单总体均数之差的显著性检验教案.docx
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单总体均数之差的显著性检验教案
第三节单总体均数之差的显著性检验
一、概念
统计学的内容分为三大部分?
(描述统计,推断统计,实验设计),我们现在学的是统计学的第二个大部分,推断统计,推断统计包括第八章所学的参数估计和我们现在学的参数检验。
默写公式,在第八章讲的参数估计中,正态法时,样本均数标准误的公式,它的置信区间;t分布法中,样本均数的标准误的公式,置信区间;近似正态法中,样本均数的标准误的公式,置信区间,。
均数的标准误公式是这样的,那么大家知不知道标准误的概念和含义是什么?
标准误是描述样本统计量离中趋势的指标,是指样本统计量分布的标准差或者是统计量在抽样分布上的标准差,用符号SE或σ表示。
如标准差一样,数据分布的越是集中,平均数的代表性越好一样,在推断统计中,标准误越小,说明样本统计量与总体参数之间越接近,即样本对总体的代表性越好,这时候用样本去推断总体就越可靠,越准确。
接下来我们复习的是三种检验的方法。
Z检验,T检验和Z’检验,我们知道这些检验方法都有一定的使用条件的,并不是在任何条件下都可以使用的,那么它们的使用条件各自是什么呢?
总体正态分布,
已知,n不论大小,
Z检验
总体正态,
未知,n>30
总体正态,
未知,n不论大小
t检验
总体非正态,
未知,n>30
总体非正态,
已知,n>30Z’检验
接下来我们看两个思考题
某县教育局在全县小学三年级举行了一次数学统一考试,成绩分布服从正态分布,标准差(0)10。
现从该县中随机抽取某小学三年级的一个班,人数为41人,平均分为52.5分,试问该县小学三年级数学的平均成绩大约是多少?
大家想一想用什么方法?
我们前面一章参数估计的内容,根据题目信息可知,总体分布呈正态,且总体方差已知,所以可以用正态法进行估计。
接下来再看一个题目,看看和刚才的那一个有什么区别?
某县教育局在全县小学三年级举行了一次数学统一考试,成绩分布服从正态分布,平均分(0)50,标准差(0)10。
抽取某小学三年级的一个班,人数为41人,平均分为52.5分,问该班数学平均成绩与全县数学平均成绩的差异是否显著?
通过分析,我们发现第二个题目比第一个多了总体的平均数,所以他们的方法也不一样。
第一个是参数估计,用样本的均数去估计总体的均数,而第二个是参数的检验,是比较样本的均数与总体均数之间的差异。
简称为均数之差的显著性检验,那么什么是单总体呢?
就是说,只有一个总体,从这个总体中抽取一个样本,来比较它们的差异是否显著。
那么大家再想想,比如,一个班作为一个总体,我们从中抽取10个人组成一个样本,这10个人的统计成绩,与全班的成绩比较就是单总体的比较,再比如,作为一个总体,心理班作为另外一个总体,从两个班分别抽取10个人组成样本,它他们的平均数分别为和,我们来推断两个班的成绩是否有差异,
所以我们今天要上课的内容是单总体均数之差的显著性检验。
首先我们来看它的概念,所谓单总体均数之差的显著性检验,是指检验一个样本均数与相应总体均数之差是否显著的统计方法。
比如刚才的第二个例题当中,问该班数学平均成绩与全县数学平均成绩的差异是否显著?
哪一个是样本均数,哪一个是总体均数,对,显著性检验就是检验样本均数(该班数学平均成绩)与相应总体均数(全县的数学平均成绩)差异是否显著?
那么它检验的内容是什么呢?
就是恩斯干减去苗(
-μ),它代表的意义是什么呢?
是指样本均数与总体均数之差。
在显著性检验中有三种常见的方法,Z检验,T检验和Z’检验,刚才上新课之前我们知道这些检验方法的使用条件。
在总体正态,总体方差已知的情况下,用什么检验呢?
对,是Z检验,在Z检验中,均数的标准误等于总体的标准差与根号N的比值,检验值等于样本均数与总体均数之差除以标准误;在总体正态,总体方差未知的情况下,用什么检验呢?
对,是T检验,在T检验中,均数的标准误等于样本的标准差除以根号N减一,检验值等于样本均数与总体均数之差除以标准误;在总体非正态,样本容量大于30的情况下,我们用渐进正态法,也就是Z’检验,还可以用t检验,在Z’检验中,又分为总体方差是已知,还是未知,总体方差已知,均数的标准误等于总体的标准差除以根号N,而总体方差未知的情况下,均数的标准误等于样本的标准差除以根号N。
选择了方法之后,我们要进行计算,在这三种检验中,我们主要计算的统计量是标准误和检验值。
其中,标准误的计算和总体参数估计的标准误相同。
而三种方法的检验值则要根据具体的公式获得,大家看看检验值公式中,分子是什么?
对,分子是两个事物的偏差,在这里是样本均数与总体均数的差异;分母呢?
对,是偏差的标准差,在这里是标准误。
刚才简单的描述了三种计算均数之差显著性的方法,总体正态,总体方差已知,用Z检验;总体正态,总体方差未知,用T检验;总体非正态,样本容量大于30,用Z’检验,是不是我们了解了这么多,就学会了均数之差的显著性检验了?
接下来我们学习均数之差显著性检验的第二部分,检验过程。
二、检验过程
均数之差显著性检验的过程是我们今天学习的重点和难点。
在统计学上,解决问题的办法也一样。
就比如说我们的检验过程,它分为四个步骤,条件分析,建立假设,求检验值,比较决策,为什么要用这种方法,为什么用Z检验法,而不用T检验法?
后面的建立假设,求检验值,比较决策都是属于三部曲的最后一部,怎么办,即怎么样来解决这个问题。
所以首先我们来看看条件分析,
我们来看看条件分析
(一)条件分析
在条件分析中,我们要注意以下几个方面:
(1)首先分析总体分布是正态的,还是非正态的。
把样本分布认为是正态分布的一些原则,不知道大家还记不记得?
在这里我再和大家温习一下,(除了题目中假设或者规定的是否为正态分布外,在以下的一些情况下我们也认为测验属于正态分布,这些判断的原则一些是从理论上得到的,一些是从实践中得到的。
比如说我们的标准化测验,凡是标准化的测验都是正态分布,能力测验,如韦氏智力测验,斯坦福比奈智力测验,还有人的身高体重等等,这些都是正态分布)。
大家再想想,选拔性的测验,比如我们的高考,还有达标测验,这些是不是正态分布呢?
对,不是正态分布,它是偏态分布,因为达标和选拔性的测验,门槛很高,选用的被试很少。
在总体正态的情况下,我们能使用Z检验和T检验。
(2)其次是看总体方差是已知还是未知。
正是因为在总体正态的情况下,我们既能使用Z检验,又能使用T检验,所以我们还要明确总体方差是已知的,还是未知的。
从而区别开两种检验方法。
这一步没什么困难,我们只要看题目中是否给出了总体的方差即可?
下面我给大家看一个例子。
刚才我们讲了在总体正态的情况下,我们既能使用Z检验,又能使用T检验,那么再加上总体方差是否已知这个条件,我们就能区分这两种检验方法了,在总体正态,总体方差已知的情况下,我们使用Z检验,在总体正态,总体方差未知的情况下,我们使用T检验。
(3)看是双尾检验还是单尾检验。
大家想一想什么是双尾检验?
(把拒绝性的概率值置于理论分布的两端或两侧,也称之为双侧检验。
它的意义是只推断差异是否存在,而不断言差异的方向。
)
那么与之相对应的单尾检验呢?
(把拒绝性概率值置于理论分布的一尾或一侧,也称单侧检验。
研究者根据已有的资料事先能够预料到谁优谁劣,检验只是为了进一步确证。
单尾检验根据拒绝性概率值是置于理论分布的左侧还是右侧,又分为左尾检验和右尾检验,
那么我们将如何区分呢?
下面我举两个例子,让大家来思考。
某县教育局在全县小学三年级举行了一次数学统一考试,成绩分布服从正态分布,平均分(0)50,标准差(0)10。
抽取某小学三年级的一个班,人数为41人,平均分为52.5分,问该班数学平均成绩与全县数学平均成绩的差异是否显著?
某县教育局在全县小学三年级举行了一次数学统一考试,成绩分布服从正态分布,平均分(0)50,标准差(0)10。
抽取某小学三年级的一个班,人数为41人,平均分为52.5分,问该班数学平均成绩是否显著高于全县小学三年级学生的数学平均成绩?
大家看看有什么区别?
第一个题目是用什么检验?
第二个呢?
为什么呢?
对,第一个例题是问该班数学平均成绩与全县数学平均成绩的差异是否显著?
它在题中只推断差异是否存在,而没有断言差异的方向,也就是说,到底该班学生的数学平均成绩是高于还是低于全县的平均成绩,它不管,它只在乎是否有差异)。
第二个例题就不一样了,它问该班数学平均成绩是否显著高于全县小学三年级学生的数学平均成绩?
显然,它是把拒绝性的概率值置于理论分布的哪一侧呢?
对,右侧,大家想一想,如果是问该班数学平均成绩是否显著低于全县小学三年级学生的数学平均成绩?
那应该采用什么检验?
(4)决定是采用Z检验还是T检验或是Z’检验
把所有的条件都分析清楚后,再决定是采用Z检验还是T检验或是Z’检验。
当我们把是什么,为什么这两个问题弄清楚了之后,我们接下来要做的就是三部曲的最后一部了,怎么办。
(二)建立假设:
Ho,Ha
在显著性检验的第二步就是建立假设,它包括研究假设和虚无假设,大家想想它们的定义是什么?
其中研究假设是指实验人员希望证实的假设。
用Ha表示。
它是有差假设,即事物之间存在差异。
在单总体检验时,用或表示,虚无假设是指研究人员为了证实研究假设是真的而利用概率论的反证法所进行的假设,用符号Ho表示,它是无差假设,即事物之间不存在差异。
在单总体检验时,用或表示。
(三)求检验值:
,Z,T,Z’
第三步是求检验值,包括求标准误,在Z检验中,求Z值,在T检验中,求T值,在Z’检验中,求Z’值,这一步很简单,只要我们把数据代入公式,求出标准误和检验值即可,是不是做完这一步,得到了结果就大功告成了呢?
当然不是,我们现在学的统计不像初中,高中学的数学,得出结果就行了。
我们还要把结果跟不同水平的临界值进行比较,才能得出结论,所以我们要进行第四步---比较决策。
(四)比较决策
在检验方法中,选取什么样的方法不仅关系到假设的形式,而且还关系到最终进行比较判断的标准,所以我们要慎重。
例如,我们在采用Z检验时,既可以是双尾检验,还可以是单尾检验,
在我讲比较决策之前,我先问大家一个问题,在Z检验中,当α=0.05,我们的检验值是与哪个数值进行比较?
(学生回答1.96)还有没有更好的回答……其实我们应该看具体的情况,因为采用Z检验时,既可以是双尾检验,还可以是单尾检验,所以α取0.05时,是双尾检验,那么检验值与临界值1.96进行比较,如果是单尾检验,检验值与临界值1.645进行比较。
在Z检验的双尾检验中,只要把结果与0.05水平的临界值1.96,0.01水平的临界值2.58比较即可,在t检验中,稍微要复杂一点,我们要根据自由度去查t值表,大家翻到书325页,我们来学习一下怎么查表,比如:
当自由度DF=6-1=5时,0.05水平上的临界值是多少?
=2.57。
三、例题
(一)Z检验适应范围及具体应用
例题:
全区化学统一考试,成绩分布服从正态分布,平均分(0)50,标准差(0)10。
某校一个班41人,平均分52.5,问该班化学成绩与全区平均成绩的差异是否显著?
题中已经给出来了,全区化学统一考试,成绩分布服从正态分布,总体呈正态分布,那么就排除了Z’检验,让我们再看看题中的信息,给出总体的方差,即总体方差已知,而且还是双尾检验,那么我们用什么方法?
对,Z检验法。
条件分析后,我们要建立假设:
虚无假设,用表示,研究假设用表示,,第二步,求检验值,标准误等于总体方差除以根号N,检验值Z等于1.6,最后进行比较决策,检验值Z少于0.05水平上的临界值1.96,差异不显著,接受虚无假设,拒绝研究假设,说明该班的化学成绩与全区平均成绩差异不显著。
(二)t检验适应范围及具体应用
接下来,我们看下一个例题
按照上面检验的过程,我们首先进行条件分析,题中已经给出来了,假定认为反应符合正态分布,总体呈正态分布,那么就排除了Z’检验,让我们再看看题中的信息,没有给出总体的方差,即总体方差未知,而且还是双尾检验,那么我们用什么方法?
对,t检验法。
条件分析后,我们要建立假设:
虚无假设,用表示,研究假设用表示,
,第二步,求检验值,标准误等于总体方差除以根号N-1,检验值T等于1.28,最后进行比较决策,在这里我们要查表来看临界值,自由度DF等于N-1,这里是35,在0.05水平上,临界值是2.03,检验值t等于1.28,少于0.05水平上的临界值2.03,差异不显著,接受虚无假设,拒绝研究假设,说明不能根据测试结果否定心理学家的结论。
特别注意:
要求学生查t检验表。
(三)Z’检验适应范围及具体应用
例题:
某省进行数学竞赛,结果分数分布非正态,总平均43.5。
某县参赛学生168人,平均45.1。
标准差18.7。
试问该县平均分与全省平均分有无显著差异?
刚才我对前面的两道例题进行了条件分析,接下来我请一位同学来分析一下……
对,我们可以从题中挖掘出很多有用的信息,某省进行数学竞赛,结果分数分布非正态,即总体呈非正态分布,让我们再看看题中的信息,没有给出总体的方差,即总体方差未知,而且还是双尾检验,那么我们用什么方法?
对,Z’检验法。
(四)课堂练习
刚才分别列举了每一种检验法的实例,我相信大家对这三种方法都有了一定的了解,都知道了每一种方法的适合条件,接下来我给大家做一个练习题,这个题目和前面的相同,但是又有一点区别,希望大家能够意识到。
例9-4:
有人调查早期教育对儿童智力发展的影响,从受过良好早期教育的儿童中随机抽样70人进行韦氏儿童智力测验,结果M=108。
能否认为受过良好早期教育的儿童智力高于一般水平。
大家看看题目中是否给出了总体的方差?
对,题目中已经给出了总体的方差,只不过比较隐蔽,所以我们要善于从题目中挖掘出隐藏的有效信息。
我在这里跟同学们强调了,希望以后同学们碰到类似的问题,能够马上反应过来,知道它的平均数为100,标准差为15。
条件分析:
单尾检验,σ2已知,总体正态,用Z检验
本题要注意的是单尾检验,在α=0.01水平上,是与2.33比较,而不是2.58。
四、小结
单总体均数之差检验的方法选择及计算内容
检验方法
总体情况
均数标准误
检验值
Z检验
正态
σ2已知
T检验
σ2未知
Z′检验
非正态
N〉30
σ2已知
σ2未知
五、课后作业
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