各种函数图象.docx
- 文档编号:12847390
- 上传时间:2023-06-08
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:74.76KB
各种函数图象.docx
《各种函数图象.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《各种函数图象.docx(14页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
各种函数图象
各种函数图象
底数与指数函数图像:
(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:
在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:
在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。
(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:
在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
(如右图)》。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数图像总是通过(1,0)点。
(4)a大于1时,为单调增函数,并且上凸;a大于0小于1时,函数为单调减函数,并且下凹。
(5)显然对数函数无界。
形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。
当a取非零的有理数时是比较容易理解的,而对于a取无理数时,初学者则不大容易理解了。
因此,在初等函数里,我们不要求掌握指数为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。
特性
对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:
首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数(即p、q互质),q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号下(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,,?
)。
当指数a是负整数时,设a=-k,则y=1/(x^k),显然x?
0,函数的定义域是(,?
,0)?
(0,,?
)。
因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:
排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数;排除了为0这种可能,即对于x<0或x>0的所有实数,q不能是偶数;排除了为负数这种可能,即对于x为大于或等于0的所有实数,a就不能是负数。
定义域与值域
当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:
1.如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;2.如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。
当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况
如下:
1.在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。
2.在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数,0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
第一象限
可以看到:
(1)所有的图形都通过(1,1)这点.(a?
0)a,0时图象过点(0,0)和(1,1)
(2)当a大于0时,幂函数为单调递增为增函数而a小于0时,幂函数为单调递减为减函数。
(3)当a大于1时,幂函数图形下凸(竖抛);当a小于1大于0时,幂函数图形上凸(横抛)。
当a小于0时,图像为双曲线。
(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。
(5)显然幂函数无界限。
(6)a=2n,该函数为偶函数,x|x?
0,。
图象
幂函数的图象:
?
当a,0时,函数是增函数?
当a=0时,函数图像平行于x轴且y=1?
当a,0时,函数是减函数
定义1:
[1]平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。
定义2:
平面内,到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线。
定义3:
一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交线称为双曲线。
定义4:
在平面直角坐标系中,二元二次方程h(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时,其图像为双曲线。
1.a,b,c不都是0。
2.b^2-4ac>0。
在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于x,y轴对称的情形。
这时双曲线的方程退化为:
x^2/a^2-y^2/b^2=1。
上述的四个定义是等价的。
编辑本段重要概念和性质
以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。
双曲线有两个分支。
在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点,定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。
双曲线有两个焦点。
在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。
在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比,称为该双曲线的离心率。
双曲线有两个焦点,两条准线。
(注意:
尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。
但是给定同侧的一个焦点,一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支,而两侧的焦点,准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。
)双曲线与两焦点连线的交点,称为双曲线的顶点。
双曲线有两条渐近线。
编辑本段?
双曲线的简单几何性质
1、轨迹上一点的取值范围:
x?
a,x?
-a(焦点在x轴上)或者y?
a,y?
-a(焦点在y轴上)。
2、对称性:
关于坐标轴和原点对称。
3、顶点:
A(-a,0),A'(a,0)。
同时AA'叫做双曲线的实轴且?
AA'?
=2a.B(0,-b),B'(0,b)。
同时BB'叫做双曲线的虚轴且?
BB'?
=2b.4、渐近线:
焦点在x轴:
y=?
(b/a)x.焦点在y轴:
y=?
(a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线。
其中p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角。
θ=arccos(1/e)令θ=0,得出ρ=ep/1-e,x=ρcosθ=ep/1-e令θ=PI,得出ρ=ep/1+e,x=ρcosθ=-ep/1+e这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出他们的中点的横坐标(双曲线中心横坐标)x=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2(注意化简一下)直线ρcosθ=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ?
则θ?
=θ-【PI/2-arccos(1/e)】则θ=θ?
+【PI/2-arccos(1/e)】带入上式:
ρcos{θ?
+【PI/2-arccos(1/e)】}=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2即:
ρsin【arccos(1/e)-θ?
】=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2现在可以用θ取代式中的θ?
了得到方程:
ρsin【arccos(1/e)-θ】=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2现证明双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1上的点在渐近线中
设M(x,y)是双曲线在第一象限的点,则y=(b/a)?
(x^2-a^2)(x>a)因为x^2-a^2 (x^2-a^2) x^2=bx/a即y 第一定义: e=c/a且e? (1,+? ).第二定义: 双曲线上的一点P到定点F的距离? PF? 与点P到定直线(相应准线)的距离d的比等于双曲线的离心率e.d点(? PF? )/d线(点P到定直线(相应准线)的距离)=e6、双曲线焦半径公式(圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离)左焦半径: r=? ex+a? 右焦半径: r=? ex-a? 7、等轴双曲线一双曲线的实轴与虚轴长相等即: 2a=2b且e=? 2这时渐近线方程为: y=? x(无论焦点在x轴还是y轴)8、共轭双曲线双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时,称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。 几何表达: S: (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1S': (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1特点: (1)共渐近线 (2)焦距相等(3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于19、准线: 焦点在x轴上: x=? a^2/c焦点在y轴上: y=? a^2/c10、通径长: (圆锥曲线(除圆外)中, 过焦点并垂直于轴的弦)d=2b^2/a11、过焦点的弦长公式: d=2pe/(1-e^2cos^2θ)12、弦长公式: d=? (1+k^2)|x1-x2|=? (1+k^2)(x1-x2)^2=? (1+1/k^2)|y1-y2|=? (1+1/k^2)(y1-y2)^2推导如下: 由直线的斜率公式: k=(y1-y2)/(x1-x2)得y1-y2=k(x1-x2)或x1-x2=(y1-y2)/k分别代入两点间的距离公式: |AB|=? [(x1-x2)²+(y1-y2)²]稍加整理即得: |AB|=|x1-x2|? (1+k²)或|AB|=|y1-y2|? (1+1/k²) 编辑本段? 双曲线的标准公式与反比例函数 X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)而反比例函数的标准型是xy=c(c? 0)但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的因为xy=c的对称轴是y=x,y=-x而X^2/a^2-Y^2/b^2=1的对称轴是x轴,y轴所以应该旋转45度设旋转的角度为a(a? 0,顺时针)(a为双曲线渐进线的倾斜角)则有X=xcosa+ysinaY=-xsina+ycosa取a=π/4则X^2-Y^2=(xcos(π/4)+ysin(π/4))^2-(xsin(π/4)-ycos(π/4))^2=(? 2/2x+? 2/2y)^2-(? 2/2x-? 2/2y)^2=4(? 2/2x)(? 2/2y)=2xy.而xy=c所以X^2/(2c)-Y^2/(2c)=1(c>0)Y^2/(-2c)-X^2/(-2c)=1 (c<0)由此证得,反比例函数其实就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式. 编辑本段? 双曲线焦点三角形面积公式 若? F1PF2=θ,则S? F1PF2=b^2;? cot(θ/2)? 例: 已知F1、F2为双曲线C: x^2;-y^;=1的左右焦点,点P在C上,? F1PF2=60? ,则P到x轴的距离为多少,解: 由双曲线焦点三角形面积公式得S? F1PF2=b^2;? cot(θ/2)=1×cot30? ,设P到x轴的距离为h,则S? F1PF2=½×F1F2×h=½2? 2×h=? 3,h=? 6/2 编辑本段椭圆的第一定义 tuǒyuán平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|)的动点P的轨迹叫做椭圆。 即: ? PF? +? PF'? =2a其中两定点F、F'叫做椭圆的焦点,两焦点的距离? FF'? 叫做椭圆的焦距。 编辑本段椭圆的第二定义 平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率,e=c/a)的点的集合(定点F不在定直线上,该常数为小于1的正数)其中定点F为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线(该定直线的方程是x=? a^2/c或者y=? a^2/c)。 椭圆的其他定义根据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值可以得出: 平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆,此时k应满足一定的 条件,也就是排除斜率不存在的情况 编辑本段切线与法线的几何性质 定理1: 设F1、F2为椭圆C的两个焦点,P为C上任意一点。 若直线AB切椭圆C于点P,则? APF1=? BPF2。 定理2: 设F1、F2为椭圆C的两个焦点,P为C上任意一点。 若直线AB为C在P点的法线,则AB平分? F1PF2。 上述两定理的证明可以查 [1]看参考资料。 编辑本段计算机图形学约束 椭圆必须一条直径与X轴平行,另一条直径Y轴平行。 不满足此条件的几何学椭圆在计算机图形学上视作一般封闭曲线。 编辑本段标准方程 高中课本在平面直角坐标系中,用方程描述了椭圆,椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点,对称轴为坐标轴。 椭圆的标准方程有两种,取决于焦点所在的坐标轴: 1)焦点在X轴时,标准方程为: x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)2)焦点在Y轴时,标准方程为: x^2/b^2+y^2/a^2=1(a>b>0)其中a>0,b>0。 a、b中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴,对称 F点在Y轴 轴被椭圆所截,有两条线段,它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当a>b时,焦点在x轴上,焦距为2*(a^2-b^2)^0.5,焦距与长.短半轴的关系: b^2=a^2-c^2,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c,c为椭圆的半焦距。 又及: 如果中心在原点,但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时,方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m? n)。 既标准方程的统一形式。 椭圆的面积是πab。 椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是: x=acosθ,y=bsinθ标准形式的椭圆在(x0,y0)点的切线就是: xx0/a^2+yy0/b^2=1 编辑本段lk一般方程 Ax^2;+Bxy+Cy^2;+Dx+Ey+F=0(A.C不为0) 编辑本段公式 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。 如L=? [0,π/2]4a*sqrt(1-(e*cost)²)dt? 2π? ((a²+b²)/2)[椭圆近似周长],其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则e=PF/PL椭圆的准线方程 x=? a^2/c 椭圆的离心率公式 e=c/a(e<1,因为2a>2c)椭圆的焦准距: 椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a²/C)的距离,数值=b²/c 椭圆焦半径公式 |PF1|=a+ex0|PF2|=a-ex0椭圆过右焦点的半径r=a-ex过左焦点的半径r=a+ex椭圆的通径: 过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离,数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系 点M(x0,y0)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1点在圆内: x0^2/a^2+y0^2/b^2<1点 点在圆外: x0^2/a^2+y0^2/b^2>1在圆上: x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m? x^2/a^2+y^2/b^2=1? 由? ? 可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1相切? =0相离? <0无交点相交? >0可利用弦长公式: A(x1,y1)B(x2,y2)|AB|=d=? (1+k^2)|x1-x2|=? (1+k^2)(x1-x2)^2=? (1+1/k^2)|y1-y2|=? (1+1/k^2)(y1-y2)^2椭圆的斜率公式 过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点(x,y)的切线斜率为-(b^2)X/(a^2)y椭圆焦点三角形面积公式若? F1PF2=θ,则S=b^2tanθ/2 编辑本段椭圆参数方程的应用 求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时,用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解x=a×cosβ,y=b×sinβa为长轴长的一半相关性质由于平面截圆锥(或圆柱)得到的图形有可能是椭圆,所以它属于一种圆锥截线。 例如: 有一个圆柱,被截得到一个截面,下面证明它是一个椭圆(用上面的第一定义): 将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压,它们碰到截面的时候停止,那么会得到两个公共点,显然他们是截面与球的切点。 设两点为F1、F2对于截面上任意一点P,过P做圆柱的母线Q1、Q2,与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2,所以PF1+PF2=Q1Q2由定义1知: 截面是一个椭圆,且以F1、F2为焦点用同样的方法,也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆例: 已知椭圆C: x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为? 6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为? 3. (1)求椭圆C的方程. (2)直线l: y=x+1与椭圆交于A,B两点,P为椭圆上一点,求? PAB面积的最大值.(3)在 (2)的基础上求? AOB的面积.一分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a,端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义),可知a=? 3,又c/a=? 6/3,代入得c=? 2,b=? (a^2-c^2)=1,方程是x^2/3+y^2/1=1,二要求面积,显然以ab作为三角形的底边,联立x^2/3+y^2/1=1,y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有? (1+k^2))[x2-x1](中括号表示绝对值)弦长=3? 2/2,对于p点面积最大,它到弦的距离应最大,假设已经找到p到弦的距离最大,过p做弦的平行线,可以发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大,这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=,设y=x+m,利用判别式等于0,求得m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5),三直线方程x-y+1=0,利用点到直线的距离公式求的? 2/2,面积1/2*? 2/2*3? 2/2=3/4, 编辑本段历史 椭圆有一些光学性质: 椭圆的面镜(以椭圆的长轴为轴,把椭圆转动180度形成的立体图形,其外表面全部做成反射面,中空)可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处;椭圆的透镜(某些截面为椭圆)有汇聚光线的作用(也叫凸透镜),老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片(这些光学性质可以通过反证法证明)关于圆锥截线的某些历史: 圆锥截线的发现和研究起始于古希腊。 Euclid,Archimedes,Apollonius,Pappus等几何学大师都热衷于圆锥截线的研究,而且都有专著论述其几何性质,其中以Apollonius所著的八册《圆锥曲线论》集其大成,可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。 当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究,乃是纯粹从几何学的观点,研讨和圆密切相关的这种曲线;它们的几何乃是圆的几何的自然推广,在当年这是一种纯理念的探索,并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。 此事一直到十六、十七世纪之交,Kepler行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道,乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。 Kepler三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破,它不但开创了天文学的新纪元,而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。 由此可见,圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物,它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。 编辑本段椭圆手工画法 (1): 画长轴AB,短轴CD,AB和CD互垂平分于O点。 (2): 连接AC。 (3): 以O为圆心,OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。 (4): 以C为圆心,CE为半径作圆弧与AC交于F点。 (5): 作AF的垂直平分线交CD延长线于G点,交AB于H点。 (6): 截取H,G对于O点的对称点H? ,G? (7): H,H? 为长轴圆心,分别以HB、H„A为半径; G,G? 为短轴原心,分别以GC、G„D为半径。 用一根线或者细铜丝,铅笔,2个图钉或大头针画椭圆的方法: 先画好长短轴的十字线,在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点,一个点先用图钉或者打头针栓好线固定住,另一个点的线先不要固定,用笔带住线去找长短轴的4个顶点,此步骤需要多次定位,直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点,用笔带住线,直接画出椭圆: )使用细铜丝最好,因为线的弹性较大画出来不一定准确! 椭圆的简单性质椭圆的俩长顶点与一短顶点所成的角大于椭圆上任一点与俩长顶点的连线手绘椭圆方法二(mayue)椭圆的焦距? FF'? (Z)定义,为已知椭圆所构成的长轴X(ab)与短轴Y(cd)则以长轴一端A为圆心短轴Y为半径画弧,从长轴另一段点B引出与弧相切的线段则为该椭圆焦距,求证公式为2? {(Z/2)^2+(Y/2)^2}+Z=X+Z(平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|)的动点P的轨迹叫做椭圆),可演变为z=? x^2-y^2(x>y>0)。 已知长轴与短轴尺寸,两焦点焦距尺规作图法 [1] Z两端点F、F'为定点。 取有韧性切伸缩系数越小越好的线,环绕线段AF'或者FB线段任意一组为长度,以该长度为固定三角形周长,以F、F'为定点、取构成该三角形上的第三点为动点画弧则构成该椭圆。 定义 平面内,到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物 线。 且定点F不在直线上另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。 定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示p>0.以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥,可得一个圆,如果倾斜这个平面直至与其一边平行,就可以做一条抛物线。 编辑本段标准方程 抛物线的标准方程有四个: 抛物线 右开口抛物线: y^2=2px左开口抛物线: y^2=-2px上开口抛物线: x^2=2py下开口抛物线: x^2=-2pyp为焦准距(p>0)在抛物线y^2=2px中,焦点是(p/2,0),准线l的方程是x=-p/2;在抛物线y^2=-2px中,焦点是(-p/2,0),准线l的方程是x=p/2;在抛物线x^2=2py中,焦点是(0,p/2),准线l的方程是y=-p/2;在抛物线x^2=-2py中,焦点是(0,-p/2),准线l的方程是y=p/2; 编辑本段相关参数 (对于向右开口的抛物线)离心率: e=1焦点: (p/2,0)准线方程l: x=-p/2顶点: (0,0)通径: 2P;定义: 圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦定义域(X? 0)值域(Y? R) 编辑本段解析式求法 以焦点在X轴上为例知道P(x0,y0)令所求为y^2=2px则有y0^2=2px0? 2p=y0^2/x0? 抛物线为y^2=(y0^2/x0)x 编辑本段光学性质 经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。 编辑本段面积和弧长公式 抛物线 面积Area=2ab/3弧长ArclengthABC=? (b^2+16a^2)/2+b^2/8a ln((4a+? (b^2+16a^2))/b) 编辑本段其他 抛物线: y=ax^2+bx+c(a? 0)就是y等于ax的平方加上bx再加上ca>0时开口向上a<0时开口向下c=0时抛物线经过原点b=0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y=a(x-h
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 各种 函数 图象