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任意角
1.1.1任意角
学习目标
1.了解角的概念.
2.掌握正角、负角和零角的概念,理解任意角的意义.
3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念,会用集合符号表示这些角.
知识点一、角的相关概念
(1)角的概念:
角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点,射线OA,OB分别是角α的始边和终边.
(2)按照角的旋转方向,分为如下三类:
类型
定义
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角
知识点二、象限角
在平面直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.
象限角:
终边在第几象限就是第几象限角;
轴线角:
终边落在坐标轴上的角.
知识点三、终边相同的角
终边相同角的表示:
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
类型一、任意角概念的理解
例1
(1)给出下列说法:
①锐角都是第一象限角;②第一象限角一定不是负角;③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)
(2)将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是________.
跟踪训练1写出下列说法所表示的角.
(1)顺时针拧螺丝2圈;
(2)将时钟拨慢2小时30分,分针转过的角.
类型二、象限角的判定
例2
(1)已知下列各角:
①-120°;②-240°;③180°;④495°.其中是第二象限角的是()
A.①②B.①③C.②③D.②④
(2)已知α为第三象限角,则
是第几象限角?
跟踪训练2在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.
(1)-150°;
(2)650°;(3)-950°15′.
类型三、终边相同的角
命题角度1求与已知角终边相同的角
例3在与角10030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;
(2)最小的正角;
(3)[360°,720°)的角.
跟踪训练3写出与α=-1910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.
命题角度2求终边在给定直线上的角的集合
例4写出终边在直线y=-
x上的角的集合.
跟踪训练4写出终边在直线y=
x上的角的集合.
1.下列说法正确的是()
A.终边相同的角一定相等B.钝角一定是第二象限角
C.第四象限角一定是负角D.小于90°的角都是锐角
2.与-457°角终边相同的角的集合是()
A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}
3.2019°是()
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
4.已知α=30°,将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________.
5.如图所示.
(1)写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.
2.关于终边相同的角的认识
一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
注意:
(1)α为任意角;
(2)k·360°与α之间是“+”号,k·360°-α可理解为k·360°+(-α);
(3)相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍;
(4)k∈Z这一条件不能少.
1.1.1任意角
一、选择题
1.下列命题正确的是()
A.终边在x轴非正半轴上的角是零角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β终边相同
2.下列各角中,与60°角终边相同的角是()
A.-300°B.-60°
C.600°D.1380°
3.把-1485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是()
A.315°-5×360°B.45°-4×360°
C.-315°-4×360°D.-45°-10×180°
4.已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则A,B,C关系正确的是()
A.B=A∩CB.B∪C=C
C.ACD.A=B=C
5.若α是第四象限角,则180°-α是()
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
6.时针走过了2小时40分,则分针转过的角度是()
A.80°B.-80°
C.960°D.-960°
7.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为()
A.α+β=k·360°,k∈ZB.α+β=k·360°+180°,k∈Z
C.α-β=k·360°+180°,k∈ZD.α-β=k·360°,k∈Z
8.设集合A={α|α=45°+k·180°,k∈Z}∪{α|α=135°+k·180°,k∈Z},集合B={β|β=45°+k·90°,k∈Z},则()
A.A∩B=∅B.AB
C.BAD.A=B
二、填空题
9.已知角α=-3000°,则与α终边相同的最小正角是________.
10.若α=k·360°+45°,k∈Z,则
是第________象限角.
11.如图,终边落在OA的位置上的角的集合是________________;终边落在OB的位置上,且在-360°~360°内的角的集合是________;终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是____________________.
12.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B=________________.
13.已知角β的终边在直线
x-y=0上.则角β的集合S为__________.
14.若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边与终边,则角α=________.
三、解答题
15.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14s时回到A点,并且在第2s时均位于第二象限,求α,β的值.
1.1.1任意角解析
知识点一 角的相关概念
思考1 用旋转方式定义角时,角的构成要素有哪些?
答案 角的构成要素有始边、顶点、终边.
思考2 将射线OA绕着点O旋转到OB位置,有几种旋转方向?
答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向.
梳理
(1)角的概念:
角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点,射线OA,OB分别是角α的始边和终边.
(2)按照角的旋转方向,分为如下三类:
类型
定义
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角
知识点二 象限角
思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,旋转该角,则其终边(除端点外)可能落在什么位置?
答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.
梳理 在平面直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.
象限角:
终边在第几象限就是第几象限角;
轴线角:
终边落在坐标轴上的角.
知识点三 终边相同的角
思考1 假设60°的终边是OB,那么-660°,420°的终边与60°的终边有什么关系,它们与60°分别相差多少?
答案 它们的终边相同.-660°=60°-2×360°,420°=60°+360°,故它们与60°分别相差了-2个周角及1个周角.
思考2 如何表示与60°终边相同的角?
答案 60°+k·360°(k∈Z).
梳理 终边相同角的表示:
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
1.经过1小时,时针转过30°.( × )
提示 因为是顺时针旋转,所以时针转过-30°.
2.终边与始边重合的角是零角.( × )
提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
3.小于90°的角是锐角.( × )
提示 锐角是指大于0°且小于90°的角.
4.钝角是第二象限角.( √ )
5.第二象限角是钝角.( × )
提示 第二象限角不一定是钝角.
类型一 任意角概念的理解
例1
(1)给出下列说法:
①锐角都是第一象限角;
②第一象限角一定不是负角;
③小于180°的角是钝角或直角或锐角.
其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)
(2)将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是________.
考点 任意角的概念
题点 任意角的概念
答案
(1)①
(2)-120°
解析
(1)锐角指大于0°小于90°的角,都是第一象限角,所以①对;由任意角的概念知,第一象限角也可为负角,小于180°的角还有负角、零角,所以②③错误.
(2)分针每分钟转6°,由于顺时针旋转,所以20分钟转了-120°.
反思与感悟 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°~90°角、象限角等概念.角的概念推广后,确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.
跟踪训练1 写出下列说法所表示的角.
(1)顺时针拧螺丝2圈;
(2)将时钟拨慢2小时30分,分针转过的角.
考点 任意角的概念
题点 任意角的概念
解
(1)顺时针拧螺丝2圈,螺丝顺时针旋转了2周,因此所表示的角为-720°.
(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转,因此将时钟拨慢2小时30分,分针转过的角为900°.
类型二 象限角的判定
例2
(1)已知下列各角:
①-120°;②-240°;③180°;④495°.其中是第二象限角的是( )
A.①②B.①③C.②③D.②④
考点 象限角、轴线角
题点 象限角
答案 D
解析 -120°为第三象限角,①错;-240°=-360°+120°,∵120°为第二象限角,∴-240°也为第二象限角,故②对;180°为轴线角;495°=360°+135°,∵135°为第二象限角,∴495°为第二象限角,故④对.故选D.
(2)已知α为第三象限角,则
是第几象限角?
考点 象限角、轴线角
题点 象限角
解 因为α为第三象限角,
所以k·360°+180°<α 所以k·180°+90°< 当k为偶数时,记k=2n,n∈Z, n·360°+90°< 所以 终边在第二象限, 当k为奇数时,记k=2n+1,n∈Z, n·360°+270°< 所以 终边在第四象限. 综上可知, 是第二象限角或第四象限角. 反思与感悟 (1)判断象限角的步骤 ①当0°≤α<360°时,直接写出结果; ②当α<0°或α≥360°时,将α化为k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°),转化为判断角β所属的象限. (2)一般地,要确定 所在的象限,可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线,它们与坐标轴把周角分成4n个区域,从x轴的非负半轴起,按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4,…,4n,标号为几的区域,就是根据α所在第几象限时, 的终边所落在的区域,如此, 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出. 跟踪训练2 在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角. (1)-150°; (2)650°;(3)-950°15′. 考点 象限角、轴线角 题点 象限角 解 (1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°~360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角. (2)因为650°=360°+290°,所以在0°~360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角. (3)因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°~360°范围内,与-950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角. 类型三 终边相同的角 命题角度1 求与已知角终边相同的角 例3 在与角10030°终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最大的负角; (2)最小的正角; (3)[360°,720°)的角. 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角 解 与10030°终边相同的角的一般形式为β=k·360°+10030°(k∈Z), (1)由-360°<k·360°+10030°<0°,得-10390°<k·360°<-10030°,解得k=-28,故所求的最大负角为β=-50°. (2)由0°<k·360°+10030°<360°,得-10030°<k·360°<-9670°,解得k=-27,故所求的最小正角为β=310°. (3)由360°≤k·360°+10030°<720°,得-9670°≤k·360°<-9310°,解得k=-26,故所求的角为β=670°. 反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值. 跟踪训练3 写出与α=-1910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来. 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角 解 由终边相同的角的表示知,与角α=-1910°终边相同的角的集合为{β|β=k·360°-1910°,k∈Z}. ∵-720°≤β<360°, 即-720°≤k·360°-1910°<360°(k∈Z), ∴3 ≤k<6 (k∈Z),故取k=4,5,6. 当k=4时,β=4×360°-1910°=-470°; 当k=5时,β=5×360°-1910°=-110°; 当k=6时,β=6×360°-1910°=250°. 命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y=- x上的角的集合. 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角 解 终边在y=- x(x<0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k·360°,k∈Z}; 终边在y=- x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k·360°,k∈Z}. 因此,终边在直线y=- x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=300°+k·360°,k∈Z}, 即S={α|α=120°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=120°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=120°+n·180°,n∈Z}. 故终边在直线y=- x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°,n∈Z}. 反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合,常用分类讨论的思想,即分x≥0和x<0两种情况讨论,最后再进行合并. 跟踪训练4 写出终边在直线y= x上的角的集合. 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角 解 终边在y= x(x≥0)上的角的集合是S1={α|α=30°+k·360°,k∈Z}; 终边在y= x(x<0)上的角的集合是S2={α|α=210°+k·360°,k∈Z}. 因此,终边在直线y= x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=30°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=210°+k·360°,k∈Z}, 即S={α|α=30°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=30°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=30°+n·180°,n∈Z}. 故终边在直线y= x上的角的集合是S={α|α=30°+n·180°,n∈Z}. 1.下列说法正确的是( ) A.终边相同的角一定相等 B.钝角一定是第二象限角 C.第四象限角一定是负角 D.小于90°的角都是锐角 考点 终边相同的角 题点 任意角的综合应用 答案 B 2.与-457°角终边相同的角的集合是( ) A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z} B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z} C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z} D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z} 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角 答案 C 解析 -457°=-2×360°+263°,故选C. 3.2018°是( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 考点 象限角、轴线角 题点 象限角 答案 C 解析 2018°=5×360°+218°,故2018°是第三象限角. 4.已知α=30°,将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________. 考点 任意角的概念 题点 任意角的概念 答案 1110° 解析 3×360°+30°=1110°. 5.如图所示. (1)写出终边落在射线OA,OB上的角的集合; (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角 解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}. 终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}. (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}. 1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”. 2.关于终边相同的角的认识 一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 注意: (1)α为任意角; (2)k·360°与α之间是“+”号,k·360°-α可理解为k·360°+(-α); (3)相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍; (4)k∈Z这一条件不能少. 1.1.1任意角作业练习解析 一、选择题 1.(2017·甘肃兰州一中期末)下列命题正确的是( ) A.终边在x轴非正半轴上的角是零角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β终边相同 考点 终边相同的角 题点 任意角的综合应用 答案 D 解析 终边在x轴非正半轴上的角为k·360°+180°,k∈Z,零角为0°,所以A错误;480°角为第二象限角,但不是钝角,所以B错误;285°角为第四象限角,但不是负角,所以C错误,故选D. 2.(2017·济宁高一检测)下列各角中,与60°角终边相同的角是( ) A.-300°B.-60° C.600°D.1380° 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角 答案 A 解析 与60°角终边相同的角α=k·360°+60°,k∈Z, 令k=-1,则α=-300°. 3.把-1485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是( ) A.315°-5×360°B.45°-4×360° C.-315°-4×360°D.-45°-10×180° 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角 答案 A 解析 可以估算-1485°介于-5×360°与-4×360°之间.∵0°≤α<360°,∴k=-5,则α=315°. 4.(2017·河北邯郸一中月考)已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则A,B,C关系正确的是( ) A.B=A∩CB.B∪C=C C.ACD.A=B=C 考点 象限角、轴线角 题点 象限角 答案 B 解析 由题意得B(A∩C),故A错误;BC,所以B∪C=C,故B正确;A与C互不包含,故C错误;由以上分析可知D错误. 5.若α是第四象限角,则180°-α是( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 考点 象限角、轴线角 题点 象限角 答案 C 解析 可以给α赋一特殊值-60°, 则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角. 6.时针走过了2小时40分,则分针转过的角度是( ) A.80°B.-80° C.960°D.-960° 考点 任意角的概念 题点 任意角的概念 答案 D 解析 分针转过的角是负角,且分针每转一周是-360°,故共转了-360°× =-960°. 7.(2017·临沂高一检测)角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为( ) A.α+β=k·360°,k∈Z B.α+β=k·360°+180°,k∈Z C.α-β=k·360°+180°,k∈Z D.α-β=k·360°,k∈Z 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角 答案 B 解析 方法一 (特殊值法)令α=30°,β=150°, 则α+β=180°. 方法二 (直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=180°-α+k·360°,k∈Z,即α+β=k·360°+180°,k∈Z. 8.设集合A={α|α=45°+k·180°,k∈Z}∪{α|α=135°+k·180°,k∈Z},集合B={β|β=45°+k·90°,k∈Z},则( ) A.A∩B=∅B.AB C.BAD.A=B 考点 终边相同的角 题点 任意角的综合应用 答案 D 解析 对于集合A, α=45°+k·180°=45°+2k·90° 或α=135°+k·180°=45°+90°+2k·90° =45°+(2k+1)·90°. ∵k∈Z, ∴2k表示所有的偶数,2k+1表示所有的奇数, ∴集合A={α|α=45°+n·90°,n∈Z}, 又集合B={β|β=45°+k·90°,k∈Z}, ∴A=B.故选D. 二、填空题 9.已知角α=-3000°,则与α终边相同的最小正角是________. 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角 答案 240° 解析 与α=-3000°终边相同的角的集合为{θ|θ=-3000°+k·360°,k∈Z}, 令-3000°+k·360°>0°,解得k> , 故当k=9时,θ=240°满足条件. 10.若α=k·360°+45°,k∈Z,则 是第________象
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