空间几何体外接球和内切球题型归纳.docx
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空间几何体外接球和内切球题型归纳
空间几何体外接球和内切球题型梳理
一、求外接球半径的常用方法
题型1高过外心
空间几何体(以P-ABCD为例)的高过底面的外心(即顶点的投彩在底面外心上):
(1)先求底面ABCD的外接圆半径广,确定底面ABCD外接圆圆心位置0‘;
(2)把0'垂直上移到点0,使得点O到顶点P的距离等于到A、B、C、D的距离相等,此时点0是几何体外接球球心;
(3)连接Q4,那么R=IOAI,由勾股定理得:
R2=r2+∖OO,∖".
例题1正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球0的球而上,PA=AB=2^则球0的表而积为
【解析】二正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球而上,PA=AB=2,
二连结2C,BD,交于点0,连结P0,则Po二而ABCD,OA=OB=OC=OD=-AC=-^21+2'
22
OP=^PB1-OB2=√4^2=√2>匚°是球心,球。
半径r=√2,二球。
表面积为S=4τu^=Sπ
变式1在三棱锥P-ABC中.E4=PB=PC=2.AB=AC=∖,BC=F则该三棱锥的外接球的
表面积为
【解析】因为AB=AC=I,BC=√3,由余弦泄理可求得乙BAC=芈
BC-
2sin
再由正弦泄理可求得MBC的外接圆的半径'因为B4=PB=PC=2,所以P在底面上的射影为ΔABC的外心D,社PD=*
所以其表而积为S十心4罔=罟
题型2高不过外心
高不过心一顶点的投彩不在底面外心上,以侧棱垂直于底面为例:
題设:
已知四棱锥P-ABCD%丄底血BCD
(1)先求底面ABCD的外接圆半径广,确定底面ABCD外接圆圆心位置0';
(2)把0'垂直上移到点0,使得∖θO,∖=-∖PA∖t此时点0是几何体外接球球心;
2
(3)连接OA,那么R=∖OA∖,由勾股定理得:
∕e2=r2+∣θθf=r2+(J^l)2.
例题2
(1)长方^ABCD-AIBICIDl的8个顶点在同一个球而上,且AB=2,AD=√3>AAl=1.则
球的表而积为・
(2)已知正三棱柱ABC-AiBiCl的底面边长为3,外接球表而积为16兀,则正三棱柱ABC-AiBICI的体积为()
A∙婕
4
B.也C.痊D.也
242
【解析】
(1)长方WABCD-AIBlCIDlS个顶点在同一个球而上,所以球的直径等于长方体的对角线长,
设球的半径为乩因为AB=2.AD=員,AAI=1,
所以4R2=22+√32+I2=8*球的表而积为4兀1?
2=8兀,故答案8兀.
(2)正三棱柱AfiC-A1B1C1的底而边长为3,故底而的外接圆的半径为∕∖2r=-1—=>r=√3外接球
SInoO
表面积为16;T=4τrR2=>R=2外接球的球心在上下两个底而的外心MN的连线的中点上,记为0点,如图所示
在三角形OMd中,MB、=r=品QB∖=R=2VMBI2+OM2=OBf
解得OM=\、MN=h=2故棱柱的体积为:
V=SΛ=-×3×3×-×2=-√3.选D
222
例题3已知P,A,B,C,D是球0的球而上的五个点,四边形ABCD为梯形,ADlIBC,
AB=DC=AD=2,BC=PA=4,PA丄≡ABCD.则球0的体积为
【解析】取BC中点E,连接AE.DE.BD
∙∙∙ADIIBC且AD=LBC=Ee,••・四边形ADCE为平行四边形
2
AAE=DC^又DC=-BC,..DE=丄BC,.∙.AE=DE=BE=EC,
22
二£为四边形ABCD的外接圆圆心,设0为外接球的球心,由球的性质可知OE丄平而ABCD
作OF丄阳,垂足为F「•四边形AEOF为矩形,OF=AE=2
设AF=x,OP=OA=R,则4+(4-x)2=4+x2,解得:
x=2,.-./?
=√47Z=2√2
・・.球0的体积:
本题正确选项:
A
33
Jr
变式2已知三棱柱ABC-A^Cl的侧棱与底而垂直,AAi=BC=2,ΛBAC=-,则三棱柱
ABC-AIBICI外接球的体积为()
A.12√3λ∙B.8√3λγC.6辰D.4屁
【解析】设MBC的外接圆圆心为0},ΔA1B1C1的外接圆圆心为O2,
球的球心为0,因为三棱柱ABC-AiBiCI的侧棱与底面垂直,
O
所以球的球心为qθ2的中点,且直线qo?
与上、下底面垂直,且=晅,OlO=I,
SIn—
4
所以在RtSOfiC中,OC=√ΠΓT=JJ,即球的半径为・所以球的体积为討疋=4辰,选D
变式3四棱锥P-ABCD的底而为正方形ABCD.PA丄底而ABCD,AB=2^若该四棱锥的所有顶点都在体积为亍的同-球而上,则M的长为()
A.3
【解析】
连接AC、BD交于点E,取PC的中点0,连接OE,可得OE√PA,
OE丄底而ABCD,可得0到四棱锥的所有顶点的距离相「等,即0为球心,设球半径为R,
可得R=丄PC=丄JPA2+8,可得-π∖l√PA2+8λ∣=—.解得PA二1,故选C.
22312)2
变式4四棱锥A-BCDE的各顶点都在同一球面上,AB丄底而BCDE,底而BCDE为梯形,
ZBCD=60>RAB=CB=BE=ED=2,则此球的表面积等于()
A.25;FB.24πC.20;TD.16;F
【解析】如图,由已知可得,底而四边形BCDE为等樓梯形,
2
设底而外接圆的圆心为G,连接BG,则2BG=-—-=4,
sιn30
∙∙.BG=2,又AB=2,设四棱锥外接球的球心为0,
则OA=G,即四棱锥外接球的半径为√5∙此球的表而积等于4λ∙×(√5)2=20λ∙.选C
二、常见几何体的外接球
题型3长/正方体外接球
R长方体或正方体的外接球的球心:
体对角线的中点:
2'正方体的外接球半径:
r("正方体棱长);
3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为Ubc,外接球的半径:
/?
=—
例题4若一个长、宽、髙分别为4,3,2的长方体的每个顶点都在球O的表面上,则此球的表而积为
/?
2+?
2+4?
FyQ
【解析】长方体外接球半径:
R=所以外接球面积:
S=4加?
2=29∕r
22
例题5—个正方体的所有顶点在一个球而上,若这个正方体的表而积为18,则这个球的体积为
【解析】设正方体棱长为d,则6t∕2=18,Λd=√3.设球的半径为R,则由题意知R=竺a=。
.故球的体积V=-πR'=-π
2232
变式5棱长为1的正方体ABCD-AIBICIr)I的8个顶点都在球O的表而上,E,F分别是棱AAl,DDl的中点,则直线EF被球O截得的线段长为()
AfB.1C.1+当D.√2
λ∙22
的截而圆的直径,为2r=√2
题型4棱柱的外接球
直棱柱外接球的求法一汉堡模型
1・补型:
补成长方体,若各个顶点在长方体的顶点上,则外接球与长方体相同
2.作图:
构造直角三角形,利用勾股定理
“第"求底面外接站半径:
V佥⑴角宀对边);
例题6直三棱^ABC-AIBICl中,已^AB丄BC,AB=3,BC=4,AAl=5,若三棱柱的所有顶点都
在同一球而上,则该球的表而积为
【解析】朋丄BC,AB=3.3C=4∙所以b=5底面外接圆的半径:
r=l-=-,ABC-AIBICI
2SinB2
是直三棱柱,h=5,所以几何体外接球半径R=*2+(分=竽;故该球表面积S=4^2=50π
例题7直三棱柱ABC-Λ1B1C1的所有棱长均为2√3,则此三棱柱的外接球的表而积为()
A・12πB・16πC・28πD・36π
【解析】由直三棱柱的底而边长为2曲,得底而外接圆的半径:
r=∙LMl=2,
2・π
Sln—
3又由直三棱柱的侧棱长为2逅,则A=2√3,所以外接球半径/?
={厂+(£)2=、厅,二外接球的表而枳S=4欣2=28;T・选C
变式6设直三棱柱A3C-A}BICi的所有顶点都在一个球面上,且球的表而积是40;T,AB=AC=AAx.
ZBAC=I20°.则此直三棱柱的髙是.
1
因为4叔=40兀/.R2=10所以
√3t∕
【解析】设ABAC边长为J则ΔR4C外接圆半径为SIn——
3
+6∕2=10√∕=2√29即直三棱柱的高是2j∑∙
题型5梭锥的外接
类型一:
正棱锥型(如下图1,以正三棱锥为例,顶点P的投影落在MBC的外心上)
D求底面外接圆半径:
T抚心角^对边)
OI
2)求出∖AH∖=-r9求出棱锥高度力=∖PH∖=yl∖PA[∖AH[
类型二:
侧棱垂直底面型(如上图2)
1)求底面外接圆半径:
r=∖HD∖=(d为角A的对边);2)棱锥高度力=IPAl
3)由勾股定理得外接球半径:
R=Ir+(£),
例题8已知正四棱锥P-ABCD的各顶点都在同一球而上,底面正方形的边长为JΣ,若该正四棱锥的
体积为2,则此球的体积为•
【解析】如图所示,设底而正方形ABCD的中心为O',正四棱锥P-ABCD的外接球的球心为0
∙.∙底面正方形的边长为JT/.0,D=1∙.∙正四棱锥的体积为2
•••p-ABCD=-×(√2)2XPO*=2,解得P0,=3,..OO,=PO,-PO=∖3-R∖
在Rt∖00,D中,由勾股定理可得:
Oo'2+07)2=01)2
Z、2
Hp(3—/?
)'+1=/?
?
解得R=—Vi,ji=—TtRy=-τr×—=——
333\3781
例题9在三棱锥P-ABC中,AP=2,AB=3氐QA丄而ABC,且在三角形ABC中,有CCOSB=(2α-∕?
)COSC,则该三棱锥外接球的表而积为.
【解析】设该三棱锥外接球的半径为R•
在三角形ABC中,CCOSB=(2d-∕?
)COSC.∖CCOSB+bcosC=2acosC
•••根据正弦定理可得SinCCOSB+SinBCOSC=2sinAcosC,即Sin(B+C)=2sinAcosC・
・•・由正弦定理,
=2r,得三角形ABC的外接圆的半径为r=3.∙:
PA丄而ABC・π
sin—
3
∙∙∙(PA)2+(2r)2=(2/?
)2•••疋=IO∙'∙该三棱锥外接球的表而积为S=4兀疋=40∕r故选A.
例题10已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球而上,ΔABC和ADBC所在平而相互
垂直,AB=3,AC=®BC=CD=BD=2®则球O的表而积为
【解析】∙∙∙AB=久AC=*,BC=2®:
.ABI^ACI=BC2,・・4C丄AB.
VAABC和UBC所在平面相互垂直,IR=一竺一=仝1=4,二球O表而积为4πR2=∖6π.SinZBCD・π
Sln—
3
例题11三棱锥P-ABC的底而是等腰三角形,ZC=120°,侧而PAB是等边三角形且与底而ABC垂
直,AC=2,则该三棱锥的外接球表而积为•
【解析】如图,在等腰三角形ABC中,由ZC=120°,得ZABC=30°,
AC9
又心2,设G为三角形赵外接圆的圆心,则乔N肘為=2CG,CG=2.
再设CG交AB于D,可得CD=∖,λB=2√3t则DG=I.
2
在等边三角形Q4B中,设苴外心为H,则BH=PH=-PD=2.
3
过G作平而ABC的垂线,过H作平面⑷的垂线,两垂线相交于O,
则O为该三棱锥的外接球的球心,贝IJ半径R=OB=√4TT=√5.
该三棱锥的外接球的表而积为4λ∙×(√5)2=20π
例题12在四面体ABCD中,AB=Sf2DA=DB=CA=CB=I,则四而体ABCD的外接球的表而积为.
【解析】由AB=迈,DA=DB=CA=CB=I,
所以CA2+CB2=AB2,AD2+BDI=AB2
可得ZACB=ZADB=90>所以OA=OB=OC=OD=即O为外接球的球心,球的半径R=亘所以四而体ABCD外接球表面积S=4πR2=4π×-=2π
22
例题13已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球而上,PC是球O的直径.若平面PcA丄平面
PCB,PA=AC,PB=BC,三棱锥P-ABC的体积为—则球O的体积为・
【解析】如下图所示,
设球O的半径为由于PC是球O的直径,则"AC和ZPBC都是直角,
由于PA=AC,「PB=BC,所以,ΔE4C和ΔPBC是两个公共斜边PC的等腰直角三角形,且MC的而积为SδPBC=^PC.OB=R2.∙.∙PA=ACtO为PC的中点,则04丄PC,
•••平而λ¾C丄平而PBC,平而PACry平而PBC=PC,QAU平而PACf所以,QA丄平而刖C,所以,三棱锥P-ABC的体积为-×OA×S^C=LRXk=LR'=a,球O的体积为上打用=4π×-Ry=4πa
3E3333
例题14在三棱锥A-BCD中,△迦与劝均为哒长为2的等边三角形,且二而角A-BD-C的平而角为120。
则该三棱锥的外接球的表而积为()
16兀
【解析】如图,取FD中点乩连接期CH,因为△月助与AdO均为边长为2的等边三角形
所以ATLL刃λCHLBD.则ZAHC为二而角A-BD-C的平面角,即ZJAP=120°
设△月加与△㈤外接圆圆心分别为EF
则由AH=2×^L=JJ可得AE=-AH=-y[3.EH=LAH=至
23333
分别过E尸作平而磁,平面砲的垂线,则三棱锥的外接球一立是两条垂线的交点记为Q连接月QH0.则由对称性可得ZoHE=防
所以OE=I,则R=OA=yJAE2+EO2=—.贝U三棱锥外接球的表面积4^∙∕?
2=4π×-=-
393
变式7已知正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2,则其外接球的表面积为()
A.4πB.6πC.8πD.16兀
【解析】设点P在底而ABCD的投影点为Of,则AOf=-AC=^2,PA=2,POt丄平而ABCD,故
2
po'=Jpa?
-佔=√Σ,而底面ABCD所在截而圆的半径ao,=√2,故该截面圆即为过球心的圆,则球的半径R=yj2,故外接球的表而积为S=4叔=8如故选C.
变式8如图,正三棱锥D-ABC的四个顶点均在球。
的球而上,底而正三角形的边长为3,侧棱长为
2JL则球。
的表面积是・
【解析】如图,设OM=x,OB=OD=r,-AB=3,
:
.BM=√3,又DB=2®..DM=3,
在RtΔOMB中,(3-x)2=√+3,得:
x=l,.β.r=2,AStfio=16λ∙t选C・
变式9已知三棱锥S-ABC中,SA丄平而ABC,且ZACB=30。
AC=2AB=2√3.SA=1•则
该三棱锥的外接球的体积为()
【解析】∙∙∙ZACB=30。
,AC=2AB=2√3Λ^ABC是以AC为斜边的直角三角形
Ar—
其外接圆半径r=-=√3,则三棱锥外接球即为以QBCC为底而,以$4为髙的三棱柱的外接球2
・•・三棱锥外接球的半径R满足/?
=Jr2+—:
=土,故三棱锥外接球的体积V=iπRi=^^-π.Yl2丿236
变式10已知底而边长为迈,各侧而均为直角三角形的正三棱^-ABC的四个顶点都在同一球面上,则此球的表而积为()
A-3πB-2πcED-4π
【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1,将三棱锥补成一个正方体(棱长为1),
则正方体外接球为正三棱锥外接球,所以球的直径为√1+1+1=√5,
故其表而积为S=4×π×G^)2=3π.选A.
变式11《九章算术》是我国古代数学劣著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,其中有很多对几何体外接球的研究,如下图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表而积是()
A.81πB.33πC・56πD・41τT
【解析】由三视图可得,该几何体是一个如图所示的四棱锥P-朋CD,英中4BCD是边长为4的正方形,平而P/3丄平而MBCD・
设F为AB的中点,E为正方形加CD的中心,。
为四棱锥外接球的球心,0丄为4P4B外接圆的圆心,则球心0为过点E且与平^ABCD垂直的直线与过0且与平而"8垂直的直线的交点.
由于4阳3为钝角三角形,故6在"佔的外部,从而球心0与点P在平而朋CD的两侧•
由题意WPF=IfOE=OIFfOOl=EF.设球半径为R,贝∣J∕?
2=OE2+OB2=EF2+O1P29
即OE2+(2√2)z=22+(1+OE)2,解得OE=P:
.R2=(|)2+(2√2)2=γ,:
∙S农衣=4πR2=41π・选D.
变式12(2020•南昌市八一中学)如图所示,三棱锥S-ABC中,与△竝都是边长为1的正三角形,二面角—S的大小为牛若S,A&C四点都在球。
的表面上,则球。
的表面积为()
B
【解析】取线段證的中点2λ连结J2λSD,由题意得〃丄万GSDLBC,
2
:
.ZADS是二面角A-BC-S的平而角,.∖AADS=—,由题意得万Q丄平面初$
3
分別取〃,切的三等分点仅尸,在平面月仍•内,过点E尸分别作直线垂直于出λSD,
两条直线的交点即球心0,连结创,则球0半径R=∖OA∖,
由题意知助=丄,AD=亘,DE=LAD=至、AE=-AD=—,
223633
龙1
连结血,在Rt△宓中,ZoDE=—,OE=√3DE=-.
32
畑=加+込迈,.・.球。
的表而积为I倍彳.选A.
变式13四面体SABC中,ACdBC,SA丄平而ABC,SA=曲AC=fBC=E则该四而
体外接球的表而积为()
32兀16;F
A.——B.——
33
【解析】如图所示:
由已知可得△SAB⅛^SBC为直角三角形,所以该几何体的外接球球心为SB的中点O
因为AC=厲BC=*,且AC丄BC,所以AB=√10l
所以SB=√^4ς+ABγ=后T6=4
所以四而体SABC的外接球半径R=L则表而积S=4%R2=16兀,选C
题型6墙角型
例题15已知四而体力8CD的四个而都为直角三角形.,且皿丄平而BCD,AB=BD=CD=2,若该四而体的四个顶点都在球O的表而上,则球O的表而积为()
A.3πB.2∖∣3πC・4√r3πD・12π
【解析】∙∙∙BD=CD=2且4BCD为直角三角形.∙.BD丄CD
又丄平而BCD,CDU平而BCD・・・CD丄AB・・・CD丄平而S8D
由此可将四面体力8CD放入边长为2的正方体中,如下图所示:
・・・正方体的外接球即为该四而体的外接球O
正方体外接球半径为体对角线的一半,即
球O的表而积:
S=4πR2=12πt选D
变式14已知一个棱长为2的正方体被两个平而所截得•的几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的
表面积是()
【解析】该几何体是把正方体Acl截去两个四而体AAIBIDI与CCIBlD1,其外接球即为正方体ACl的外接球,由AC1=√22+22+22=2√3・
・・・外接球的半径R=*•・・・该几何体外接球的表而积是4λ∙×(√3)2=12λ∙・选D.
变式15在三棱锥P—ABC中,PA=PB=PC=XPA.PB、PC两两垂直,则三棱锥P-ABC的
外接球的表面积为()
A.∖2πB.6πC.4龙D.3τr
【解析】∙.∙在三棱锥P—ABC中,PA=PB=PC=∖,PA、PB、PC两两垂直,
二以尢4、PE、PC为棱构造棱长为1的正方体,
则这个正方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球,
二三棱锥P-ABC的外接球的表面积为:
S=4πr2=12τr.选
巩固提升
1.已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个球而上,球心O在AB上,SO丄底而ABC,球的体积与三棱
锥体积之比是4龙,AC=近,则该球的表而积等于()
A.兀B.2πC.3πD・4π
【解析】由于恥处。
C"S,且So丄平而磁,所以ZAe吒
故球的表而枳为4兀・
2.《九章算术》中将底而为长方形,且有一条侧棱与底而垂直的四棱锥称之为"阳马”现有一阳马,其
正视图和侧视图是如图所示的直角三角形•若该阳马的顶点都在同一个球而上,则该球的表而枳为()
【解析】如图所示,该几何体为四棱^P-ABCD.底而力BCD为矩形,
其中PD丄底^ABCD.AB=1,AD=2.PD=1.则该阳马的外接球的直径为PB=√1+1+4=√6・
•••该阳马的外接球的表面积为:
4τr×(y)2=6π.选B.
3.
如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是•某几何体的三视图,已知其俯视图是正三角形,则该几何体的外接球的体积是()
【解析】根据三视图可知,几何体是底而为矩形,髙为四棱锥,且侧而PAB垂直底而ABCD,如图所示:
还原长方体的长是2,宽为1,髙为设四棱锥的外接球的球心为0,则过0作OM垂直平面PAB,M为三角形PAB的外心,作ON垂直平而ABCD,
则N为矩形ABa)的对角线交点,W心写所以外接球的半径W=W+3=舟÷厲唱•&所以外接球的体积V=±τrR'=巴匡兀,选A
354
4・如图,边长为2的正方开勿3CD中,点E、F分别是AB、BC的中点,将4力DE,ΔBEF,/CDF分别法}DE,
EF,FD折起,使得力、B、C三点重合于点4’,若四而WA,EDF的四个顶点在同一个球而上,则该球的表而积为()
D.llπ
【解析】由题意可知△△ZEF是等腰直角三角形,也ZD丄平而力ZEF.三棱锥的底而力'EF扩展为边长为1的正
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