高中数学人教A版必修1学案《函数与方程》自主学习精品学案整理含答案.docx
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高中数学人教A版必修1学案《函数与方程》自主学习精品学案整理含答案
高中数学人教A版必修1学案《函数与方程》自主学习精品学案
3.1函数与方程
引导
3.1.1方程的根与函数的零点
1.函数零点的概念
对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
2.函数零点的意义
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点.
3.函数零点存在的条件
如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不间断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(x)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
4.函数零点的求法
求函数y=f(x)的零点:
(1)代数法:
求方程f(x)=0的解;
(2)几何法:
对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数性质找出零点.
5.函数零点的意义
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
即方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.
●案例1函数f(x)=lnx-
的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(
1)和(3,4)D.(e,+∞)
【探究】从已知的区间(a,b),求f(a)、f(b),判别是否有f(a)·f(b)<0.
∵f
(1)=-2<0,f
(2)=ln2-1<0,
∴在(1,2)内f(x)无零点,所以A不对.
又f(3)=ln3-
>0,
∴f
(2)·f(3)<0.
∴f(x)在(2,3)内有一个零点.
【答案】B
【溯源】这是最基本的题型,所用的方法是基本方法:
只要判断区间[a,b]的端点值的乘积是否有f(a)f(b)<0;若问题改成:
指出函数f(x)=lnx-
的零点所在的大致区间,则需取区间[a,b]使f(a)f(b)<0.
●案例2二次函数y=ax2+bx+c中,a·c<0,则函数的零点个数是( )
A.1B.2C.0D.无法确定
【探究】∵c=f(0),∴ac=af(0)<0,即a与f(0)异号,即
或
∴函数必有两个零点.
【答案】B
【溯源】判断二次函数f(x)的零点的个数,就是判断一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的个数,一般地由判别式Δ>0、Δ=0、Δ<0完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点,则要结合二次函数的图象进行.
6.二次函数的图象与性质
(1)定义:
函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数.它的定义域为R.
(2)二次函数具有如下一些主要性质:
y=ax2+bx+c(a≠0)
=a(x+
)2+
=a(x-h)2+k.
其中h=-
k=
.
函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(h,k),抛物线的对称轴是直线x=h;
当a>0时,抛物线开口向上,函数在x=h处取得最小值k=f(h);在区间(-∞,h]上是减函数,在[h,+∞)上是增函数.
当a<0时,抛物线开口向下,函数在x=h处取得最大值k=f(h);在区间(-∞,h]上是增函数,在[h,+∞)上是减函数.
(3)二次函数的三种常用解析式:
①一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
②顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)为顶点坐标.
③标根式:
f(x)=a(x-α)(x-β)(a≠0),其中α和β是方程f(x)=0的根.
疑难疏引于二次方程的根的分布问题,画出图象后,根据二次函数相应特征列不等式(组),往往比直接求出根后根据其所在区间列不等式更简便.一元二次方程根的分布有如下几种情况:
根的分布
x1 k x1 图象 充要条件 f(k)<0 根的分布 x1、x2∈(k1,k2) k1 在(k1,k2)内有且仅有一根 图象 充要条件 f(k1)f(k2)<0或者Δ=0且 ∈(k1,k2) 3.1.2用二分法求方程的近似解 1.二分法的定义 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法. 2.二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤 (1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精度ε. (2)求区间(a,b)的中点x1. (3)计算f(x1).若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;若f(a)·f(x1)<0,则取区间(a,x1)(此时零点x0∈(a,x1));若f(x1)·f(b)<0,则取区间(x1,b)(此时零点x0∈(x1,b)). (4)判断是否达到精度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤 (2)~(4). 3.借助于函数方程思想用二分法求方程的近似解的意义 解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的问题.但平时我们所解的方程都是代数方程,即整式方程、分式方程和无理方程,而对于含有指数和对数的方程,我们也只解一些极为特殊的,对于大部分含有指数和对数的方程是很难用代数方法来解的,例如,对于方程lgx=3-x,我们要求出它的解比较困难,但我们可以用二分法求出它的近似解. 记忆口诀: 函数连续值两端,相乘为负有零点, 区间之内有一数,方程成立很显然. 要求方程近似解,先看零点的区间, 每次区间分为二,分后两端近零点. ●案例某电器公司生产A种型号的家庭电脑.1996年平均每台电脑生产成本为5000元,并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%,但却实现了纯利润50%的高效率.求 (1)2000年每台电脑的生产成本; (2)以1996年的生产成本为基数,用二分法求1996~2000年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01). 【探究】第 (1)问是价格和利润的问题,销售总利润可以按每台来算,也可以按实现50%的利润来算,从而找出等量关系;第 (2)问是增长率问题,要注意列出方程后,用二分法求解,但应用二分法时注意合理使用计算器. (1)设2000年每台电脑的成本为p元,根据题意,得 p(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得p=3200(元). 故2000年每台电脑的生产成本为3200元. (2)设1996~2000年间每年平均生产成本降低的百分率为x,根据题意,得 5000(1-x)4=3200(0<x<1). 令f(x)=5000(1-x)4-3200,作出x、f(x)的对应值表,如下表: x 0 0.15 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 1.05 F(x) 1800 -590 -2000 -2742 -3072 -3180 -3200 -3200 观察上表,可知f(0)·f(0.15)<0,说明此函数在区间(0,0.15)内有零点x0. 取区间(0,0.15)的中点x1=0.075,用计算器可算得f(0.075)≈460.因为f(0.075)·f(0.15)<0,所以x0∈(0.075,0.15). 再取(0.075,0.15)的中点x2=0.1125,用计算器可算得f(0.1125)≈-98.因为 f(0.075)·f(0.1125)<0,所以x0∈(0.075,0.1125). 同理,可得x0∈(0.009375,0.1125),x0∈(0.103125,0.1125),x0∈(0.103125,0.1078125),x0∈(0.10546875,0.1078125). 由于|0.1078125-0.10546875|=0.00234375<0.01,此时区间(0.10546875,0.1078125)的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11,所以原方程精确到0.01的近似解为0.11. 1996~2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%. 【溯源】降低成本提高效率的问题应注意: 成本+利润=出厂价;利润=成本×利润率.熟悉二分法的解题步骤,虽然比较繁杂,但是可以体会到“逐步逼近”的数学思想. 活学巧用 1.判断方程log x=x 的根的个数. 【思路解析】在同一坐标系内作出函数f(x)=log x和g(x)=x 的图象,如下图所示,通过比较函数的增长速度,利用函数图象交点的个数,求得方程解的个数. 【答案】f (1)=0,f( )=1,f( )=2,f( )=4. g (1)=1,g( )= ,g( )= ,g( )= . f[( )12]=12,f[( )14]=14. g[( )12]=( )6≈11.39,g[( )14]=( )7≈17.09. 通过计算(用计算器),可知在区间[ ]和区间[( )12,( )14]内,函数图象各有一个交点,从而方程在两个区间内各有一个根. 2.利用函数的图象,指出函数f(x)=2x·ln(x-2)-3零点所在的大致区间. 【思路解析】首先对x取值来寻找y值的符号,然后判断零点所在的大致区间. 【解】用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(如下表). x 2.5 3 3.4 4 4.5 5 f(x) -6.4657 -3 -0.1617 2.5452 5.2466 7.9861 由上表和上图可知该函数零点的大致区间为[3,4] 3.求函数f(x)=2x3-3x+1零点的个数. 【思路解析】先用计算机或计算器作出f(x)的对应值表,然后根据函数零点的判定方法来判定函数的零点. 【解】用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(如下表)和图象(如下图). X -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 F(x) -1.25 2 2.25 1 -0.25 0 3.25 由上表和上图可知,f(-1.5)<0,f(-1)>0,即f(-1.5)·f(-1)<0,说明这个函数在区间(-1.5,-1)内有零点.同理,它在区间(0,0.5)内也有零点.另外,f (1)=0,所以1也是它的零点.由于函数f(x)在定义域(-∞,-1.5)和(1,+∞)内是增函数,所以它共有3个零点. 4.已知二次函数f(x)=ax2+(a2+b)x+c的图象开口向上,且f(0)=1,f (1)=0,则实数b的取值范围是( ) A.(-∞,- ]B.[- 0)C.[0,+∞)D.(-∞,-1) 【思路解析】考察二次函数图象的特点,依题意得 整理得a2+a+b+1=0,解得a= . ∵图象开口向上,∴a>0, ∴a= >0.解得b<-1. ∵二次函数 f(x)=ax2+(a2+b)x+c的图象过点(0,1)和点(1,0),又∵图象开口向上, ∴点(0,1)必须在抛物线对称轴的左侧,即抛 物线的对称轴在点(0,1)的右侧,即y轴的右侧,即x=- >0, ∴a2+b<0,当b<-1时,a2+b<0恒成立. ∴b<-1.因此,选D 【答案】D 5.若方程x2+(m-3)x+m=0两个根都小于1,求m的范围. 【思路解析】画出图象,根据图象特征,可列出不等式组,从而得出结论. 【解】令f(x)=x2+(m-3)x+m, 则 {m|m≥9}. 6.(2005全国,19)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3). (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式. (2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围. 【思路解析】此题考查二次函数解析式求法以及最大值的求法. 【答案】 (1)f(x)=- x2- x- . (2)(-∞,-2- )∪(-2+ 0). 7.求方程lnx+x-3=0在(2,3)内的根(精确到0.1). 【分析】用二分法求解. 【解】令f(x)=lnx+x-3,即求函数f(x)=0在(2,3)内的零点. ∵f (2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0, ∴可取(2,3)作为初始区间,用二分法列表如下: 中点 端点或中点函数值 取区间 f (2)<0,f(3)>0 (2,3) 2.5 f(2.5)>0 (2,2.5) 2.25 f(2.25)>0 (2,2.25) 2.125 f(2.125)<0 (2.125,2.25) 2.1875 f(2.1875)<0 (2.1875,2.25) 2.21875 f(2.21875)>0 (2.1875,2.21875) 2.1875≈2.2,2.21875≈2.2, ∴所求方程的根为2.2(精确到0.1). 8.国家购买某种农产品的价格为120元/担,其中征税标准为100元征8元(叫做税率为8个百分点,即8%),计划可收购m万担.为了减轻农民负担,决定税率降低x个百分点,预计收购量可增加2x个百分点. (1)写出税收f(x)(万元)与x的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后达到计划的78%,试求此时x的值. 【思路解析】第 (1)问这样考虑: 调节税率后税率为(8-x)%,预计可收购m(1+2x%)万担,总金额为120m(1+2x%)万元,从而列出函数表达式. 【解】 (1)由题设,调节税率后税率为(8-x)%,预计可收购m(1+2x%)万担,总金额为120m(1+2x%)万元.f(x)=120m(1+2x%)(8-x)%, 即f(x)=- (x2+42x-400)(0<x≤8). (2)计划税收为120m·8%万元,由题设,有f(x)=120m·8%·78%, 即x2+42x-88=0(0<x≤8),解得x=2. 9.求方程2x+3x=7的近似解(精确到0.01). 【思路解析】利用二分法. 【解】原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,并结合y=2x与y=-3x+7的图象知方程f(x)=0只有一解.计算 f (1)=2+3-7<0,f (2)=22+3×2-7=3×2-7+4=3,可知x0∈(1,2).取区间(1,2) 的中点x1=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33>0;再取(1,1.5)的中点x2=1.25, f(1.25)≈-0.87<0. ∵f(1.25)f(1.5)<0, ∴x0∈(1.25). 同理可求得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375),此时区间端点精确到0.1的近似值都是1.4.∴原方程的精确到0.1的近似解为1.4.
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