不可压缩流体动力学基础习题答案.docx
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不可压缩流体动力学基础习题答案
不可压缩流体动力学基础
1.已知平面流场的速度分布为
UX
X2
Xy,Uy
2
2Xy5y。
求在点(1,
处流体微团的线变形速度,角变
形速度和旋转角速度。
解:
(1)线变形速度:
UX
2X
Uy
4xy
角变形速度:
旋转角速度:
将点(1,-1)
2.
涡线方程。
解:
旋转角速度:
UX
UX
Uy
角变形速度:
Uy
dy
2
X
y
1
Uy
UX
2
X
X
得流
M本微团的
X
£场
为UX
2y
1
UZ
X
2
y
UZ
1
X
2
UX
1
y
2
1
UZ
Uy
2
y
Z
UZ
5
X
2
UX
5
y
2
Uy
Uy
32,
虫积分得涡线的方程为:
yXG,ZXC2
Uy
3/2;
Z1/2
2z3x,UZ2x3y
试求旋转角速度,角变形速度和
UXCy2Z2,UyQ,UZQ,式中C为常数,试求流场的涡量及涡线方程。
解:
流场的涡量为:
UZ
Uy
X
y
Z
UX
UZ
y
Z
X
Uy
UX
Z
X
y
旋转角速度分别为:
X
CZ
y2、y2
2Z
Cy
Z2,y2Z2
则涡线的方程为:
y
即dy
dz
C
Z
y
可得涡线的方程为
2
:
y
4求沿封闭曲线
2
Xy
UyQ,U
Ar
3.已知有旋流动的速度场为
2
CZ
Cy
.y2
C2
dz
b2,Z
。
其中A为常数。
Q的速度环量。
(1)UX
AX,UyQ;
(2)UXAy,UyQ;(3)
解:
(1)由封闭曲线方程可知该曲线时在Z=Q
的平面上的圆周线。
在Z=Q的平面上速度分布为:
UX
AX,Uy
涡量分布为:
根据斯托克斯定理得:
AZdAZ
(2)涡量分布为:
根据斯托克斯定理得:
ZdAZ
Ab2
(3)由于Ur0,U
Ar
则转化为直角坐标为:
UX
Ay
芬,Uy
AX
br
UyUX2A
根据斯托克斯定理得:
AZdAZ
5.试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件?
答:
不可压缩流体连续性方程
直角坐标:
UXUy
Xy
UZ
Z
0
UrUr
U
Uz
柱面坐标:
rr
Z
rr
r
Z
(1)
UX
kX,Uy
ky,Uz
0
(2)
UX
yZ)Uy
ZX)U
ZX
(3)
UX
k(x2Xy
2
y),Uy
k(X2
(1)
0
(2)
代入
(1)满足
y代入
(1)满足
y2),Uz0代入(i)不满足
(4)
UX
ksinXy)U
y
ksin
Xy)UZ
0
代入(
1)
不满足
(5)
Ur
0,ukr
Uz
0
代入
(2)
满足
k
0,Uz
0
(6)
Ur
U
代入
(2)
满足
r
(7)
Ur
2rsinCoS,u
2rSin
2,Uz
0代A
(2)
满足
6.已知流
2
i场的速度分布为UXXy,
Uy
3y,Uz
:
2z2。
求(3,
1,2)
点上流体质点的加速度。
解:
aχ
UX
UX
UX
Uy
U
U
UX
Z
0X2y
2xy
3y
232λ2
02xy3xy
t
X
y
Z
ay
UyUy
UX
Uy
Uy
UZ
Uy
9y
t
y
Z
UZUZ
UZ
UZ-2
aZ
UX
Uy
UZ
8Z
t
y
Z
将质'
点(
3,1,2)代入ax、
ay'az
中分别彳
寻:
ax27,ay9,az64
7.已知平面流场的速度分布为
UX4t
X2
2Y
2
2x
速度
解:
ax
UX
UX
UX
UX
UY-
Y
4t
0时,
aχ
8xy2
Y
2x2x2
X2
将(1,
1)代入得ax
aY
UYUY
TUXT
UY
UY
4t
当t=0时,将(1,1)代入得:
8.设两平板之间的距离为2h,
分布。
aY
平板长宽皆为无限大,
解:
Z方向速度与时间无关,质量力:
运动方程:
Z方向:
d2U
dx2
X方向:
0
积分:
P
gXf(z)
P对Z的偏导与X无关,
积分:
U
1PX2
边界条件:
得:
C1
0,C2
■-U
hi_P
2Z
,UY
2Y~~2X
2Y2
22
Y
2Y
2
X
如图所示。
Z方向的运动方程可写为
C1XC2
Ph2
Z
—。
求t
Y
0时,在(1,1)
点上流体质点的加
2x2y
22
Y
X2
2x
2
Y
2X2
4x2
22
Y
2x
X
X2
X2
4XY
22
Y
试用粘性流体运动微分方程,求此不可压缩流体恒定流的流速
d2U
d7
9.沿倾斜平面均匀地流下的薄液层,试证明:
2
(1)流层内的速度分布为U2byYSin;
(2)单位宽度上的
2
2
4Y
22
Y
流量为q-bsin
解:
X方向速度与时间无关,质量力
XgSin
gcos
运动方程:
X方向:
0gSin
d2u
dy7
y方向:
0gcos
积分P
gycos
f(X)
Pa
gbcos
f(X)
■-P
Pa
g(hy)cos
Tb
常数
①可变为
d2u
dy2
gsin
积分U
叫”2Gy
C2)
边界条件:
du
dy
b,C20
■-U
gsin
2
y(2by)
2L(2by
y2)sin
b
0udy
b
02
(2by
y2)sindy
Qb3sin
10.描绘出下列流速场
解:
流线方程:
dX
dy
Uy
3,代入流线方程,积分:
(a)UX4,Uy
直线族
(b)UX4,Uy3x,代入流线方程,积分:
(C)UX4y,Uy0,代入流线方程,积分:
直线族
22
3y
/(
F
■F
/
//
((
∖∖X
\
\\
X\
抛物线族
(d)UX4y,Uy3,代入流线方程,积分:
3x,代入流线方程,积分:
椭圆族
(e)UX4y,U
3x2
4y2C
(f)UX4y,Uy4x,代入流线方程,积分:
X
双曲线族
22
(g)UX4y,Uy4x,代入流线方程,积分:
XyC
(h)UX4,Uy0,代入流线方程,积分:
Xy
V
O
X
直线族
4,U
4x,代入流线方程,积分:
2
X
C
2
抛物线族
(j)UX4x,Uy0,代入流线方程,积分:
yC
直线族
(k)UX4xy,Uy0,代入流线方程,积分:
yC
0,由换算公式:
UXUrCOSUSin
UyUrSinUcos
UX
C
-0
CX
Uy
2
2'
r
r
X
y
r
Cy
0
rr
Cy
X
代入流线方程积分:
C
y
直线族
CCCX
(m)Ur0,U,UX0
rrr
Cy
Uy0C-
CX
2
2,
2
2
X
y
rr
X
y
V
O
X
直线族
22
代入流线方程积分:
X2y2C
11.在上题流速场中,哪些流动是无旋流动,哪些流动是有旋流动。
如果是有旋流动,它的旋转角速度的表达式是什么?
UXUy
解:
无旋流有:
Xy
Ur
UΓ
(或
)
yX
Γ
(a),(f),(h),(j),(I),(m)
为无旋流动,
其余的为有旋流动
对有旋流动,旋转角速度:
1(-
Uy
UX)
2
X
y
3
2(e)
7
(b)-(C)2
(d)
—•
2
2
(g)4(i)2
(k)
2x
12.在上题流速场中,求出各有势流动的流函数和势函数。
解:
势函数UXdXUydy
(e)
4dy3dx
3x4y
4ydx
3xdy
X
X4y°dx
x0
y
y0
3xdy
取(Xo,yO)为(0,0)
积分路线可选
其中0,0x,0:
dy
o,y
x,0x,y
:
dx
0,x
X
(0°dx
3xdy)
y
(04ydx
3xdy)
(0
0)
(03xy)3xy
4ydy
3xdx
2y2
流函数
UXdyUydX
(a)
4dx3dy4x3y
其他各题略
13.流速场为(a)Ur
0,U
(b)Ur
0,U
2,
γ时,
求半径为Γ1和「2的两流线间流量的表达式。
解:
dQd
Urrd
Udr
(a)
Cdrr
Clnr
.∙.Q
r1
Clnr2(clnr1)cln-
r2
(b)
2rdr
2r2
F)
14.流速场的流函数是
3x
2y
它是否是无旋流动?
如果不是,计算它的旋转角速度。
证明任一点的流速只取决于
它对原点的距离。
绘流线
2
解:
——6xy—r6y
XX
—3x23y2
y
UX——3x23y2Uy
y
:
22Oz22X
■-U.UXUy3(Xy)
——6χy
X
2
3r即任一点的流速只取决于它对原点的距离
y2)2
1
流线2即3x2yy32
用描点法:
22
y(3x
y1,x
y1,x
y2,x
y2,x
(图略)
15.确定半无限物体的轮廓线,需要哪些量来决定流函数。
要改变物体的宽度,需要变动哪些量。
以某一水平流动设计的绕流流
速场,当水平流动的流速变化时,流函数是否变化?
解:
需要水平流速V0,半无限物体的迎来流方向的截面A,由这两个参数可得流量QV0A。
改变物体宽度,就改变了流量。
当水平流速变化时,
也变化
Voy
-QarCtg∑
2X
16.确定朗金椭圆的轮廓线主要取决于哪些量?
试根据指定长度l2m,指定宽度b0.5m,设计朗金椭圆的轮廓线。
解:
需要水平流速v0,一对强度相等的源和汇的位置a以及流量
Voy
Qy
(arctg
Xa
y
arctg)
Xa
驻点在y
0,x
1
—处,由I
2
2,b0.5得椭圆轮廓方程:
X2
2
即:
X2
16y2
17.确定绕圆柱流场的轮廓线,主要取决于哪些量?
已知
R2m,
求流函数和势函数。
解:
需要流速
V0,柱体半径R
Vo(r
R2
)Sinr
■-R2
Vo(r
4)sin
vo(r
R2
——)cosr
■-R2
Vo(r
Rl)cos
18.等强度的两源流,位于距原点为
a的X轴上,求流函数。
并确定驻点位置。
如果此流速场和流函数为
Vy的流速场相
叠加,绘出流线,并确定驻点位置。
解:
叠加前
Qy
(arctg—
arctg—
XaX
UX
Q(Xa
(_
y(Xa)
Xa)~~22)
y(Xa)
Uy
(y
\22
y(Xa)
(⅛)
Uy
Qy
(y2
a2)
UX0
UX
Q厂(Xa
Uy0
二驻点位置
(0,0)
叠加后
Vy
Qy
厂EC
arctg
丄)
Xa
流速为零的条件:
UXy0V
y
2(Xa)
2(Xa)
即驻点坐标:
21vQQ(2aV)2,°
解得:
X
.QL(2a~V)2
1
FV
...Q2(2aV)2,0
2
19.强度同为60mIS的源流和汇流位于X轴,各距原点为a
3m。
计算坐标原点的流速。
计算通过(0,4)点的流线的
流函数值,并求该点流速。
Qyy
解:
(arctgarctg)
XaXa
UX
y0,Q
60,a3
6.37m∕s
Uy
(0,4)
的流函数:
4
(arctg-
4
arctg二)
Qarctg4
UX
Q60,x0,y4,a3
1
)
1宀2xa
Xa
180
m/s
25
Uy
20.为了在(0,5)点产生10的速度,在坐标原点应加强度多大的偶极矩?
过此点的流函数值为何?
2
解:
M2V0R
将V010,R5代入得:
M500
MSin
2r
将M500,sin1,rR5代入得:
50
22
21.强度为0.2m/s的源流和强度为1m/S的环流均位于坐标原点,求流函数和势函数,求(1m,0.5m)的速度分量。
Ur
Q
解:
Inr,
22
将1,r.120.52代入得:
U
0.142m∕s
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