专升本高数第一章练习题带答案.docx
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专升本高数第一章练习题带答案
第一部分:
1下面函数与y
x为同一函数的是(
A.yx
B.yx2
c.y
lnxe
D.y
lnex
解:
Qy
lnex
xlnex,且定义域
•••选D
2.已知
是f的反函数,则f2x的反函数是(
Ay-
2
B.y2x
c.y
2x
D.y
2x
解:
令y
f2x
1
,反解出x:
x2y,互换x,
y位置得反函数
,选A
3•设f
有定义,则下列函数为奇函数的是(
Ayfx
xB.yxfx
xC.y
x3f
x2D.y
解:
Qyx3f
的定义域
fx2
x3f
4.下列函数在
内无界的是(
B.yarctanx
C.ysinxcosx
D.y
xsinx
解:
排除法:
x
1x2
有界,
2
Barctanx
2有界,
sinx
cosx、2,
故选D
5.数列Xn
有界是limxn存在的(
n
A必要条件
B充分条件
C充分必要条件
D无关条件
解:
Qxn
收敛时,数列Xn有界(即
Xn
M),反之不成立,
(如
n1
1有界,但不收
敛,选A.
6.当n
时,
11
sin2—与为等价无穷小,则k=()
nn
D-2
解:
Q
.21
sin
n
1
lim
n
k
n
1
lim宁1,k2n1
n
、填空题(每小题4分,共24分)
1
7.设fX,则ffX的定义域为
1X
解:
1X11X
12X
•••ffX定义域为(,2)(2,1)(1,).
&设f(X2)X21,则f(x1)
解:
(1)令X2t,ftt24t5fxX24x5
(2)fX1(x1『4(x1)5x26x10.
9.函数ylog4••一xlog42的反函数是解:
(1)ylog4(2&),反解出x:
x42y1;
(2)互换x,y位置,得反函数y42x1
10.lim.n.n1n2
n
12.lim心sin2=
n5n3n
三、计算题(每小题8分,共64分)
x
13.设fsin1cosx求fx
2
解:
Qf
.x
sin
2
2cos2x21sin2^
22
.故fx21x2
14•设f
Inx,
的反函数
,求
解:
(1)
g(x):
Q
2x2
__T
•••反解出
xy
2x2x
互换x,y位置得g(x)
2
(2)f
Ing
ln^2
x
15•设lim
n
n
a
3
n
2a
n
n
a
1
1
12
2
3
1
lim
n
16•求lim
n
解:
Qlim
n
n
n2a3
8,求
的值。
3a
lim
n
e
na
8,故aIn83In2.
解:
(1)拆项,
k(k1)
(k
1)k
n
(2)
原式=lim
n
*选做题
1已知12
22
n(n
1)(2n
6
1),求lim
n
12
n31
22
n32
12
3
n
且lim
n
lim
n
3n
n
2n
1
3n
n
12
22
2n
3n
n
n
n1
(2n
1)
1
n2
12
22
c3
6nn
1222
n31
lim12
n
n2
lim
n
n(n1)(2n1)
6(n31)
•••由夹逼定理知,原式
x0,y
0,f0
2f0
f00
⑵令x
y:
f0f
yfy
fyfy
fy为奇函数
第二部分:
F列极限正确的()
1.
解
(1)求f0:
令
A.
B.limxsinx不存在c.xxsinx
limxsin1xx
D.
limarctanx
x
解:
Qlimxsin
x
lx
x
sin
,则下列正确的是
B.limfx
xx
D.limkfx
Xx0
1
eD.]im(1X),e
()
gx
解:
Qlimkfxklimfx
xx)xxd
4•若limf2x2,则lim—
x0xx0f3x
3X
3X
叫
■It
2t一一
2t
B
选
1-3
1-2
2-3
12t
f
imo
^1t
2-3
5.设fX
1./
sinx(x
x
0(x0)
xsina(x
x
0)
0)
A.-1
x存在,则
C.1
解:
Q00
sinx
1,lim
x0
.1
xsin
x
6.当x
时,
1是比X高阶无穷小,则
C.a为任意实数
解:
lim」xa
x0
7.
lim
x
解:
解:
1
x
lim—
X0x
】0
1.故选A
1
原式—
x
lim
1lim一x1x1
2
x21
原式
lim
x1
lim—
x1x1
9.lim
x
2x13x297
100
3x1
解:
原式
lim
x
2x
10.已知
lim
x
解:
Qlim
x
11.
lim
x0
解:
12.
解:
3x1
lim
x
3x2
97
3x1
27
x2
ax6—亠
存在,
x
*sin丄
001X2
arcsinx
ax60,1
60,a
1
Qsinp
x
1,lim
x"
1
limexsin20又Qlim
x0x2x0
arcsinx
x
lim1,故原式=1.
x0x
2
x
若limn
x0sin
ln1
x2
0且lim
x
n
sinx
01
cosx
0,则正整数n=
x2ln1
Qlim
x0
n
sinx
xinJ
x2
2
x
n
x
xn
0忙
4,故n3.
13.求
lim
x
sin3x2x
sin2x
3x
sin3x
sin3x
原式
1
1,lim-Xx
lim
x
sin2x
sin2x
1,lim
x
体求Um丄亘L_匸亟
x0x1cosx
解:
原式有理化
lim
x0x(1
tanxsinx
cosx)(、1tanx=1sinx)
tanx(1cosx)1lim
x0x(1cosx)2
tanx1lim
xx2
l|imx
2x0x
15.求lim
x
1
cos-
t,当x
时,
原式lim
t0
costsin2t
lim
t0
1
1cost1sin2t1
..cost1sin2tlim-
t0
e
e2
Incos2x
16.求lim
x0lncos3x
cos2x
解:
原式变形lim—
x0ln1cos3x1
1等价cos2x1等价
lim
0
lim
x
0cos3x
3x2
注:
原式
2sin2xlim
x
cos2x
x
17.求lim—
x0xsinx
x2x
解:
原式0lime―e
x01cosx
cos3x
3sin3x
0
0e
lim
x0sinx
xx
0e
lim
x0
cosx
18.设fx
1
exa,x0
1cosx
x
x
x存在,求
a的值。
解:
Qlim
x0
x2
lim
x0
.1cosx
1
lim
x0
limsin3x
x0
1
13lnx
解:
00换底法
原式=
lim
x0
e
ln(sin3x)
13lnx
lim3cosx
x0sin3x
3xlim
—x03sinxe
xlim
03x
j
e3
20.求limxxIn1
x
1
lim
x
102
nn12答m
6,n
12
第三部分:
1.若fx
为是连续函数,且
f0
1,f
10,
则lim
x
fxsin1()
x
A.-1
B.0
C
.
1
D
.不存在
解:
原式
f连续
flimxsin
x
1
-i
x
flim
x
•1sin
x
1
f1
0,选B
m
2.
要使fx
ln1
kx
在点x
0处连续,应给f
0补充定义的数值是(
A.
km
B.
k
C.lnkm
km
D.e
m
m
limkx^,
解:
Qlimfx
x0
In
lim(1
x0
kx尸
lnex0xlnekm
km
f0km选A3.若limf(x)A,则下列正确的是
xa
fxf0
解:
QlimFx
lim
f0,
x0
x0
x0
f
0f0
F0
f0limF0,故x0是Fx的第一类可去间断点。
选A
x0
5.
.1xsin
x,x0在x0处()
0,x0
选C
6.设fX
A.
a
2,b
2B
J.a
0,b2C.
a2,b
0D.a1,b1
解:
(
:
1)
Qf
x在x
1连续,
limx21
2,limax
bab
x1
x1
故a
b
2
1
2x
1
ax
b21
ax1
(2)
f
1
lim
2,f
1lim
lim
a
x1x
1
x1x
1x1
x1
a
2
,代入
1得b
0,选
C
7.设f(x)为连续奇函数,则f0=
解:
(1)Qfx为奇函数,fxfx
(2)Qlimfxlimfx,又Qfx在x0连续f0f0故f00
x0x0
&若fx为可导的偶函数,贝yf0
解:
(1)Qfx为偶函数,fxfx
⑵Qfx可导,fxfx故f0f02f00即f00
2
9•设y6xk是曲线y3x6x13的一条切线,则k
解:
(1)Qy6,y6x6,6x66,x2
(2)62k346213,12k121213故k1
10.
f(x)满足:
f(x)
,且肌
xxlim
x0x
11.
f(x)在x2连续,且
f
(2)=4,则limf(x)
x2
4
x24
解:
原式=
sinxx1
解:
令x5
2
x0,xx1x1x10,
0,
x1,x
1为间断点,
故fX有三个间断点
13.已知f(x)
2ax
sin2xe1
x
x
a,x0
上连续,求a的值
解:
Qfx
0连续
xm0fx
lim
x
f0a,
14.讨论
f(x)
sin2xe2ax
sin2xlim
x0
2ax.
lime22a
x0x
2aa,故a2.
1
e\x0
0,0x
lnx
x
x1
0,x
1连续性
解:
(1)在x0处,Qlim
x0
1
ex0,
lim0
x0
0,且
在x0处连续
(2)在
x1处,Qlim0
x1
lnxx
0,lim
x1x1
lim
x0t
在x1不连续
15.求f(x)
1的间断点,
Inx
并指出间断点类型
解:
(1)间断点:
x0,x
1,x
(2)
1
在x0处:
Qlim
x01nx
的第一类间断点。
(3)
1
在x1处:
Qlim
x1lnx
x的第二类无穷间断点。
16.
1
e77,x0
设f(x)
ln1x,1x
指出f(x)的间断点,并判断间断点的类型。
0
解:
(1)x1为间断点,x0可能是间断点。
(2)
1
e0,limex1
X1
(3)
17.
1
在x1处:
Qlimex1
X1
1
在X0处:
Qlime7"1
x0
11
求f(x)主乞」的间断点,并判别间断点的类型。
11
X1X
X的第二类无穷间断点
解:
1
e,limln1x0x0是fx0
(1)间断点:
x0,x1,x1
X的第一类跳跃间断点
1在x0处:
fx
x(x1)
0是fX的第一类可去间断点
(3)
在X1处:
Q|im1fX0
1是fX的第一类可去间断点
18.
在X1处:
Q
lim・
x1x1
X的第二类无穷间断点
4
证明x2x4
0在区间
2,2内至少有两个实根。
证明:
(1)Qf(x)在
2,0连续,
40,f2160
由零点定理知,f(X)=0在2,0上至少有一个实根。
(2)Qf(x)在0,2连续,且f040,f216480
由零点定理知,f(x)=0在0,2上至少有一个实根
(3)综上所述,f(x)=0在2,2上至少有两个实根•
本章小结:
本章是专升本高数教材中的第一章,也是最基础的一章。
基本的概念、定理、性质以及公式一定要记牢,另外在做习题训练时,要学会自我总结方法。
例如,求极限是本章的重点和难点,做题过程中不难发现,对于型的题目,只有
1
三种方法:
①通分;②有理化;③换元(令x-).有了这些规律,遇见题时,按顺序思考使用一定会做出来的,还可以节省不少时间!
5的间断点个数为
xx
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- 第一章 练习题 答案