江苏省苏州市届高三上学期期中考试数学Word版含答案.docx
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江苏省苏州市届高三上学期期中考试数学Word版含答案
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苏州市2017~2018学年度第一学期期中考试·数学 第页(共6页)
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苏州市2017~2018学年度第一学期期中考试
数学一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3},则A∩(∁UB)=________.
2.函数y=的定义域为______________.
3.设命题p:
x>4;命题q:
x2-5x+4≥0,那么p是q的______________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
4.已知幂函数y=x2m-m2(m∈N*)在(0,+∞)是增函数,则实数m的值是________.
5.已知曲线f(x)=ax3+lnx在点(1,f
(1))处的切线的斜率为2,则实数a的取值是________.
6.已知在等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则=________.
7.函数y=sin(2x+φ)图象的一条对称轴是直线x=,则φ的值是________.
8.已知奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f
(2)=0,则不等式>0的解集是________.
9.已知tan=2,则cos2α的值是________.
10.若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域为[6,+∞),则实数a的取值范围是________.
11.已知数列{an},{bn}满足a1=,an+bn=1,bn+1=(n∈N*),则b1·b2·…·b2017=________.
12.设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,D为AB的中点,若b=acosC+csinA且CD=,则△ABC面积的最大值是________.
13.已知函数f(x)=sin,若对任意的实数α∈,都存在唯一的实数β∈[0,m],使f(α)+f(β)=0,则实数m的最小值是________.
14.已知函数f(x)=若直线y=ax与y=f(x)交于三个不同的点A(m,f(m)),B(n,f(n)),C(t,f(t))(其中m 二、解答题: 本大题共6个小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 已知函数f(x)=-sin++b(a>0,b>0)的图象与x轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为. (1)求a,b的值; (2)求f(x)在上的最大值和最小值. 16.(本小题满分14分) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sinB+sinC=msinA(m∈R),且a2-4bc=0. (1)当a=2,m=时,求b,c的值; (2)若角A为锐角,求实数m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 已知数列{an}的前n项和是Sn,且满足a1=1,Sn+1=3Sn+1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)在数列{bn}中,b1=3,bn+1-bn=(n∈N*),若不等式λan+bn≤n2对n∈N*有解,求实数λ的取值范围. 18.(本小题满分15分) 如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是等腰梯形,其中AB为2米,梯形的高为1米,CD为3米,上部是个半圆,固定点E为CD的中点.MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计),且滑动过程中始终保持和CD平行.当MN位于CD下方和上方时,通风窗的形状均为矩形MNGH(阴影部分均不通风). (1)设MN与AB之间的距离为x米,试将通风窗的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数y=S(x); (2)当MN与AB之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积S取得最大值? 19.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2-x-m. (1)求过点P(0,-1)的f(x)的切线方程; (2)当m=0时,求函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,a]上的最大值; (3)证明: 当m≥-3时,不等式f(x)+g(x) 20.(本小题满分16分) 已知数列{an}的各项均为正数,a1=1,a2=2,且anan+3=an+1an+2对任意n∈N*恒成立,记{an}的前n项和为Sn. (1)若a3=3,求a5的值; (2)证明: 对任意正实数p,{a2n+pa2n-1}成等比数列; (3)是否存在正实数t,使得数列{Sn+t}为等比数列? 若存在,求出此时an和Sn的表达式;若不存在,请说明理由. 密封线 (这是边文,请据需要手工删加) 密封线 ____________ 号学 ____________ 名姓 ____________ 级班 ____________ 校学 (这是边文,请据需要手工删加) 苏州市2017~2018学年度第一学期期中考试·数学附加题 第页(共2页) (这是边文,请据需要手工删加) 苏州市2017~2018学年度第一学期期中考试 数学附加题21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修41: 几何证明选讲(本小题满分10分) 如图,AB为圆O的直径,点C在圆O上,CF⊥AB,垂足为F,D为线段CF上任意一点,延长AD交圆O于点E,∠AEC=30°. (1)求证: AF=FO; (2)若CF=,求AD·AE的值. B.选修42: 矩阵与变换(本小题满分10分) 已知矩阵A=,α=,求A49α. C.选修44: 坐标系与参数方程(本小题满分10分) 在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=acos(a≠0). (1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程; (2)若圆C的任意一条直径的两个端点到直线l的距离之和为,求实数a的值. D.选修45: 不等式选讲(本小题满分10分) 设x,y均为正数,且x>y,求证: 2x+≥2y+3. 【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分) 在小明的婚礼上,为了活跃气氛,主持人邀请10位客人做一个游戏.第一轮游戏中,主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中,让客人依次去摸,摸到数字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰;第二轮放入1,2,…,5五张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字3,4,5的客人留下;第三轮放入1,2,3三张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字2,3的客人留下;同样第四轮淘汰一位,最后留下的客人获得小明准备的礼物.已知客人甲参加了该游戏. (1)求甲拿到礼物的概率; (2)设ξ表示甲参加游戏的轮数,求ξ的概率分布列和数学期望E(ξ). 23.(本小题满分10分) (1)若不等式(x+1)ln(x+1)≥ax对任意x∈[0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围; (2)设n∈N*,试比较++…+与ln(n+1)的大小,并证明你的结论. 密封线 (这是边文,请据需要手工删加) 苏州市2017~2018学年度第一学期期中考试 数学参考答案 1.{1} 2.(1,2)∪(2,+∞) 3.充分不必要 4.1 5. 6.4 7. 8.(-2,0)∪(1,2) 9.- 10.(1,2] 11. 12.+1 13. 14. 15. (1)因为f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为, 所以f(x)的周期为, 所以=且a>0, 所以a=2, 此时f(x)=-sin++b. 因为f(x)的图象与x轴相切, 所以=且b>0, 所以b=-. (2)由 (1)可得f(x)=-sin(4x+)+. 因为x∈,所以4x+∈, 所以当4x+=,即x=时,f(x)有最大值为; 当4x+=,即x=时,f(x)有最小值为0. 16. (1)由题意得b+c=ma,a2-4bc=0. 当a=2,m=时,b+c=,bc=1, 解得或 (2)cosA====2m2-3. 因为A为锐角,所以cosA=2m2-3∈(0,1), 所以 又由b+c=ma可得m>0, 所以 17.解: (1)因为Sn+1=3Sn+1(n∈N*), 所以Sn=3Sn-1+1(n∈N*,n≥2), 所以an+1=3an(n∈N*,n≥2). 又当n=1时,由S2=3S1+1得a2=3符合a2=3a1, 所以an+1=3an(n∈N*), 所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列, 所以an=3n-1(n∈N*). (2)因为bn+1-bn==3(n∈N*), 所以{bn}是以3为首项,3为公差的等差数列, 所以bn=3+3(n-1)=3n(n∈N*), 所以λan+bn≤n2,即λ≤对n∈N*有解. 设f(n)=(n∈N*). 因为f(n+1)-f(n)=-=, 所以当n≥4时,f(n+1) 所以f (1) (2) 所以f(n)max=f(4)=, 所以λ≤. 18. (1)当0≤x<1时,过点A作AK⊥CD,垂足K,如图1,则AK=1,DK==,HM=1-x. 由==2,得DH==, 所以HG=3-2DH=2+x, 所以S(x)=HM·HG=(1-x)(2+x)=-x2-x+2; 当1 所以MN=2, 所以S(x)=MN·ET=2·(x-1). 综上所述, S(x)= 图1 图2 (2)当0≤x<1时,S(x)=-x2-x+2=-+在[0,1)上单调递减, 所以S(x)max=S(0)=2; 当1 S(x)=2(x-1)≤2×=, 当且仅当x-1=,即x=+1∈时取等号, 所以S(x)max=,此时S(x)max=>2, 所以S(x)的最大值为. 答: 当MN与AB之间的距离为米时,通风窗的通风面积S取得最大值. 19. (1)设切点坐标为(x0,lnx0),则切线方程为y-lnx0=(x-x0), 将点P(0,-1)代入上式,得lnx0=0,即x0=1, 所以切线方程为y=x-1. (2)当m=0时,F(x)=lnx-x2+x,x∈(0,+∞), 所以F′(x)=-,x∈(0,+∞), 所以当0 所以F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
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