直线与圆圆与圆的位置关系考点与题型归纳.docx
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直线与圆圆与圆的位置关系考点与题型归纳
直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳
、基础知识
1.直线与圆的位置关系(半径为r,圆心到直线的距离为d)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
△vo
△=o
△>o
几何观点
d>r
d=r
dvr
2.圆与圆的位置关系(两圆半径为ri,匕,d=|OiO2|)
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的
关系
d>ri+r2
d=ri+r2
|ri—r2|vdv
ri+r2
d=|ri—r2|
dv|ri—r2|
、常用结论
(1)圆的切线方程常用结论
1过圆x2+y2=r2上一点P(xo,yo)的圆的切线方程为xox+yoy=r2
2过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(xo,yo)的圆的切线方程为(xo—a)(x—a)+(yo—b)(y
-b)=r2.
3过圆x2+y2=r2外一点M(xo,yo)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为xox+yoy
=r2.
(2)直线被圆截得的弦长
1i
弦心距d、弦长I的一半及圆的半径r构成一直角三角形,且有r2=d2+~l2.
考点一直线与圆的位置关系
考法
(一)直线与圆的位置关系的判断
[典例]直线I:
mx—y+1—m=0与圆C:
x2+(y—1)2=5的位置关系是()
A•相交B•相切
C.相离D•不确定
mx—y+1—m=0,
[解析]法一:
由oo
x2+y—1=5,
消去y,整理得(1+m2)x2—2m2x+m2—5=0,
因为△=16m2+20>0,
所以直线I与圆相交.
法二:
由题意知,圆心(0,1)到直线I的距离d=―<1<寸5,故直线I与圆相交.
yjm2+1
法三:
直线I:
mx—y+1—m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x2+(y—1)2=5的内部,所以直线I与圆相交.
[答案]A
[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:
利用d与r的关系.
(2)代数法:
联立方程组,消元得一元二次方程之后利用△判断.
(3)点与圆的位置关系法:
若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
[提醒]上述方法中最常用的是几何法.
考法
(二)直线与圆相切的问题
[典例]
(1)过点P(2,4)作圆(x—1)2+(y—1)2=1的切线,则切线方程为()
A.3x+4y—4=0
B.4x—3y+4=0
C.x=2或4x—3y+4=0
D.y=4或3x+4y—4=0
(2)(2019成都摸底)已知圆C:
x2+y2—2x—4y+1=0上存在两点关于直线I:
x+my+1
=0对称,经过点M(m,m)作圆C的切线,切点为P,则|MP|=.
[解析]⑴当斜率不存在时,x=2与圆相切;当斜率存在时,设切线方程为y—4=k(x
故切线方程为x=2或4x—3y+4=0.
⑵圆C:
x2+y2—2x—4y+1=0的圆心为C(1,2),半径为2•因为圆上存在两点关于直线
I:
x+my+1=0对称,所以直线I:
x+my+1=0过点(1,2),所以1+2m+1=0,解得m=—1,所以|MC|2=13,|MP|=13—4=3.
[答案]
(1)C
(2)3
考法(三)弦长问题
[典例]⑴若a2+b2=2c2(cm0),则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为
()
1
B.1
C#D..2
(2)(2019海口一中模拟)设直线y=x+2a与圆C:
x2+y2—2ay—2=0相交于A,B两点,若|AB|=2.3,则圆C的面积为()
A.4nB.2n
C.9nD.22n
[解析]⑴因为圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d=t|C|=#弟=¥‘因此根
寸a2+b2V2|C|2
据直角三角形的关系,弦长的一半就等于1—I2=于,所以弦长为2.
(2)易知圆C:
x2+y2—2ay—2=0的圆心为(0,a),半径为-a2+2.圆心(0,a)到直线y=x+2a的距离d=|a2,由直线y=x+2a与圆C:
x2+y2—2ay—2=0相交于A,B两点,|AB|=2诵,可得齐3=a2+2,解得a2=2,故圆C的半径为2,所以圆C的面积为4n故选
A.
[答案]
(1)D
(2)A
[题组训练]
1•已知圆的方程是X2+y2=1,则经过圆上一点M誓,当的切线方程是-
解析:
因为M#,+是圆X2+y2=1上的点,所以圆的切线的斜率为一1,则设切线
方程为x+y+a=0,所以#+#+a=0,得a=—2,故切线方程为x+y—2=0.
答案:
x+y—2=0
2.若直线kx—y+2=0与圆x2+y2—2x—3=0没有公共点,则实数k的取值范围是
解析:
由题知,圆x2+y2—2x—3=0可写成(x—1)2+y2=4,圆心(1,0)到直线kx—y+2
=0的距离
|k+2|4
d>2,即>2,解得0vkv3.
pk2+13
答案:
4
03
3.设直线y=kx+1与圆x2+y2+2x—my=0相交于A,B两点,若点A,B关于直线l:
x+y=0对称,则|AB|=.
解析:
因为点A,B关于直线I:
x+y=0对称,所以直线y=kx+1的斜率k=1,即y=「、m
x+1•又圆心—1,2在直线I:
x+y=0上,所以m=2,则圆心的坐标为(一1,1),半径r=2,所以圆心到直线y=x+1的距离du^2,所以AB|=2r2—d2=,6.
答案:
6
考点二圆与圆的位置关系
[典例](2016•东高考)已知圆M:
x2+y2—2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:
(x—1)2+(y—1)2=1的位置关系是()
A.内切B.相交
C.外切D.相离
x2+y2—2ay=0,
[解析]法一:
由
x+y=0,
得两交点为(0,0),(—a,a).
•••圆M截直线所得线段长度为22,
•••-a2+-a2=22.
又a>O,「・a=2.A圆M的方程为x2+y2-4y=0,
即x2+(y-2产=4,圆心M(0,2),半径ri=2.
又圆N:
(x-1)2+(y-1)2=1,圆心N(1,1),半径r2=1,
•••|MN|=-0-12+2-12=2.
•.•「1-「2=1,r1+r2=3,1<|MN|<3,
•两圆相交.
法二
a
一:
由题知圆M:
x2+(y-a)2—a2(a>0),圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d—
V2
所以2
:
a2—2—22,解得a—2•圆M,圆N的圆心距|MN|—.2,两圆半径之差为1,两
圆半径之和为3,故两圆相交.
[答案]B
[变透练清]
1.(2019太原模拟)若圆C1:
x2+y2=1与圆C2:
X2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=
()
A.21B.19
C.9D.-11
解析:
选C圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,因为圆C2的方程可化为(x-3)2+(y
-4)2=25-m,所以圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2=25-m(mV25).从而|C1C2=:
32+42
=5•由两圆外切得C1C2=r1+",即卩1+「25-m=5,解得m=9,故选C.
2.变结论若本例两圆的方程不变,则两圆的公共弦长为.
x+y—4y=0,
解析:
联立两圆方程两式相减得,2x-2y-1=0,因为N(1,1),
x-12+y-12=1,
r=1,则点
N到直线2x-2y-1=0的距离d=
—1|
2,2
答案:
*4
[解题技法]
几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长;
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d,求ri+r2,|ri—r2|;
⑶比较d,ri+r2,|ri—r2|的大小,写出结论.
[课时跟踪检测]
1.若直线2x+y+a=0与圆x2+y2+2x—4y=0相切,则a的值为()
B.±5
A.±,5
C.3
D.±3
解析:
选B圆的方程可化为(x+1)2+(y—2)2=5,因为直线与圆相切,所以有|a5=,5,即a=±故选B.
2.与圆Ci:
x2+y2—6x+4y+12=0,C2:
x2+y2—14x—2y+14=0都相切的直线有
C.3条
解析:
选A两圆分别化为标准形式为Ci:
(x—3)2+(y+2)2=1,C2:
(x—7)2+(y—1)2
=36,则两圆圆心距|CiC2|=7—32+[1——2]2=5,等于两圆半径差,故两圆内切.所
以它们只有一条公切线.故选A.
3.(2019南宁、梧州联考)直线y=kx+3被圆(x—2)2+(y—3)2=4截得的弦长为2.3,
则直线的倾斜角为()
n[、.5n
a・6或石
n
D・6
解析:
选A由题知,圆心(2,3),半径为2,所以圆心到直线的距离为d=22—32=1.即d=J^=1,所以k=±富由k=tan"得a=6或于故选A.
4.过点(3,1)作圆(x—1)+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为()
A.2x+y—5=0B.2x+y—7=0
C.x—2y—5=0D.x—2y—7=0
解析:
选B由题意知点(3,1)在圆上,代入圆的方程可得r2=5,圆的方程为(x—1)2+y2
B.
x+ay+1
=5,则过点(3,1)的切线方程为(x—1)・—3)+y(1—0)=5,即2x+y—7=0•故选
5.(2019重庆一中模拟)若圆x2+y+2x—6y+6=0上有且仅有三个点到直线=0的距离为1,则实数a的值为()
C.土,2
解析:
选B由题知圆的圆心坐标为(一1,3),半径为2,由于圆上有且仅有三个点到直
|—1+3a+1|
:
1'1+a2
C.y=
解析:
选B
|2+2X—1—3|
3,5
2r2—d2=迸5
.12+22
±2
±4-
6.(2018嘉定二模)过点P(1,—2)作圆C:
(x—1)+y2=1的两条切线,切点分别为A,
B,则AB所在直线的方程为()
1
b.y=—2
&若P(2,1)为圆(x—1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为
一1
解析:
因为圆(x—1)2+y2=25的圆心为(1,0),所以直线AB的斜率等于=—1,由点
1—0
斜式得直线AB的方程为y—1=—(x—2),即卩x+y—3=0.
答案:
x+y—3=0
9.过点P(—3,1),Q(a,O)的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切,则a的值为
解析:
因为P(—3,1)关于x轴的对称点的坐标为P'(—3,—1),
x—(3+a)y—a=0,
一1
所以直线P'Q的方程为y=(x—a),即
—3—a
所以a=—|.
5
答案:
—|
10.点P在圆C1:
x2+y2—8x—4y+11=0上,点Q在圆C2:
x2+y2+4x+2y+1=0上,
则|PQ|的最小值是
解析:
把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式,得(x—4)2+(y—2)2=9,(x+2)2+(y+1)2=4.
圆C1的圆心坐标是(4,2),半径长是3;
圆C2的圆心坐标是(一2,—1),半径是2.
圆心距d=■4+22+2+12=3,5>5•故圆C1与圆C2相离,
所以|PQ|的最小值是3.5—5.
答案:
35—5
11.已知圆C1:
x2+y2—2x—6y—1=0和圆C2:
x2+y2—10x—12y+45=0.
(1)求证:
圆C1和圆C2相交;
⑵求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
解:
(1)证明:
圆C1的圆心C1(1,3),半径「1=111,
圆C2的圆心C2(5,6),半径r2=4,
两圆圆心距d=|CiC2|=5,ri+r2=:
.;11+4,
|ri—r2|=4—11,
-■•|ri—r2| ⑵圆C1和圆C2的方程相减,得4x+3y—23=0, •••两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y—23=0. |20+18—23|圆心C2(5,6)到直线4x+3y—23=0的距离d=,=3, 寸16+9 y=—2x上. 故公共弦长为216—9=2,7. 12.已知圆C经过点A(2,—1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线 (1)求圆C的方程; (2)已知直线I经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线I的方程 解: (1)设圆心的坐标为C(a,—2a), —2a+1 化简,得a2—2a+1=0,解得a=1. •Q(1,—2),半径r=|AC|=1—22+—2+12=,2. •••圆C的方程为(x—1)2+(y+2)2=2. C截得的弦长为 ⑵①当直线I的斜率不存在时,直线I的方程为x=0,此时直线I被圆 2,满足条件. ②当直线I的斜率存在时,设直线I的方程为y=kx, K+2|3 由题意得=1,解得k=—4, 寸1+k24 3 •直线I的方程为y=—]x,即3x+4y=0. 综上所述,直线I的方程为x=0或3x+4y=0. 1.过圆x2+y2=1上一点作圆的切线,与x轴、y轴的正半轴相交于A,B两点,则|AB| B.,.''3 D.3 的最小值为() A..''2 C. 解析: 选C设圆上的点为(xo,yo),其中xo>0,yo>0,则有xg+ 2 y0=1,且切线方程为xox+yoy=1.分别令y=0,x=0得 1/1211 B0,y,则iab=..x0+y02=硕》右=2当且仅当等号成立. 2.(2018•苏高考)在平面直角坐标系xOy中,A为直线I: y=2x上在第一象限内的点, B(5,0),以AB为直径的圆C与直线I交于另一点D.若ABCD=0,则点A的横坐标为 又|MC|=2,「.|CD|= 20_4 25=.5, V52|MC|2厂 2丢cosZMCA2_7 •••|OC|=2,|AM|=1, A的方程为(x—1)2+y2= •MN是以点A为圆心,1为半径的圆A与圆C的公共弦,圆 1, 圆C的方程为x2+(y—2)2=4或x2+(y+2)2=4, 即x—2y=0或(x—1)2+y2 •'■MN所在直线的方程为(x—1)2+y2—1—x2—(y—2)2+4=0, —1—x2—(y+2)2+4=0,即x+2y=0, 因此MN所在直线的方程为x—2y=0或x+2y=0. 1 7.在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y—3=0被圆(x—2)2+(y+1)2=4截得的弦长 为.
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- 直线 圆圆 位置 关系 考点 题型 归纳