数学物理方法综合试题与答案.docx
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数学物理方法综合试题与答案
复变函数与积分变换综合试题
(一)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号
内。
错选、多选或未选均无分。
1.设zcosi,则()
A.Imz0B.RezC.z0D.argz
2.复数3(cos,sin)
zi的三角表示式为()
55
A.3(cos4,sin4)
iB.
55
D.3(cos4,sin4)
-i
55
44
3(cos,isin)
-C.
55
44
3(cos,isin)
55
dz
3.设C为正向圆周|z|=1,则积分
等于()
c|z|
A.0B.2πiC.2πD.-2π
4.设函数
z
fzed,则fz等于()
0
zezezeze
zzzz
A.ze1B.ze1C.ze1D.ze1
解答:
5.z1是函数
cot
z
(z1)
4
的()
A.3阶极点B.4阶极点C.5阶极点D.6阶极点
6.下列映射中,把角形域0arg
z保角映射成单位圆内部|w|<1的为()
4
A.w
4
z
4
z
1
1
B.
w
4
z
4
z
-1
1
C.
w
4
zi
4
zi
D.
w
4
zi
4
zi
7.线性变换izzi[eiza]
()ziziza
A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Imω>0
B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1
C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Imω>0
D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1
x
8.若fzu(x,y)iv(x,y)在Z平面上解析,(,)(cossin)
vxyeyyxy,则ux(y,)=
()
yxA.(cossin)
eyyxy)B.e(xcosyxsiny)
xx
C.e(ycosyysiny)D.(cossin)
exyyy
v
x
xx
e(ycosyxsiny)esiny
v
y
x
e(cosyysinyxcosy)
wuvvv
ii
zxxyx
x
ecosyysinyxcosyiycosyixsinyisiny
x
ecosyisinyxcosyixsinyiycosyysiny
xiyiyiyeexeiye
z
e(1z)
z
zzzz
zeeze1ze
zxiyx
wzexiyeexiycosyisiny
x
excosyysinyixsinyycosyuiv
x
uexcosyysiny
9.
fz
1
(z2)(z1)
在0z21的罗朗展开式是()
A.
1
nzn
n
z
n
(1)B.(z2)D.
C.
(z2)
n0n0n0n
0
nn
(1)(z2)
1
10.
3
0
2
zcoszdz=()
A.
1
2
sin9B.
1
2
cos9C.cos9D.sin9
二、填空题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.方程Ln
zi的解为_________________________。
3
12.幂极数
n1
n!
n
z
n
n
的收敛半径为________________________。
13.设
100
z(1i),则Imz=______________________。
14.设C为正向圆周|z|=1,则
(1)
zdz
c
z
=___________________________。
15.设C为正向圆周2,
sin
3
f(z)d
c
-z
,其中z2,则
f'
(1)=___________________。
16.函数
fz
111
[1]
5
zz1(z1)
在点z=0处的留数为__________________。
三、计算题(本大题共8小题,共52分)
17.计算积分
z
e
Idz
22
c
(z-i)(z3i)
的值,其中C为正向圆周|z-1|=3。
18.函数
n1
f(z)(z1)(n为正整数)在何处求导?
并求其导数
19.求
22-2
uxxyy的共轭调和函数v(x,y),并使v(0,0)=1.
20.计算积分
zz
Idz
的值,其中C为正向圆周|z|=2.
cz
||
21.试求函数f(z)=
z
2
-
ed在点z=0处的泰勒级数,并指出其收敛区域.
0
22.求出
1
z
z
f(z)e在所有孤立奇点处的留数.
23.求级数
n1
n1n
(1)nz
的和函数.
24.函数
336
6sinzz(z6)在z0点为零,用级数展开法指出该零点的级.
四、综合题(下列3个小题中,第25题必做,第26、27题中只选做一题。
每小题8分,共
16分)
25.利用留数求积分
cosx
I=dx的值
42
0xx
109
26.设Z平面上的区域为D:
|zi|2,|z-i|2,试求下列保角映射
(1)w1f1(z)把D映射成W
1平面上的角形域
3
D:
<argw;
11
44
(2)w1f2(w1)把D1映射成W2平面上的第一象限
D2:
0<argw2;
2
(3)wf3(w2)把D
2映射成W平面的上半平面:
Imw>0;
(4)wf(z)把D映射成G。
y''2y'y1
27.利用拉氏变换解常微分方程初值问题:
y(0)0,y'(0)1
综合试题
(一)答案
一、1.A2.C3.A4.D5.C6.C7.B8.D9.D10.A
1
二、11.(1i3),
z或
2
i
3
e12.e13.0
3
14.4πi15.i,
3
或
2icos16.6
33
三、
17.解:
因在C内
z
e
f(z)有二阶级点z=I,所以
22
(z-i)(z3i)
zz2ide2e
2
f(z)dzlim(z-i)f(z)2ilim-(-12i)
23
czizi
1!
dz(z3i)(z3i)16
18.解:
因为n为正整数,所以f(z)在整个z平面上可导.
n1
fznz.
()
(1)
uu
19.解1:
2x-2y
2x2y,,
xy
由C-R条件,有
v
y
x
x
v
x
-
u
y
,
v
v
x
dy
(2x
2y)dy
2xy
y
2。
再由
(x)
u
x
2y'(x)-2x2y-
u
y
,
2
得'(x)-2x,于是(x)-xC
,
v2xy
2
y
-
x
2
C
。
由v(0,0)1,得C=1。
22
故v2xyy-x1
(x,v
y)v
解2:
dyC
v(xy)dx
(0,0)
xy
(x,y)
(0,0)
(2y-2x)dx(2x2y)dyC
22
-x2xyyC
以下同解1。
20.解1:
zz1
dz2Rezdz2cos2i(cosisin)d
cc-
|z|2
4i(1cos2)d4i
。
0
解2:
c
-ii
zz2e2e
2
i
dz2ied
|z||z|22
0
=。
2i(20)4i
21.解:
因为
2nn
(-z)(-1)
2
-z2n
f'(z)ez(|z)
|,(2分)
n!
n!
n0n0
所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质,得
n2n1
z(-1)z
|
f(z)f'()d(|z)
0n!
2n1
n0
1
z
22.解:
函数f(z)ez有孤立奇点0与,而且在0z内有如下Laurent展开
式:
11
z
z
ez
z
ee
(1z
1
2!
2
z
1
3!
3
z
)(1
1
z
1
2!
1
2
z
1
3!
1
3
z
)
(1
1
2!
1
2!
1
3!
1
3!
1
4!
)
1
z
故
1
z
cRes[e,0]
z
1
k0
1
k!
(k1)
z
s[e
1
z
]
k0
k!
1
(k
Re
1)
23.解:
C1n1
n
limlim1
Cn
nn
n
故收敛半径R=1,由逐项积分性质,有:
z
0
nn-1nn
(1)nzdz
(1)z
n1n1
1
z
z
所以
n1
z1
nn-1
(1)nz(),z1
2
1z(1z)
于是有:
zn1nnn1
(1)nzz
(1)nzz1
2n1n1
(1z)
24.
解:
336393
f(z)6sinzz(z6)6sinzz6z
11
391593
6(zzz)z6z
3!
5!
故z=0为f(z)的15级零点
四、
25.解:
在上半平面内,
f(z)
(z
2
iz
e
1))(z
2
9)
有一阶极点z=i和z=3i。
ix
1cosx1e
Re
Idx
2222
2(x1)(x9)dx2(x1)(x9)
--
1
2
Re2iRefsz(i),i2fRez,si(),3
1
Refs(zi),,
16ei
Resf(z),3i-
1
3,
48ei
2
。
I(3e-1)
3
48e
zi2
26.解:
(1)由解得交点z1+1,z2=-1。
z-i2
设
w
1
z
z
1
1
,则它把D映射成W1平面上的
43
D:
argw
11
4
(2)设
-i
24
wew,则它把D
1映射成
1
W2平面上的第一象限
D2:
0argw2。
2
(3)设
2
ww,则它把D2映射成W平面的上半平面G:
Imw>0。
2映射成W平面的上半平面G:
Imw>0。
2
(4)
-iz-1
z-1
22
4
w(e)=-i()。
z1z1
(Z)
z1
w
1
z1
i
-10
10
-i
(W1)
4
(W)(W)
27.设F(p)Lyt,对方程两边取拉氏变换,有
21
pFp12PfpFp
p
,
从中解得
F(p)
1p11
2
p(p1)p(p1)
再求拉氏逆变换,得
-111
ytL
pp
1
t
=1-e
或利用卷积定理得到
-1
1
y(t-)*
p
1
-=-1*e
1
p-1
t
t
=1-e
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