三角形的内角含习题及答案.docx
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三角形的内角含习题及答案.docx
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三角形的内角含习题及答案
三角形的内角
教学目标
1.经历实验活动的过程,得出三角形的内角和定理,能用平行线的性质推出这一定理.
2.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.
重点:
三角形内角和定理
难点:
三角形内角和定理的推理的过程
课前准备
每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形
教学过程
一、做一做
1)在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码.
2)让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,用量角器量出∠BCD的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=180º.
3)把∠B和∠C剪下按图(3)拼在一起,用量角器量一量∠MAN的度数,会得到什么结果?
图(3)
二、想一想
如果我们不用剪、拼办法,可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢?
已知△ABC,说明∠A+∠B+∠C=180º,你有几种方法?
说明这个结论成立.
三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180º
下面介绍两种说明三角形内角和180º的方法:
已知:
ΔABC,说明:
∠A+∠B+∠C=180º.
方法一:
如图①,过点A作DE//BC,
则有∠B=∠DAB,∠C=∠EAC
所以∠A+∠B+∠C=∠A+∠DAB+∠EAC=180º
方法二:
如图②,延长BC,过点C作CD//AB,
则有∠A=∠ACD,∠B=∠DCE
所以∠A+∠B+∠C=∠ACD+∠DCE+∠C=180º
推论:
直角三角形的两个锐角互余.
三、例题如图,C岛在A岛的北偏东50º方向,B岛在A岛的北偏东80º方向,C岛在B岛的北偏西40º方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?
分析:
A、B、C三岛的连线构成△ABC,所求的∠ACB是△ABC的一个内角;如果能求出∠CAB、∠ABC,就能求出∠ACB
解:
∠CAB=∠BAD−∠CAD=80º−50º=30º
由AD//BE,可得∠BAD+∠ABE=180º
所以∠ABE及=180º−∠BAD=180º−80º=100º,∠ABC=∠ABE−∠EBC=100º−40º=60º
在△ABC中,∠ACB=180º−∠ACB−∠CAB=180º−60º−30º=90º
答:
从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90º.
补充练习:
1.判断题:
1)三角形中最大的角是70º,那么这个三角形是锐角三角形( )
2)一个三角形中最多只有一个钝角或直角( )
3)一个等腰三角形一定是锐角三角形( )
4)一个三角形最少有一个角不大于60º( )
答案:
1)正确;2)正确;3)错;4)正确
2.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( )
(A)带①去 (B)带②去 (C)带③去 (D)带①和②去
答案:
(C)
三角形的外角
教学目标
1.使学生在操作活动中,探索并了解三角形的外角的两条性质.
2.利用学过的定理论证这些性质.
3.能利用三角形的外角性质解决实际问题.
重点:
(1)三角形的外角的性质;
(2)三角形外角和定理
难点:
三角形外角的定义及定理的论证过程
一、想一想
三角形的内角和定理是什么?
三角形的内角和180º.
二、做一做
把△ABC的一边BC延长到D,得∠ACD,它不是三角形的内角,那它是三角形的什么角?
它是三角形的外角.
定义:
三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
想一想:
三角形的外角有几个?
每个顶点处有两个外角,但这两个是对顶角.
归纳:
每一个三角形都有6个外角.
每一个顶点相对应的外角都有2个.
每个外角与相应的内角是邻补角.
三、议一议
∠ACD与△ABC的内角有什么关系?
(1)∠ACD=∠A+∠B
(2)∠ACD>∠A,∠ACD>∠B
再画△ABC的外角试一试,还会得到这个性质吗?
同学用几何语言叙述这个性质:
三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和;
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
你能用学过的定理说明这些定理的成立吗?
已知:
∠ACD是△ABC的外角
说明:
(1)∠ACD=∠A+∠B
(2)∠ACD>∠A,∠ACD>∠B
结合图形给予说明
说明:
因为∠ACD是△ABC的外角,根据外角的定义,知∠ACD+∠ACB=180º
又根据三角形内角和定理知∠A+∠B+∠ACB=180º
所以∠ACD=∠A+∠B
显然∠ACD=∠A+∠B>∠A,同时∠ACD=∠A+∠B>∠B
三角形的外角与内角的关系:
1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补;
2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;
3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
备选题
1)如图,∠1,∠2,∠3是△ABC的不同三个外角,则∠1+∠2+∠3=
2)三角形的三个外角中最多有 锐角,最多有 个钝角,最多有 个直角
3)△ABC的两个内角的一平分线交于点E,∠A=52º,则∠BEC=
4)已知△ABC的∠B,∠C的外角平分线交于点D,∠A=40º,那么∠D=
5)在△ABC中∠A等于和它相邻的外角的四分之一,这个外角等于∠B的两倍,那么
∠A= ,∠B= ,∠C=
答案:
1)360º;2)一个、三个、一个;3)116º;4)70º;5)36º、72º、72º
典型例题
例题:
1.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为( )
A.180º
B.240º
C.360º
D.540º
答案:
C
说明:
因为三角形内角和为180º,所以∠A+∠C+∠E=180º,∠B+∠D+∠F=180º,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为360º.
2.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为( )
A.180º
B.360º
C.540º
D.240º
答案:
B
说明:
由三角形内角和为180º,知∠A+∠B+∠APB=180º,∠C+∠D+∠CQD=180º,∠E+∠F+∠ERF=180º,∠RPQ+∠PQR+∠QRP=180º,因为∠APB=∠RPQ,∠CQD=∠PQR,∠ERF=∠QRP,所以∠APB+∠CQD+∠ERF=180º;而∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180º−∠APB+180º−∠CQD+180º−∠ERF=540º−(∠APB+∠CQD+∠ERF)=540º−180º=360º,所以答案为B.
3.一个三角形的三个内角之比为2:
3:
4,那么这个三角形的最大内角的度数为________.
答案:
80º
说明:
由已知可设这个三角形的三个内角度数为2x,3x,4x,则有2x+3x+4x=180º,所以x=20º,这样这个三角形的三个内角的度数分别是40º,60º和80º,所以这个三角形的最大内角为80º.
4.在△ABC中,∠A=50º,点P是∠B、∠C平分线的交点,则∠BPC的度数是( )
A.65º
B.115º
C.130º
D.100º
答案:
B
说明:
不难得到∠ABC+∠ACB=180º−50º=130º,BP为∠ABC的平分线,CP为∠ACB的平分线,即∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB,所以∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)÷2=130º÷2=65º,因此,在ΔBPC中,可求得∠BPC=180º−(∠PBC+∠PCB)=180º−65º=115º,所以答案为B.
5.在△ABC中,若∠A=
∠B=
∠C,求∠C的度数?
答案:
∠C=90º
说明:
设∠A的度数为x,则根据已知不难得到∠B的度数是2x,∠C的度数是3x;由三角形内角和为180º,有x+2x+3x=180º,解得x=30º,这时3x=90º,即∠C的度数为90º.
习题一
一、选择题:
1.如果三角形的三个内角的度数比是2:
3:
4,则它是( )毛
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.钝角或直角三角形
2.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角中最多有一个锐角 B.三角形的内角中最多有两个锐角
C.三角形的内角中最多有一个直角 D.三角形的内角都大于60°
3.已知三角形的一个内角是另一个内角的
,是第三个内角的
,则这个三角形各内角的度数分别为( )
A.60°,90°,75° B.48°,72°,60°
C.48°,32°,38° D.40°,50°,90°
4.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( )
A.100° B.120° C.140° D.160°
5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
6.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ中( )
A.有两个锐角、一个钝角 B.有两个钝角、一个锐角
C.至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角
7.在△ABC中,∠A=
∠B=
∠C,则此三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
二、填空题:
1.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20º,则此三角形的最小内角的度数是________.
2.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是_____三角形.
3.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1:
2,则这个等腰三角形的顶角为_______.
4.在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,若∠BOC=132º,则∠A=_______度.
5.如图,已知∠1=20º,∠2=25º,∠A=35º,则∠BDC的度数为________.
三、基础训练:
1.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC(∠C>∠B),
试说明∠EAD=
(∠C−∠B).
2.在△ABC中,已知∠B−∠A=5°,∠C−∠B=20°,求三角形各内角的度数.
四、提高训练:
如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32º,∠D=28º,求∠P的度数.
五、探索发现:
如图,将△ABC沿EF折叠,使点C落到点C′处,试探求∠1,∠2与∠C的关系.
六、中考题与竞赛题:
(2001·天津)如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,
∠AFD=158°,则∠EDF=________度.
答案:
一、1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B
二、1.40° 2.直角 钝角 3.36°或90° 4.84 5.80°
三、1.解:
∵AD⊥BC,
∴∠BDA=90º,
∴∠BAD=90º−∠B,
又∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=
∠BAC=
(180º−∠B−∠C),
∴∠EAD=∠BAD−∠BAE
=90º−∠B−
(180º−∠B−∠C)
=90º−∠B−90º+
∠B+
∠C
=
∠C−
∠B
=
(∠C−∠B).
2.∠A=50º,∠B=55º,∠C=75º.
四、∠P=30°
五、解:
∵∠1=180º−2∠CEF,∠2=180º−2∠CFE,
∴∠1+∠2=360º−2(∠CEF+∠CFE)
=360º−2(180º−∠C)
=360º−360º+2∠C=2∠C.
六、68.毛
习题二
一、选择题:
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )毛
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180º,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
3.已知三角形的三个外角的度数比为2:
3:
4,则它的最大内角的度数为( )
A.90° B.110° C.100° D.120°
4.已知等腰三角形的一个外角是120º,则它是( )
A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形
5.如图
(1)所示,若∠A=32º,∠B=45º,∠C=38º,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°
(1)
(2) (3)
6.如图
(2)所示,在△ABC中,E,F分别在AB,AC上,则下列各式不能成立的是( )
A.∠BOC=∠2+∠6+∠A B.∠2=∠5−∠A C.∠5=∠1+∠4 D.∠1=∠ABC+∠4
二、填空题:
1.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角.
2.如图(3)所示,∠1=_______.
3.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225º,则与这个外角相邻的内角是____度.
4.已知等腰三角形的一个外角为150º,则它的底角为_____.
5.如图,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60º,则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.
6.如图,∠A=50º,∠B=40º,∠C=30º,则∠BDC=________.
三、基础训练:
如图,在△ABC中,∠A=70º,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,求∠BOC的度数.
四、提高训练:
如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63º,求∠DAC的度数.
五、探索发现:
如图,在△ABC中,∠A=α,△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P,且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.
六、中考题与竞赛题:
(2004·吉林)如图所示,∠CAB的外角等于120º,∠B等于40º,则∠C的度数是_______.
答案:
一、1.C 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C
二、1.1 2.120° 3.95 4.30°或75° 5.120°30°60° 6.120°
三、∠BOC=125°
四、∠DAC=24°
五、
(1)β=90º+
α;
(2)β=
α;(3)β=90º−
α(说明略)
六、80º.毛
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