二次函数与平行四边形.docx
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二次函数与平行四边形.docx
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二次函数与平行四边形
二次函数与平行四边形
我们先思考三个问题:
1.已知A、B、C三点,以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个,怎么画?
2.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等?
3.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分?
如图1,过△ABC的每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生三个D。
如图2,已知点A(0,3),B(-2,0),C(3,1),如果四边形ABCD是平行四边形,怎样求点D的坐标呢?
点B先向右平移两个单位,再向上平移3个单位与点A重合,因为BA与CD平行且相等,所以点C先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到点D(5,4)。
如图3,如果平行四边形ABCD的对角线交于点G,那么过点G画任意一条直线(一般与坐标轴垂直)。
点A、C到这条直线的距离相等,点B、D到这条直线的距离相等。
关系式
和
有时候用起来很方便。
1.(青海倒一)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,且OA=4,OC=3,若抛物线经过O,A两点,且顶点在BC边上,对称轴交BE于点F,点D,E的坐标分别为(3,0),(0,1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)猜想△EDB的形状并加以证明;
(3)点M在对称轴右侧的抛物线上,点N在x轴上,请问是否存在以点A,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2.(陕西倒二)在同一直角坐标系中,抛物线C1:
y=ax2-2x-3与抛物线C2:
y=x2+mx+n关于y轴对称,C2与x轴交于A、B两点,其中点A在点B的左侧.
(1)求抛物线C1,C2的函数表达式;
(2)求A、B两点的坐标;
(3)在抛物线C1上是否存在一点P,在抛物线C2上是否存在一点Q,使得以AB为边,且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出P、Q两点的坐标;若不存在,请说明理由.
3.(宿迁倒一)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连接AC、BC.
(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式;
(2)求△ABC外接圆的半径;
(3)点P为曲线M或曲线N上的一动点,点Q为x轴上的一个动点,若以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.
请说明理由.
7.(邵阳倒一)如图所示,顶点为(1/2,-9/4)的抛物线y=ax2+bx+c过点M(2,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合),点B是抛物线与y轴的交点,点C是直线y=x+1上一点(处于x轴下方),点D是反比例函数y=k/x (k>0)图象上一点,若以点A,B,C,D为顶点的四边形是菱形,求k的值.
8.(岳阳倒一)如图,抛物线
经过点B(3,0),C(0,-2),直线
交y轴于点E,且与抛物线交于A、D两点.P为抛物线上一动点(不与A、D重合).
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P在直线
下方时,过点P作PM∥
轴交
于点M,PN交y轴交
于点N.求PM+PN的最大值
(3)设F为直线
上的点,以E、C、P、F,为顶点的四边形能否构成平行四边形?
若能求出点F的坐标;若不能,请说明理由.
9.(湖北咸宁)如图,抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其对称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,已知OB=OC=6.
⑴求抛物线的解析式及点D的坐标;
⑵连接BD,F为抛物线上一动点,当∠FAB=∠EDB时,求点F的坐标;
⑶平行于x轴的直线交抛物线于M,N两点,以线段MN为对角线作菱形MPNQ,当点P在x轴上,且PQ=1/2MN时,求菱形对角线MN的长.
10.(雅安倒一)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过A(1,0),B(-3,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,对称轴与x轴相交于点E,连接BD.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点P在直线BD上,当PE=PC时,求点P的坐标.
(3)在
(2)的条件下,作PF⊥x轴于F,点M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,G为抛物线上一动点,当以点F、N、G、M四点为顶点的四边形为正方形时,求点M的坐标.
11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E、B.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?
并求出最大面积;
(3)若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、N的坐标.
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