全国历年高考试题真题集全国高考文科数学试题及答案新课标.docx
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全国历年高考试题真题集全国高考文科数学试题及答案新课标
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4•考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合A{x∣1X2},B{x∣0X3},贝UAUB
A.(1,3)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,3)
2.若a为实数,且Jai3i,则a=
1i
A.-4B.-3C.3D.4
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4.向量a(1,1),b(1,2),则(2ab)a
A.-1
B.0
C.1
D.
3
5.设S等差数列{an}的前
n项和。
若a1+
a3+
a5=3,贝US
A.5
B.7
C.9
D.
11
6.—个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部
分体积与剩余部分体积的比值为
A.
B.
C.
7.已知三点A(1,0),
D.
B(0,.、3),C(2,3),贝UΔABC外接圆的圆心到原点的距离为
A.5
3
8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程
A.0B.2
C.4
D.
14
9.已知等比数列{an}满足a1
1
—,a3a5:
4
=4(a4
1),则a2=
A.2B.1
c.1
D.
1
2
8
10.已知A,B是球Q的球面上两点,∠
AQB=90°,C为该球面上的动点。
若三棱锥
序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=
Q-ABC体积
的最大值为36,则球Q的表面积为
A.36πB.64πC.144πD.256π
11•如图,长方形ABC啲边AB=2,BC=1,Q是AB的中点,点P沿着边BCCD与DA运动,记
∠AQB=X。
将动点P到AB两点距离之和表示为X的函数f(x),则yf(x)的图象大致为
12.设函数f(x)ιn(1∣χ∣),则使得f(X)f(2x1)成立的X的取值范围是
1X
111111
A(—,1)B()U(1,)C.(-)D.(,—)U(-,)
333333
第II卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分。
13•已知函数f(x)ax32x的图象过点(1,4),贝Ua=。
xy50
14•若X,y满足约束条件2xy10,则Z2xy的最大值为。
x2y10
1
15•已知双曲线过点(4,J3),且渐近线方程为V1X,则该双曲线的标准方程为。
2
16.已知曲线yXInX在点(1,1)处的切线与曲线yax(a2)x1相切,则a=三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
ΔABC中,D是BC上的点,AD平分∠BACBD=2DC
(1)求
SinB
SinC
(2)若BAC60o,求B。
18.(本小题满分12分)
某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表。
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
频率/组距+
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
(1)在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意
度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大?
说明理由
19.(本小题满分12分)
如图,长方体ABC—AIBCD中,AB=16,BC=10,AA=8,
点E,F分别在AB,DC上,AE=DF=4,过点E,F的平面αAE与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。
D
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。
A
20.(本小题满分12分)
22
已知椭圆C:
冷爲1(ab0)的离心率为—,点(2,.2)在C上。
ab2
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,I与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M证明:
直线OM勺斜率与直线I的斜率的乘积为定值。
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)InXa(1x)。
(1)
2a-2时,求a的取值范围。
讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
作答时请写
A
G
F
O
DN
清题号
22.(本小题满分10分)
选修4-1:
几何证明选讲
如图,O为等腰三角形ABC内一点,ΘO与ΔABG勺底边BC交于
MN两点,与底边上的高AD交于点G,且与ABAC分别相切于EFE
两点。
BM
(1)证明:
EF//BG
(2)若AG等于ΘO的半径,且AEMN23,求四边形EBCF的面积。
23.(本小题满分10分)
选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系XOy中,曲线C:
XtCoSytsin
(t为参数,t≠0),其中0≤α<
π,在以O
为极点,X轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线O:
2sin,C3:
2.3CoS。
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C与C2相交于点AC与C3相交于点B,求IABl的最大值。
24.(本小题满分10分)
选修4-5:
不等式选讲
设a,b,C,d均为正数,且a+b=C+d,证明:
(1)若ab>cd;则.abcJd;
(2),a,bG..d是|ab||cd|的充要条件。
由(I)知2sinBSinC,所以tanB
B30o
参考答案
•选择题
(1)A
(2)D
(3)D
(4)C
(5)A
(6)D
(7)B
(8)B
(9)
C
(10)C
(11)B
(12)A
二填空题
(13)-2
(14)8
(15)
2
X2彳
7y1
(16)8
三.解答题
(17)解:
(I)由正弦定理得
AD
BD
AD
DC
Sin
B
Sin
BADSin
CSinCAD
因为AD平分
BAC,BD
2DC,所以
Sin
B
DC
1
Sin
C
BD
2
∏)因为
C
180o
(BAC
B),BAC
60q,所以
Sin
C
Sin(
BACB)
CQS
2
1
BSinB
2
于,即
(18)解:
(I)
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于
A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散。
(∏)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大。
记CA表示事件:
"A地区用户的满意度等级为不满意”;记CB表示事件:
“B地区用户的满意
度等级为不满意”
由直方图得P(CA)的估计值为(0.010.020.03)100.6
P(CB)的估计值为(0.0050.02)100.25
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大。
(19)解:
(I)交线围成的正方形EHGF如图:
(∏)作EMAB,垂足为M则AMAE4,EB112,EMAA18
因为EHGF为正方形,所以EHEFBC10
于是MH.EH2EM26,AH10,HB6
(Z也正确)
9
9
因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为-
7
(20)解:
a2b2242,
(I)由题意有,—221,
a2ab
解得a28,b24
22
所以C的方程为—y1
84
(∏)设直线l:
ykxb(k0,b0),A(X1,y1),B(X2,y2),M(XM,Ym)
22
将ykxb代入-—1得
84
(2k21)x24kbx2b280
故XM
2kb
2k21
Ym
kxM
b
2k21
于是直线OM的斜率kOM-YM1,即kOMgk—
XM2k2
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。
(21)解:
1
(I)f(x)的定义域为(O,),f(X)—a
X
若a0,则f(X)0,所以f(x)在(0,)单调递增
111
若a0,则当X(0,—)时,f(X)0;当X(―,)时,f(X)0。
所以f(x)在(0,—)aaa
1
单调递增,在(一,)单调递减。
a
1
(∏)由(I)知,当a0时,f(X)在(0,)无最大值;当a0时,f(x)在X取得最大
a
111
值,最大值为f()∣n(—)a
(1)Inaa1
aaa
1因此f()2a2等价于Inaa10
a
令g(a)Inaa1,则g(a)在(0,)单调递增,g
(1)0
于是,当Oa1时,g(a)0;当a1时,g(a)0
因此,a的取值范围是(0,1)
(22)解:
(I)由于ABC是等腰三角形,ADBC,所以AD是CAB的平分线
又因为eO分别与AB,AC相切于点E,F,所以AEAF,故ADEF
从而EF//BC
(∏)由(I)知,AEAF,ADEF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为eO的弦,所
以O在AD上
连结OE,OM,贝UOEAE
由AG等于eO的半径得AO2OE,所以OAE30°,因此ABC和AEF都是等边
三角形
因为AE2.3,所以AO4,OE2
110-^3因为OMOE2,DM-MN3,所以OD1,于是AD5,AB一—
23
(23)解:
(I)曲线C2的直角坐标方程为X2
2
X联立
2
X
y22y0,
y22.3x0
所以C2与C3交点的直角坐标为
(∏)曲线C1的极坐标方程为
1
所以四边形EBCF的面积为丄
2
16\3
3
y22y0,曲线C3的直角坐标方程为x2y223x0.
”ZOX解得
0,
y0,
(0,0)和
(臭
(R,0),其中0
2J
2
3
2'
因此A的极坐标为(2sin,),B的极坐标为(2、、3cos,)
所以|AB||2sin2.,3CoS|4|sin(—)|
3
5
当时,IABl取得最大值,最大值为4
(24)
解:
(I)
因为(、、a
.b)2
a
b2、、ab,(、C
.d)2
Cd
2.Cd,
由题设a
bC
d,a
Ibed得(.a
.b)2
(、、C
'd)2
因此^a
b、、C
(∏)
(i)若Ia
b|Ic
d
l,则(ab)2
(ed)2
即
(a
b)2
4ab(ed)
24ed
因为abed,所以abCd
由(I)得.a.be'、d
(ii)若.a.b.C.d,则Oa、b)2(IC.d)2,即
ab2abCd2ed
因为ab
Cd,所以abCd,于是
(a
b)2(ab)24ab(Cd)24cd(Cd)2
因此Iab|
IcdI
综上,:
孑aIb
'、CId是|ab||cd|的充要条件
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