)当2k+1=0,即k=-0.5时,函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像经过原点. (3)当2k+1<0,函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像与y轴的交点在x轴的下方.解2k+1<0,得k<-0.5. (4)当2k-1<0时,y的值随x的值增大而减小.解得: k<0.5. 当2k+1>0,函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像与y轴的交点在x轴的上方.解得k>-0.5. 所以此时k的取值范围为-0.5 例2.已知关于x的一次函数y=kx+4k-2. (1)如果函数的图像经过原点,求k的值. (2)如果y的值随x的值的增大而减小,求k的取值范围. 解析: (1)该函数的图像经过原点,即其常数项为0,所以4k-2=0,解得,k=0.5. (2)该函数y的值随x的值的增大而减小,即其自变量系数小于0,所以k<0. 例3.画出函数y=-3x+3的图像,结合图像回答下列问题: (1)y的值随x的值增大(填“增大”或“减小”),图像从左到右(填“上升”或“下降”) (2)当y<0时,求x的取值范围. (3)当0<x<1时,求y的取值范围. 解析: 图像如图所示 (1)由图像可以得出答案. (2)由图可知,当y<0时,x的取值范围为x>1. (3)由图可知,当0<x<1时,y的取值范围为0<y<3. 六、本节知识点总结 一次函数,图像是一条直线 (1)解析式: y=kx+b(k、b是常数,k≠0) (2)必过点: (0,b)和(-b/k,0) (3)走向: k>0,b>0,过一二三象限 k>0,b<0,过一三四象限 k<0,b>0,过一二四象限 k<0,b<0,过二三四象限 (4)增减性: k>0,y随x的增大而增大; k<0,y随x增大而减小. (5)倾斜度: |k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴. (6)图像的平移: 当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位; 当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位. 七、课后配套练习 函数图像及其性质总结 函数 图象 性质 经过象限 变化规律 y=kx+b (k、b为常数, 且k≠0) k>0 b>0 b=0 b<0 k<0 b>0 b=0 b<0 ☆一次函数y=kx+b(k≠0)中k、b的意义: k(称为斜率)表示直线y=kx+b(k≠0)的倾斜程度; b(称为截距)表示直线y=kx+b(k≠0)与y轴交点的,也表示直线在y轴上的。 ☆同一平面内,不重合的两直线y=k1x+b1(k1≠0)与y=k2x+b2(k2≠0)的位置关系: 当时,两直线平行。 当时,两直线相交。 当时,两直线交于y轴上同一点。 ☆特殊直线方程: X轴: 直线Y轴: 直线 与X轴平行的直线与Y轴平行的直线 一、三象限角平分线二、四象限角平分线 一次函数的定义类型: 1、下列函数关系中,是一次函数的个数是() ①y=②y=③y=210-x④y=x2-2⑤y=+1 A、1B、2C、3D、4 2、若函数y=(3-m)xm-9是正比例函数,则m=。 3、当m、n为何值时,函数y=(5m-3)x2-n+(m+n) (1)是一次函数 (2)是正比例函数 一次函数的增减性类型: 1.一次函数y=3x+6上有两点(2,y1)和(5,y2),则y1与y2的大小关系是________. 2.一次函数y=-5x-6上有两点(m1,n1)和(m2,n2),当m1 3.P1(x1,y1),P2(x2,y2)是函数y=-0.5x+3图象上的两点,下列判断中,正确的是() A.y1>y2B.y1<y2C.当x1<x2时,y1<y2D.当x1<x2时,y1>y2 两条直线的位置关系类型: 已知: 函数y=(m+1)x+2m﹣6,若函数图象与直线y=2x+5平行,求其函数的解析式。 直线的截距类型: 说说下面4个函数与y轴的交点和截距 (1)y=2x+3: 与y轴交点为_________,截距为__________。 (2)y=x-2: 与y轴交点为_________,截距为__________。 (3)y=-2x+4: 与y轴交点为_________,截距为__________。 (4)y=-x+2: 与y轴交点为_________,截距为__________。 直线的平移类型: 1.直线y=3x-2可由直线y=3x向平移单位得到。 2.直线y=x+2可由直线y=x-1向___平移___单位得到。 3.对于函数y=5x+6,y的值随x的值减小而______。 4.函数y=2x-4与y轴的交点为____,与x轴交于___. 5.函数y=3(x-2)在y轴上的截距为____。 6.把直线向上平移3个单位所得到的直线的函数解析式为_____. 7.将直线y=2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是________。 8.在平面直角坐标系中,将直线向下平移4个单位长度后。 所得直线的解析式为___________. 一次函数与坐标系的关系类型: 1.一次函数y=-2x+4的图象经过第象限,y的值随x的值增大而(增大或减少)图象与x轴交点坐标是,与y轴的交点坐标是 2.已知k>0,b>0,则直线y=kx+b不经过第_________象限. 3.如图,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m,n是常数,且mn≠0)图像的是(). 4.已知一次函数的图象如图1所示,那么的取值范围是() 5练习.如图所示的图象中,不可能是关于x的一次函数y=mx-(m-3)的图象的是() 一次函数的图像与性质综合题 1.已知关于x的一次函数y=(2k-1)x+(2k+1). (1)当k满足什么条件时,函数y的值随x的值的增大而增大? (2)当k满足什么条件时,y=(2k-1)x+(2k+1)的图像经过原点? (3)当k满足什么条件时,函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像与y轴的交点在x轴的下方? (4)当k满足什么条件时,函数y的值随x的值的增大而减小且函数图像与y轴的交点在x轴的上方? 2.已知关于x的一次函数y=kx+4k-2. (1)如果函数的图像经过原点,求k的值. (2)如果y的值随x的值的增大而减小,求k的取值范围. 3.画出函数y=-3x+3的图像,结合图像回答下列问题: (1)y的值随x的值增大(填“增大”或“减小”),图像从左到右(填“上升”或“下降”) (2)当y<0时,求x的取值范围. (3)当0<x<1时,求y的取值范围.
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