小学数学公倍数和公因数Microsoft Word 文档文档格式.docx
- 文档编号:1288628
- 上传时间:2023-04-30
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:25.18KB
小学数学公倍数和公因数Microsoft Word 文档文档格式.docx
《小学数学公倍数和公因数Microsoft Word 文档文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小学数学公倍数和公因数Microsoft Word 文档文档格式.docx(14页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
解:
根据题意需求出这个长方形长边和短边的最小公倍数。
20与12的最小公倍数是60
也就是说至少要铺成边长为60厘米的正方形,才不需要切割(如图所示)。
边长有了(60厘米)块数则有:
60÷
20=3(块)
60÷
12=5(块)3×
5=15(块)
答:
正方形的边长最少是60厘米,共需这样的砖15块。
分割(求最大公因数)
【例2】有一张长方形纸,长50cm,宽40cm,如果要将这张长方形纸剪成若干同样大小的正方形而没有剩余,剪出的小正方形的边长最大是几厘米?
共剪出多少个?
根据题意求出这个长方形的长边和短边的最小公因数。
50与40的最小公因数是:
10。
也就是说剪下的小正方形的边长必须是10厘米,那样才能将纸全部剪成小正方形而没有剩余(如图所示)。
那么每条边上可剪几个边长为10的小正方形呢
50÷
10=5(个)
40÷
10=4(个)5×
4=20(个)
也可用短除法直接25040
想想看,为什么?
52520
54
小正方形的边长为10厘米,可剪20个这样的小正方形。
以上两个例题是此类题目的基础,也是解决这类问题的关键,因为所有此类题目都是由这两种类型衍生而来,真正弄通它们,并辅以自己已学的知识,举一反三,此类难题都会迎刃而解。
练习
一、凑整(最小公倍数)
1、简单的凑整问题
1)水果店有苹果三十几千克,营业员把它们分成3千克一包、4千克一包、9千克一包,都可以正好分完。
这些苹果共有多少千克?
2)用几张长4厘米,宽3厘米的长方形纸片拼成一个正方形,这个正方形的面积最少是多少平方厘米?
3)同学们去划船,如果3人一条船或4人一条船都正好做满。
至少有多少同学去划船?
4)长方形砖长6分米,宽4分米。
用这样的砖铺一个正方形地不需要切割。
这个正方形地的边长最小是多少分米?
5)五
(一)班学生分6人一组、7人一组做广播操都正好分完,五
(一)班最少有多少人?
同学们去军训,按12个人一组或10个人一组排队,都正好,这次军训至少去了多少人?
6)五
(二)班女同学做早操,如果12人站一行,或者8人站一行,都恰好是整行。
这个班女同学在20人以上30人以下。
该班女同学有多少人?
7)有一批砖,长30厘米,宽24厘米,至少用多少这样的砖才能铺成一个实心的正方形?
8)一盒糖果,5个5个地数,或者7个7个地数都正好数完。
请问这盒糖果最少有多少个?
9)18朵黄花,24朵红花,分别插在花瓶中,要使每个花瓶中黄花的朵数都相等,红花的朵数也都相等且没有剩余,每个花瓶中最少插几朵花?
其它如环形跑道问题、长方形、正方形等问题与此类似。
2、特殊的凑整问题
A、植树
1)园林工人在长48米的小路两旁每隔6米栽一颗树(首尾都栽),现在要改成每隔4米栽一颗树,那么不用移栽的树有多少颗?
分析:
与在6和4有共同倍数的点上的树不用移栽,故先求出6和4的最小公倍数,再按照间隔问题的解题方法解题即可。
[4、6]1248÷
12=44+1=5(棵)因首尾都栽
不用移栽的树有5棵。
2)学校道路的一侧栽了一行小树,从第一棵到最后一棵的距离是50米。
原来每2米栽一棵树,现想调为每5米栽一棵树。
如果两端不移动,中间有几棵树不用移动?
3)学校运动会即将召开,沿着周长为60米的操场插彩旗,原来从一端起每隔3米插面彩旗。
由于彩旗比效少,现改成每隔4米插一面。
有些位置已经插好的就不需要重新插上,不需要重新插的彩旗有多少面?
B、时间
【例】一个汽车起始站有12路和15路两路公交车。
12路车每8分钟发一次车,15路车每10分钟发一次车。
它们在7:
10同时发车,它们下次同时发车的时间是几时几分?
两路车发车的时间虽各不相同,什么时候才能同时发车呢,
必须求出他们的公倍数,这有在这一点时他们才同时发车。
[8、10]40
7:
10+40=7:
50
它们下次同时发车的时间是7时50分。
1)小亮和小华利用暑假一起去参观世博园的中国馆,小亮每6天去一次,小华每8天去一次。
7月31日两人同时参观了世博园的中国馆。
几月几日,他们又再次相遇。
2)小丽、小红、小卫都是学校的值班老师。
小丽每3天值一次班,小红每4天值一次班,小卫每8天值一次班。
四月第一天他们正好同时值班。
下一次他们同时值班是在几月的那一天?
3)暑假里,王老师每6天到校一次,崔老师每8天到校一次。
如果7月21日两人同时到校。
下一次两人同时到校是那一天?
4)暑假期间,小杰和小雅都去参加游泳训练。
小杰每隔6天去一次,小雅每隔9天去一次。
7月31日两人同时参加了游泳训练后,几月几日他们又再次相遇?
5)一个汽车起始站有12路和15路两路公交车。
6)某公共汽车站有三条线路,1路车每6分钟发一辆王车,2路车每8分钟发一辆车,3路车每10分钟发一辆车,早晨6:
20三条线路同时发车,第二次同时发车是什么时间?
7)1路车和2路车早上6时从起始站发车,1路车每隔8分钟发一辆车,2路车每隔10分钟发一辆车。
这两路车第地次发什么时候同时发车?
8)甲、乙、丙三个同学绕环形跑道跑步,甲跑完一圈要1分钟,乙跑完一圈要1分30秒,丙跑完一圈要1分15秒。
现在三人同时同地出发,几分钟后,三人又在出发地点相会?
这时他们跑了多少圈?
C、植树与时间的综合问题
例、在一张长36厘米的纸条上,先从左端起,每隔3米画一个红点,再从右端起,每隔4米画一个红点,纸条的两端都不画,最后纸条上有多少红点?
第一先分别求出两种画法的点数,即:
36÷
3=12、36÷
4=9;
第二步,由于两端都不画,两种方法可画出的点实际为:
12-1=11,9-1=8;
第三步,在分别用两种方法画时,有的点会出现重叠,它们会在什么时候重叠呢?
只能在它们公共的倍数的点上,那么至少在什么公共点上重叠呢?
当然只能在它们的最小公倍数的那个点上,因此只要求出它们的最小公倍数就可以知道它们重叠的点了:
[4、3]12;
第四步,它们的最小公倍数为12,全长36厘米有36÷
12=3个间隔,由于纸条的两端都不画,因此只有两个重叠点即:
3-1=2(个);
第五步,最后纸上的实际红点数为:
11+8-2=17(个)
3=1236÷
4=912-1=119-1=8
[3、4]1236÷
12=33-1=2
最后纸上的实际红点数为17个。
1)大雪后的一天,亭亭和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。
亭亭每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,由于两个人的脚印有重合,所以雪地上只留下60个脚印。
问这个花圃的周长是多少米?
3、有余数的凑整问题
A、余数相等
1)鲜花店购进一批鲜花,每10朵扎成一束或每14朵扎成一束,都正好少2朵,这个鲜花店至少购进了多少朵鲜花?
问至少购进了多少鲜花,也就是说购进的鲜花既是10和14的公倍数同时各少两朵。
所以这是一条求最小公倍数的习题。
[10、14]6060-2=58(朵)
这个鲜花店至少购进了58朵鲜花。
2)同学们去春游,每8人一组或10人一组都余3人,这次春游至少有多少人?
3)一个自然数分别除以4、5都余1,这个自然数最小是多少?
B、余数不等
1)学校买来若干只篮球。
如果把这些篮球平均分给5个班,余4只;
如果平均分给7个班,余6只。
学校至少买来多少只篮球?
首先必须明确,分别平均分给5个班和七个班至少要买多少篮球的含义,即买得的篮球数既要是5的倍数,同时也要是7的倍数,同时还是最少的。
我们先列出它们的一些倍数
5的倍数5、10、15、20、25、30、35……
7的倍数7、14、21、28、35……
通过对这两组数字的对比,我们发现只有34完全符合题目所提出的所有条件。
28+6=3430=4=34
我们还可以从最小公倍数入手,找出符合以上所有条件的点。
如果用两种分配方式进行分配正好分配完并且是最少的,那分配的数额一定是它们的最小公倍数,但是现在在分配时出现发误差,那么误差肯定发生在最后的一次分配中,这次分配数额也最接近最小公倍数,只有最接近最小公倍数这个数才能是题目上要求的“至少”的数额,因此我们可先求出最小公倍数,缩小范围。
如本例,既然这个数既是5的倍数余4又是7的倍数余6。
通过分析我们发现5的倍数余4最接近最小公倍数的是34即5*6=30余4,再看看34是不是7的倍数余6,有4*7=28恰好比34小6,因此34符合了以上所有的条件。
第一种方法只适用于数字较小的题目,如果数字过大我们很难一一列举,此方法只作辅助理解,而第二种方法则为我们所必须要掌握的。
[5、7]355*6=3030+4=34
4*7=2828+6=34
2)篮子中装了几斤鸡蛋(10以上)。
如果4个4个地数,多2个;
5个5个地数,多1个。
这筐鸡蛋至少有多少个?
3)五年级二班开展了“献一本书看百本书”的活动,李坤同学拿来了自己的全部课外书,如果分成3组还多1本;
分成6组,也多一本;
分成7组,则多出2本。
你知道他一人至少捐了多少本书吗?
4)有一堆物品,三个三个地数,剩下两个,五个五个地数剩下三个,七个七个地数剩下二个,求这堆物品的个数(只要求出最小值)。
(二)分割(最大公因数)
1、简单的分割问题
1)有一张长方形纸,长50厘米,宽40厘米。
如果将这张长方形纸剪成若干同样大小的正方形而没有剩余,剪出的小正方形的边长最大是几厘米?
2)一个长方形的面积是30平方厘米,它的长和宽都是整厘米数。
这样的长方形有几种?
分别写出来。
3)一个长方形纸片长26厘米,宽20厘米,在纸的四边留1厘米的空白,然后把中间长方形分成若干个相同的正方形。
正方形的边长最长的是多少厘米?
4)有两根铁丝,第一根长15厘米,第二根长18厘米,要截成同样长的小段,而且没有剩余,每小段最长是多少厘米?
一共能截成几段?
5)把长度为20厘米、12厘米的两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余,每根短彩带最长是多少厘米?
6)把长度是70米、50米的两根钢筋,截成同样大小的小段且没有剩余,每一小段最长截多少米?
7)把一张长12分米、宽8分米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形,纸没有剩余,至少可以栽多少个?
8)某班的人数在30—40之间,小组活动时,把全班人数分为6人一组,或9人一组,都恰好没有剩余,这个班有多少人?
9)将一张长30厘米,宽18厘米的长方形纸,剪成同样大小,边长为整厘米的正方形,有几种不同的剪法?
正方形的边长最长是多少厘米?
10)将两根长度分别是24厘米的36厘米的绳子,剪成同样长的小段,正好剪完没有剩余。
每段最长是多少厘米?
11)把45厘米长的蓝带子,77厘米长的红带子,剪成同样的小段,结果都剩下了5厘米。
剪成的小段最长是多少厘米?
12)长方形砖长20厘米,宽12厘米,用这样的砖铺一块正方形地,不需切割,正方形地的边长最少是多少厘米?
13)把两根分别长24分米和30分米的木料锯成若干相等的小段而没有剩余,每段最长是多少分米?
14)把一张长24厘米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形,纸没有剩余,至少可以裁多少个?
15)两根铁丝分别长34厘米、51厘米,要把它们截成同样的小段,而且不能有剩余,每小段最长是多少厘米?
16)一块长方形塑料板,长24厘米,宽18厘米,要把它正好分成若干个小正方形,小正方形的边长最大可以是多少厘米?
17)现有语文课本42本、数学课本112本、外语课本70本,平均分成若干堆,每堆中这三种课本的数量分别相等。
最多可以分成多少堆?
18)用96朵红花和72朵白花扎成花束,如果每束花里的红花的朵数相等,白花的朵数也相等,每束花里至少有几朵花?
2、有余数的分割问题
A、余数相等
此类题目的特点是:
先减去多余部分然后求出最大公因数,较易掌握,不再举例。
1)甲乙两根彩带,甲长31厘米,甲乙长43厘米,把它们裁成同样长的小段,结果两根都余1厘米。
每一小段最长是几厘米?
2)18和30分别同除以一个自然数都余2,这个自然数最大是多少?
B、余数不等
1)把44块水果糖和36块巧克力分别分给同一组的同学,结果水果糖剩4块,巧克力剩1块。
你知道这个组有几个同学吗?
2)甲乙两根钢筋,甲长25米,乙长20米,把他们截成同样长的小段,结果甲余1米,乙余2米,每一小最长几米?
3)把20块水果糖和15块奶糖分别平均分给一个组的同学,结果水果糖剩余2块,奶糖剩余3块。
这个组最多少有几个同学?
需要注意的几个问题:
1、区别倍数与因数问题与盈亏问题。
2、分清是求最小公倍数还是求最大公因数。
一般来讲有求“至少”等一类的问题的题目为最小公倍数问题,有求“最多,最大”等一类问题的题目为求最大公因数。
当然这仅仅是对初学者而言,重要的是通过一定量的练习和归纳总结,掌握其内在规律。
3、在做有余数的特别是余数不等的习题时,一定要细心分析对比。
三、分解质因数
互质:
两个因数的公约数为1这两个数就叫互质。
质因数:
如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个因数的质因数。
如2、3都是36的质因数,4、9都是36的因数,但不是36的质因数。
分解质因数:
把一个合数用质因数乘积的形式表示出来,叫做分解质因数。
(分解质因数可用短除法)利用这些可以解决一些数学上的问题。
例:
妹妹告诉小华:
“我这次所得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910,你看我的成绩和名次是多少?
”
由题中所给条件可知,2910是三个数的乘积,那么就要把2910分解质因数。
用短除法或直接分解的方法将2910分解质因数得:
2910=2×
97(在质因数的连乘中一般要按从大到小的顺序排列)=2×
(3×
5)×
97=2×
15×
97
小华的妹妹是个中学生不可能是2岁、3岁、5岁也不可能是6岁、10岁,因此可以肯定小华的妹妹是15岁,名次是第二名,成绩是97分。
1、有四个小朋友,他们的年龄一个比一个大一岁,4个人的年龄乘积是360,他们中年龄最大的是多少岁?
2、将下列八个数平均分为两组,并使这两组的乘积相等。
12、18、33、35、36、65、77、104.
3、三个自然数的乘积为120,其中两个数的和等于另一个数,求这三个数。
4、有四个小朋友,他们的年龄一个比一个大一岁。
4个人的年龄的乘积是360。
他们中年龄最大的是多少岁?
四、较难的最小公倍数与最大公因数题
【例】加工一种零件有三道工序,第一道工序每个工人每小时完成48个零件,第二道工序每个工人每小时可完成32个,第三道工序每个工人每小时可完成28个。
在每道工序至少要安排多少工人,才能搭配适合,使每道工序不产生积压或停工待料。
要搭配合适,就是要使每小时内各道工序加工出的零件数相同。
即在每道工序至少要安排多少人,就是所求的人数必须能整除48、32和28,并且最小。
那么我们就要求出48、32、和28的最小公倍数,然后根据这个数,再分别除以每道工序的工效、求出应安排的人数。
[48、32、28]=672
第一道工序安排:
67248=14(人)
第二道工序安排:
67232=21(人)
第三道工序安排:
67228=24(人)
第一、二、三道工序分别安排14人、21人和24人。
动物园里的饲养员给三群猴子分花生。
如里只分给第一群猴子,则每只猴子可分得12粒;
如果只分给第二群猴子。
则每只猴子可分得15粒;
如果只分给第三群猴子,则每只猴子可分得20粒。
那么,把花生同时分给三群猴子,平均每只猴子可分得花生多少粒?
两个数的最大公约数与最小公倍数有如下关系
(a,b)×
[a,b]=a×
b
1)已知A、B两数的最大公约数是12,最小公倍数是72,A=36,B=?
2)两个自然数的和是52,它们的最大公约数是4,最小公倍数是144。
求两个数各是多少。
3)有一种自然数,它们加上1是2的倍数,加上2是3的倍数,加上3是4的倍数,加上4是5的倍数加上5是6的倍数,加上6是7的倍数。
这种自然数除1外,最小的数是多少?
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 小学数学公倍数和公因数Microsoft Word 文档 小学 数学 公倍数 公因数 Microsoft