《极坐标与参数方程》题型归纳.docx
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《极坐标与参数方程》题型归纳
《极坐标与参数方程》高考高频题型
除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外,还涉及
(一)有关圆的题型
题型一:
圆与直线的位置关系 (圆与直线的交点个数问题)----利用圆心到直线的距离与半径比较
d > r :
相离,无交点;d = r :
相切,个交点;
d < r :
相交,个交点;
Ax + By + C
00
A2 + B 2
题型二:
圆上的点到直线的最值问题 (不求该点坐标,如果求该点坐标请参照距离最值求法)
00
A2 + B 2
第二步:
判断直线与圆的位置关系
第三步:
相离:
代入公式:
d
max
= d + r , d
min = d - r
相切、相交:
d max = d + rd
= 0
m i n
题型三:
直线与圆的弦长问题
弦长公式 l = 2 r 2 - d 2 ,d 是圆心到直线的距离
延伸:
直线与圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线、抛物线)的弦长问题
(弦长:
直线与曲线相交两点,这两点之间的距离就是弦长)
弦长公式 l = t - t ,解法参考“直线参数方程的几何意义”
12
(二)距离的最值:
---用“参数法”
1.曲线上的点到直线距离的最值问题
2.点与点的最值问题
“参数法”:
设点---套公式--三角辅助角
①设点:
设点的坐标,点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设
②套公式:
利用点到线的距离公式
③辅助角:
利用三角函数辅助角公式进行化一
1
⎧ x = 3 cos α
(α为参数 ) ,
π
24
(I)写出 C 的普通方程和 C 的直角坐标方程;
12
(II)设点 P 在 C 上,点 Q 在 C 上, 求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标
12
x2
1
C 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 .
2
(解说:
C1:
⎧x = 3cosα利用三角消元:
移项 - 化同 - 平方 - 相加
⎩y = sinα
这里没有加减移项省去,直接化同,那系数除到左边
⎪⎪= cos αx2
3
⎩⎩
(Ⅱ)由题意,可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos α ,sin α )
(解说:
点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示)
因为 C 是直线,所以 | PQ | 的最小值即为 P 到 C 的距离 d (α ) 的最小值,
22
d (α ) = | 3 cosα + sin α - 4 |
2
π
= 2 | sin(α + ) - 2 | .
3
(欧萌说:
利用点到直接的距离列式子,然后就是三角函数的辅助公式进行化一)
ππ
36
(k ∈ Z ) 时,d (α ) 取得最小值,最小值为 2 ,此时 P 的直角坐标
3 1
为 ( , ).
2 2
(三)直线参数方程的几何意义
⎧ x = x + t cos α
0
α
(t为参数)若 A,B 为直线 l 上两
点,其对应的参数分别为 t1,t2,线段 AB 的中点为 M,点 M 所对应的参数为 t0,则以下结论在解题
中经常用到:
t +t
(1)t0= 1 2 2;
t1+t2
(3)|AB|=|t2-t1|;
(4)|PA|·|PB|=|t1· t2|
2121 21 2
12
121 2
(注:
记住常见的形式,P 是定点,A、B 是直线与曲线的交点,P、A、B 三点在直线上)
【特别提醒】直线的参数方程中,参数 t 的系数的平方和为 1 时,t 才有几何意义且其几何意义为:
|t|
是直线上任一点 M(x,y)到 M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.
直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t , t ,则弦长 l = t - t ;
1212
2.解题思路
第一步:
曲线化成普通方程,直线化成参数方程
第二步:
将直线的参数方程代入曲线的普通方程,整理成关于 t 的一元二次方程:
at 2 + bt + c = 0
bc
第三步:
韦达定理:
t + t = - , t t =
12
第四步:
选择公式代入计算。
2
2
(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ.
(1)将曲线 C 的极坐标方程化为 直角坐标方程;
(2)设点 M 的直角坐标为(5, 3),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|·|MB|的值 .
解
(1)ρ=2cosθ 等价于 ρ2=2ρcosθ.①
将 ρ2=x2+y2,ρcosθ=x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0.②
2
2
代入②式,得 t2+5 3t+18=0.
设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.
(四)一直线与两曲线分别相交,求交点间的距离
思路:
一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出 2 个交点的极坐标,利用极径相减即可。
例如:
(2016•福建模拟)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为(其中 α 为参
数),曲线 C2:
(x﹣1)2+y2=1,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的极坐标方程;
(Ⅱ)若射线 θ=(ρ>0)与曲线 C1,C2 分别交于 A,B 两点,求|AB|.
解:
(Ⅰ)∵曲线 C1 的参数方程为(其中 α 为参数),
∴曲线 C1 的普通方程为 x2+(y﹣2)2=7.
∵曲线 C2:
(x﹣1)2+y2=1,
∴把 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入(x﹣1)2+y2=1,
得到曲线 C2 的极坐标方程(ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ)2=1,
化简,得 ρ=2cosθ.
(Ⅱ)依题意设 A(),B(),
∵曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0,
将(ρ>0)代入曲线 C1 的极坐标方程,得 ρ2﹣2ρ﹣3=0,
解得 ρ1=3,
同理,将(ρ>0)代入曲线 C2 的极坐标方程,得
,
∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣
.
(五)面积的最值问题
面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题
例题 2016•包头校级二模)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为,(t 为参
数),在以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为
,A,B 两点的极坐标分别为
(1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;
(2)点 P 是圆 C 上任一点,求△PAB 面积的最小值.
.
解:
(1)由,化简得:
,
消去参数 t,得(x+5)2+(y﹣3)2=2,
∴圆 C 的普通方程为(x+5)2+(y﹣3)2=2.
由 ρcos(θ+)=﹣,化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣,
即 ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2,即 x﹣y+2=0,
则直线 l 的直角坐标方程为 x﹣y+2=0;
(Ⅱ)将 A(2,
),B(2,π)化为直角坐标为 A(0,2),B(﹣2,0),
∴|AB|=
设 P 点的坐标为(﹣5+
=2
cost,3+
,
sint),
∴P 点到直线 l 的距离为 d==,
∴dmin==2,
PAB 面积的最小值是 S= ×2
×2 =4.
极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化
一、直角坐标的伸缩
设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
φ:
⎨
⎩ y' = μy(μ > 0)
变换,简称伸缩变换.平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换
⎧⎪x′=λ·x,
⎨
⎪⎩y′=μ·y,
下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆
可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆(重点考察).
【强化理解】
1.曲线 C 经过伸缩变换后,对应曲线的方程为:
x2+y2=1,则曲线 C 的方程为()
A.B.C.D.4x2+9y2=1
【解答】解:
曲线 C 经过伸缩变换①后,对应曲线的方程为:
x′2+y′2=1②,
把①代入②得到:
故选:
A
2、在同一直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换:
由曲线 4x2+9y2=36 变成曲线 x′2+y′2
=1.
⎧⎪x′=λx(λ>0),
【解答】解:
设变换为 φ:
⎨可将其代入 x′2+y′2=1,得 λ2x2+μ2y2=1.
⎪⎩y′=μy(μ>0),
22
94
比较系数得 λ=1,μ=1.
32
⎧⎪x′=1x,
所以⎨将椭圆 4x2+9y2=36 上的所有点的横坐标变为原来的1,纵坐标变为原来的1,可
32
2
得到圆 x′2+y′2=1.
x 2y 23
⎝3⎭⎝2⎭
2
3、 2015 春•浮山县校级期中)曲线 x2+y2=1 经过伸缩变换后,变成的曲线方程是()
A.25x2+9y2=1 B.9x2+25y2=1 C.25x+9y=1D.+=1
【解答】解:
由伸缩变换,化为,代入曲线 x2+y2=1 可得 25(x′)2+9(y′)2=1,
故选:
A.
二、极坐标
1.公式:
(1)极坐标与直角坐标的互化公式如下表:
点 M直角坐标 (x, y )极坐标 (ρ,θ )
互化
公式
⎧ x = ρ cosθ
⎨
已知极坐标化成直角坐标
⎧ ρ 2 = x2 + y 2
⎪
⎨
⎩ x
已知直角坐标化成极坐标
2.极坐标与直角坐标的转化
(1)点:
有关点的极坐标与直角转化的思路
A:
直角坐标 (x, y )化为极坐标 (ρ,θ ) 的步骤
⎧ ρ 2 = x2 + y 2
⎪
⎪ tan θ = y ( x ≠ 0)
⎩x
②在 [ 0,2π )内由 tan θ =
y (
x
x ≠ 0) 求θ 时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象限.
B:
:
极坐标
(ρ,θ ) 化为直角坐标 (x, y )的步骤,运用 ⎧ x = ρ cosθ
⎩ y = ρ sin θ
(2)直线:
直线的极坐标与直角坐标转化的思路
A:
直角坐标转化成极坐标
x = ρ cosθ
⎩ y = ρ sin θ
例如:
x+3y-2=0:
用公式将 x 和 y 转化,即 ρ cosθ + 3ρ sin θ - 2 = 0
B:
极坐标转化成直角坐标
类型①:
直接转化---直接利用公式转化
例如:
ρ( 2cosθ+sinθ)=1
思路:
第一步:
去括号,ρ 2cosθ+ρsinθ=1
⎧ x = ρ cosθ
第二步:
用公式 ⎨转化,即 2 x + y = 1
⎩ y = ρ sin θ
类型②:
利用三角函数的两角和差公式,即 2ρ sin (θ ± α ) = k或2ρ cos (θ ± α ) = k
思路:
第一步:
利用两角和差公式把sin(θ±α)或 cosθ±α)化开,特殊角的正余弦值化成数字,整理化简
⎧ x = ρ cosθ
⎨
π ⎫3 3
⎝3 ⎭
解:
第一步:
利用两角和差公式把 sin(θ±α)或 cosθ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字,整理化简,
即
π13
3322
⎧ x = ρ cosθ
⎨
ρ sin θ + 3ρ cosθ = 3 3即y + 3x = 3 3,∴ 3x + y - 3 3 = 0
类型③:
θ = α(α为倾斜角,可以是特殊角可以不是特殊角),该直线经过原点(极点),对应的直
角坐标方程为 y = tanα⋅ x即y = kx
例如:
θ = π
π
33
(注:
直线的直角坐标方程一般要求写成一般式:
Ax+By+C=0)
三、曲线极坐标与直角坐标互换
(一)圆的直角与极坐标互换
1.圆的极坐标转化成直角坐标
类型一:
ρ = cosθ + sinθ
详解:
一般 cosθ ,sin θ 要转化成 x、y 都需要跟 ρ 搭配,一对一搭配。
所以两边同时乘以 ρ ,即 ρ 2 = ρ cos θ + ρ sin θ ,∴ x 2 + y 2 = x + y即x 2 + y 2 - x - y = 0
类型二:
ρ = 2
没有三角函数时,可以考虑两边同时平方
ρ 2 = 4即x 2 + y 2 = 4
2.圆的直角坐标转化成极坐标
( x - 4) 2 + ( y + 1)2 = 3
解题方法一:
拆开--公式代入
x 2 - 8 x + 16 + y 2 + 2 y + 1 - 3 = 0即x 2 + y 2 - 8 x + 2 y + 14 = 0 ∴ ρ 2 - 8ρ cos θ + 2 ρ sin θ + 14 = 0
解题方法二:
代入-拆-合
( ρ cos θ - 4)2 + ( ρ sin θ + 1)2 = 3即ρ 2 cos 2 θ - 8ρ cos θ + 16 + ρ 2 sin 2 θ + 2ρ sin θ + 1 - 3 = 0
∴ ρ 2 (cos 2 θ + sin 2 θ ) - 8ρ cos θ + 2ρ sin θ + 14 = 0即ρ 2 - 8ρ cos θ + 2ρ sin θ + 14 = 0
【强化理解】
1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化.
⎛14 ⎫
⎝⎭
②将点 N 的直角坐标(4,-4 3)化成极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
标是(-2,2 3).
3
2π 1 2π
3 ⎝ 2⎭ 3 3
②∵ρ=42+(-4 3)2=8,tanθ=
-4 3
4 =- 3,θ∈[0,2π),又点(4,-4 3)在第四象限,
5π⎛5π⎫
⎝⎭
2、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化.
3
③ρ2cos2θ=4;
④ρ= 1 .
2-cosθ
【解答】解:
①将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入 y2=4x,得(ρsinθ)2=4ρcosθ.化简得 ρsin2θ=4cosθ.
yπy
π
③因为 ρ2cos2θ=4,所以 ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即 x2-y2=4.
④因为 ρ=1,所以 2ρ-ρcosθ=1,因此
2-cosθ
2x2+y2-x=1,化简得 3x2+4y2-2x-1=0.
3.化极坐标方程 ρ2cosθ﹣ρ=0 为直角坐标方程为()
A.x2+y2=0 或 y=1 B.x=1 C.x2+y2=0 或 x=1 D.y=1
【解答】解:
∵ρ2cosθ﹣ρ=0,
∴ρcosθ﹣1=0 或 ρ=0,
∵,
∴x2+y2=0 或 x=1,
故选 C.
4.将曲线 ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0 的极坐标方程化为直角坐标方程为()
A.y+2x﹣1=0 B.x+2y﹣1=0 C.x2+2y2﹣1=0D.2y2+x2﹣1=0
【解答】解:
由曲线 ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0,及
,
可得 x+2y﹣1=0.
∴曲线 ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x+2y﹣1=0.故选:
B.
⎛π⎫2
⎝⎭2
.,求圆 O 和直线 l 的直角
坐标方程;
【解答】解:
(1)圆 O:
ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
圆 O 的直角坐标方程为:
x2+y2=x+y,
即 x2+y2-x-y=0,
π
⎝4⎭2
则直线 l 的直角坐标方程为:
y-x=1,即 x-y+1=0.
三、参数方程
1.必记的曲线参数方程
已知条件
00
普通方程
y - y = k ( x - x )
0 0
参数方程
⎧⎪x=x0+tcos α,
⎨ (α 为参数)
⎪⎩y=y0+tsin α
r
0 0 0 0 0
⎧⎪x=x0+rcos θ,
⎨ (θ 为参数)
⎪⎩y=y0+rsin θ
长半轴 a 和短半轴 b
2 2
a2 b2
⎧⎪x=acos θ,
⎨ (θ 为参数)
⎪⎩y=bsin θ
实轴 a 和虚轴 b
2 2
a2 b2
⎧x= a ,
⎨ cos θ
⎩y=btan θ
(θ 为参数)
已知 p抛物线 y2=2px(p>0 )
⎧⎪x=2pt2,
⎨
⎪⎩y=2pt
2.参数方程与普通方程的转化
(1)参数方程转化成普通方程
类型一:
含 t 的消参
思路:
含有 t 的参数方程消参时,想办法把参数 t 消掉就可以啦,有两个思路:
思路一:
代入消元法,把两条式子中比较简单的一条式子转化成 t=f(x)或 t=f(y),
思路二:
加减消元:
让含有 t 前面的系数相同或成相反数后相加减。
⎧
⎪x = 2 +
例如:
曲线 C:
⎪
⎪ y = 1 +
⎪⎩
2
t
2 (t为参数)
2
t
2
222
思路二:
加减消元:
两式相减,x-y-1=0.
类型二:
含三角函数的消参
思路:
三角函数类型的消参一般的步骤就是:
移项-化同-平方-相加
移项:
把除了三角函数的其他相加减数字移动左边
化同:
把三角函数前面的系数化成相同
平方:
两道式子左右同时平方
相加:
平方后的式子进行相加
(注:
有时候并不需要全部步骤)
⎧⎪x=1+cos θ,
例如:
圆⎨消参数 θ,化为普通方程是(x-1)2+(y+2)2=1.
⎪⎩y=-2+sin θ
x -1 = cosθ
⎩ y + 2 = sin θ
(x -1) = cos2 θ
(y + 2) = sin 2 θ
相加:
(x -1) (y + 2) 2 = 1
3.参数方程涉及题型
(1)直线参数方程的几何意义
(2)距离最值(点到点、曲线点到线、)
【强化理解】
1、直线 l 的参数方程为为参数).写出直线 l 的直角坐标方程;
【解答】直线 l 的参数方程为为参数).
由上式化简成 t=2(x﹣1)代入下式得
根据 ρ2=x2+y2,进行化简得 C:
x2+y2=1(2 分)
2、.将参数方程(θ 为参数)化为普通方程为()
A.y=x﹣2 B.y=x﹣2(0≤y≤1)C.y=x+2(﹣2≤x≤﹣1)D.y=x+2
【解答】解:
将参数方程(θ 为参数)化为普通方程为:
y=x+2,(﹣2≤x≤﹣1).
故选:
C.
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