空间直线及其方程一.docx
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空间直线及其方程一
江西理工大学理学院
第6节
空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程
江西理工大学理学院
定义空间直线可看成两平面的交线.
π1:
A1x+
B1y
+C1z+D1=0zπ
1
π2:
A2x+
B2y+C2z+D2=0
π2
⎧A1x+B1y+C1z+D1=0L
⎨Ax+By+Cz+D=0oy
⎩2222
空间直线的一般方程x
L上的点都满足原方程,不是L上的点都不满足原方程.
江西理工大学理学院
二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量的定义:
z
如果一非零向量平行于sL
一条已知直线,这个向量称
为这条直线的方向向量.
⋅M
⋅M0
M0(x0,
y0,z0),
M(x,
y,z),oy
∀M∈L,
M0M//sx
s={m,n,
p},
M0M
={x-
x0,y-
y0,z-
z0}
x-x0=
y-y0=z-z0
江西理工大学理学院
直线的对称式方程
mnp
令x-x0=y-y0=z-z0=t
mnp
⎧x=
y
=
⎪
⎨
x0+mty0+nt
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为
z
=
z
+
pt
⎩
⎪直线的方向余弦.
0
直线的参数方程
江西理工大学理学院
例1用对称式方程及参数方程表示直线
⎧x+y+z
+1=0
.
⎩
⎨2x-
y+3z+4=0
解在直线上任取一点
(x0,
y0,z0)
取x=1
⇒⎧y0
+
z0
+2=0
y
0-
⎨
3z
⎩00
-6=0
解得y0
=0,
z0=-2
点坐标(1,0,-2),
江西理工大学理学院
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取sr=
n1⨯n2=
{4,-1,-3},
对称式方程
x-1=y-0=z+2,
⎧x
y
⎪
参数方程⎨
4-1-3
=1+4t
=-t.
⎪⎩z
=-2-3t
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例2一直线过点A(2,-3,4),且和y轴垂直相交,求其方程.
解因为直线和y轴垂直相交,
所以交点为
B(0,-3,
0),
取s=BA
={2,
0,4},
所求直线方程
x-2=
2
y+3=
0
z-4.
4
三、两直线的夹角
江西理工大学理学院
定义两直线的方向向量的夹角称之.(锐角)
直线L1:
x-x1=
m
y-y1n
=z-z1,
p
111
直线L2:
x-x2=
m
y-y2n
=z-z2,
p
2
cos(L^,L)=
2
|m1m2
2
+n1n2+
p1p2|
12
两直线的夹角公式
江西理工大学理学院
两直线的位置关系:
(1)
L1⊥
L2⇐⇒
m1m2
+n1n2+
p1p2
=0,
(2)
L1//
L2⇐⇒
m1
m
2
=n1=
n2
p1,
p2
例如,直线
L1:
s1=
{1,-4,
0},
1
2
1
2
直线L2:
s2=
{0,0,1},
1
2
Qsr
⋅sr
=0,
∴s⊥s,
即L⊥L.
江西理工大学理学院
例3求过点(-3,2,5)且与两平面x
-
4z
=3和
2x-
y-5z
=1的交线平行的直线方程.
解设所求直线的方向向量为
s={m,n,
p},
根据题意知
s⊥n1,
sr⊥n,
2
取s=
n1⨯n2
={-4,-3,-1},
所求直线的方程
x+3=
4
y-2=
3
z-5.
1
江西理工大学理学院
x+1
例4求过点M(2,1,3)且与直线3=
y-1=z
2-1
垂直相交的直线方程.
解先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3(x
-2)+
2(y
-1)-(z
-3)=0
再求已知直线与该平面的交点N,
令x+1=
3
y-1=
2
z=t
-1
⎧x
y
⎪
⇒⎨
⎪⎩z
=3t
=2t
=-t
-1
+1.
江西理工大学理学院
代入平面方程得
t=3,
7
交点N(2
7
13,-3)
77
,-
取所求直线的方向向量为MN
MN={2-
2,13
-1,-3-
3}=
{-126
24},
777
777
所求直线方程为
x-2=
2
y-1=
-1
z-3.
4
四、直线与平面的夹角
江西理工大学理学院
定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角.
0≤ϕ≤π.
2
L:
x
-x0=
m
y-y0n
=z-z0,
p
s={m,n,
p},
π:
Ax+
By+Cz+
D=0,
n={A,
B,C},
(sr^,nr)=
π-ϕ
2
(sr^,nr)=π+ϕ
2
sinϕ
=cos(π
2
-ϕ)=
cos(π
2
+ϕ).
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sinϕ
=|Am+Bn+Cp|
A2+B2+C2⋅m2+n2+p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系:
(1)
L⊥π
⇐⇒A=
m
B=C.
np
(2)
L//π
⇐⇒Am+
Bn+Cp=0.
例5设直线L:
x-1=
2
y=
-1
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z+1
2,平面
:
x-
y+2z
=3,求直线与平面的夹角.
解n=
{1,-1,2},
s={2,-1,2},
sinϕ
=|Am+Bn+Cp|
A2+B2+C2⋅m2+n2+p2
=|1⨯2+(-1)⨯(-1)+2⨯2|=7.
6⋅936
∴ϕ=
arcsin7
36
为所求夹角.
⎧x+
y+3z=0
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x
例6求直线⎨
⎩
-y-z=0
和平面x-
y-z
+1=0
间的夹角.
解直线的方向向量s
=n1
i
=1
1
⨯
n2
j
1
-1
k
3={2,4,-2},
-1
平面的法向量n={1,-1,-1},
而s⋅n=2-4+2=0
∴s⊥
n,即直线与平面夹角为0.
五、平面束
设直线L由方程组
江西理工大学理学院
⎧A1x+B1y
+C1z+D1=0
(1)
⎨Ax+By+Cz+D=0
(2)
⎩2222
所确定,其中系数A1,B1,C1与A2,B2,C2不成比例,亦即由
(1)、
(2)所表示的两平面不平行。
建立三元一次方程
A1x+
B1y
+C1z+D1
+λ(A2x+
B2y
+C2z+
D2)=0
(3)
其中为任意常数。
(A1+λA2)x
+(B1+λB2)y
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+(C1
+λC2)z+(D1
+λD2)=0
的系数A1
+λA2,B1
+λB2,C1
+
λC2不全为零,从而
(3)表示一个平面。
通过定直线的所有平面的全体称为平面束,而方程(3)称为过直线L的平面束方程。
例7求直线L:
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⎧x+
x
-
⎨
⎩
y-zy+z
-1=0
+1=0
在平面:
x+
y+z
=0上的投影直线L'的方程。
解直线L在平面上的投影直线,也应在过L且
垂直于平面的平面上,而过直线L的平面束方程为
x+y-
z-1+
(x-
y+z
+1)=0
即(1+
λ)x
+(1-
λ)y
+(-1+
λ)z
+(-1+
λ)=0
其中为任意常数。
使它与平面相垂直条件为
(1+
)⋅1+(1-
)⋅1+(-1+
)⋅1=0
+1=0⇒
=-1
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故,过直线L且垂直于平面的平面为
2y-2z-2=0
⇒y-z-1=0
从而,投影直线的方程为:
⎧y-
z-1=0
y
+
z
=
0
.
x
+
⎨
⎩
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六、小结
空间直线的一般方程.
空间直线的对称式方程与参数方程.
两直线的夹角.
(注意两直线的位置关系)
直线与平面的夹角.
(注意直线与平面的位置关系)
平面束的概念.
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思考题
x-4y
在直线方程=
=z-2
中,m、
2mn
6+p
n、p各怎样取值时,直线与坐标面xoy、
yoz都平行.
江西理工大学理学院
思考题解答
s={2m,n,6+
p},
且有s
≠0.
Qs⋅k
=0,
s⋅i
=0,
⇒
⎧6+
⎩
⎨2m
p=0
=0
∴p=
-6,
m=0,
Qs≠0,
∴n≠0,
故当m
=0,
n≠0,
p=-6时结论成立.
一、填空题:
练习题
江西理工大学理学院
1、通过点(
4,-1,
3)且平行于直线x-3=
2
y=z-1
5
的直线方程为;
2、直线⎧5x
-3y+
3z-9=
0
与直线
⎩
⎨3x
-2y+
z-1=0
⎧2x+
2y-
z+23=0
⎩
⎨3x
+8y+
z-18=
0的夹角的余弦为;
3、直线⎧x+
y+3z
=0
=
0
和平面x-
y-z
+1=
0的夹
x
-
y
-
z
⎨
⎩
角为_;
4、点(-1,
2,0
)在平面x+
2y-
z+1=
0上的投影为
______________;
5、直线x=y=z和平面3x
-2y+7z
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=8的关系是
3-27
;
6、直线x-2=
y+2=
z-3和平面x+
y+z
=3的关
31-4
系是.
二、用对称式方程及参数方程表示直线L:
⎧x-
y+z=1
.
⎩
⎨2x+
y+z=4
三、求过点(
3,1,-2
)且通过直线x-4=
5
y+3=z的
21
平面方程.
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四、求直线⎧2x
-4y+z=0
在平面4x-
y+z
=1上
⎩
⎨3x-
y-2z-9=0
的投影直线的方程.
五、求与已知直线L:
x+3=
y-5=
z及L:
12312
x
-10=
y+7=
z都相交且和L:
5
x+2=
8
4
y-1=
7
13
z-3平行的直线L.
1
六、设一平面垂直于平面z
=0,并通过从点A(
1,-1,1)
到直线L
:
⎧y
⎨x
⎩
-z+1=
=0
0
的垂线,求此平面的方程.
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七、求两直线L:
x-1=
y=z和L:
x=
y=z+2
101122-10
的公垂线L的方程,及公垂线段的长.
八、求过点(-1,0,4)且平行于平面
3x-4y+
z-10=
0又与直线x+1=
1
y-3=
1
z相交
3
的直线方程.
九、求点P(3,-1,2
)到直线⎧x+y-z
+1=0
的距
⎩
离.
⎨2x-
y+z-4=0
练习题答案
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一、1、x-4=
2
y+1=
1
z-3;2、0;3、0;
5
4、(-5,2,
33
2);5、垂直;6、直线在平面上.
3
⎧x=1-2t
二、x-1=y-1=
z-1,⎪y
=1+t.
-21
⎨
3⎪⎩z
=1+3t
三、8x-9y-22z=59.
四、⎧17x+
31y-37z
=117
.
⎩
⎨4x-
y+z-1=0
y+65
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五、x+28=
2=
z+25或x-72=
y-55=z.
872871
六、x+2y+1=0.
x-1
y+4
z+4
⎧4x-
y+z-4=0
七、=3
=3或⎨
d=1.
1
八、x+1=
16
2
y=
19
-2
z-4.
28
⎩2x+4y+5z+10=0
九、322.
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