中考数学压轴题考点训练创新型与新定义综合问题试题及答案解析.docx
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中考数学压轴题考点训练创新型与新定义综合问题试题及答案解析
【考点1】几何综合探究类阅读理解问题
【例1】(2019·甘肃天水)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)概念理解:
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?
请说明理由;
(2)性质探究:
如图1,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD.试证明:
AB2+CD2=AD2+BC2;
(3)解决问题:
如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连结CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.
73
【答案】
(1)四边形ABCD是垂美四边形.理由见解析.
(2)见解析.(3)GE=.
【解析】
(1)四边形ABCD是垂美四边形.理由如下:
∵AB=AD,∴点A在线段BD的垂直平分线上,
∵CB=CD,∴点C在线段BD的垂直平分线上,
∴直线AC是线段BD的垂直平分线,
∴AC⊥BD,即四边形ABCD是垂美四边形;
(2)如图1,
∵AC⊥BD,∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,
由勾股定理得,AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2,
∴AD2+BC2=AB2+CD2;
(3)连接CG、BE,
∵∠CAG=∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,
⎧AG=AC
⎨
在△GAB和△CAE中,⎪∠GAB=∠CAE,
⎩
⎪AB=AE
∴△GAB≌△CAE(SAS),
∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90°,
∴∠ABG+∠AME=90°,即CE⊥BG,
∴四边形CGEB是垂美四边形,由
(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,
∵AC=4,AB=5,∴BC=3,CG=4
73
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73,∴GE=
,BE=5,
2
2
.
【名师点睛】
(1)根据垂直平分线的判定定理证明即可;
(2)根据垂直的定义和勾股定理解
答即可;
(3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合
(2)的结论计算.本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用,正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键.
【变式1-1】(2019·甘肃白银)阅读下面的例题及点拨,并解决问题:
例题:
如图①,在等边△ABC中,M是BC边上一点(不含端点B,C),N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点,且AM=MN.求证:
∠AMN=60°.
点拨:
如图②,作∠CBE=60°,BE与NC的延长线相交于点E,得等边△BEC,连接EM.易证:
△ABM≌△EBM(SAS),可得AM=EM,∠1=∠2;又AM=MN,则EM=MN,可得∠
3=∠4;由∠3+∠1=∠4+∠5=60°,进一步可得∠1=∠2=∠5,又因为∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°,即:
∠AMN=60°.
问题:
如图③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1边上一点(不含端点B1,C1),N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,且A1M1=M1N1.求证:
∠A1M1N1=90°.
【答案】见解析.
【解析】延长A1B1至E,使EB1=A1B1,连接EM1、EC1,如图所示:
则EB1=B1C1,∠EB1M1=90°=∠A1B1M1,
∴△EB1C1是等腰直角三角形,
∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°,
∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,
∴∠M1C1N1=90°+45°=135°,
∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°,
∴E、C1、N1三点共线,
⎧A1B1=EB1
在△ABM和△EBM中,⎪∠ABM=∠EBM,
111
11⎨11111
⎪BM=BM
⎩1111
∴△A1B1M1≌△EB1M1(SAS),
∴A1M1=EM1,∠1=∠2,
∵A1M1=M1N1,∴EM1=M1N1,∴∠3=∠4,
∵∠2+∠3=45°,∠4+∠5=45°,∴∠1=∠2=∠5,
∵∠1+∠6=90°,∴∠5+∠6=90°,
∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°.
【名师点睛】此题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识;本题综合性
强,熟练掌握正方形的性质,通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键.
【变式1-2】(2019·湖北咸宁)定义:
有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.理解:
(1)如图1,点A,B,C在⊙O上,∠ABC的平分线交⊙O于点D,连接AD,CD.求证:
四边形ABCD是等补四边形;
探究:
(2)如图2,在等补四边形ABCD中,AB=AD,连接AC,AC是否平分∠BCD?
请说明理由.
运用:
(3)如图3,在等补四边形ABCD中,AB=AD,其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F,CD=10,AF=5,求DF的长.
【解析】
(1)如图1,∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠A+∠C=180°,∠ABC+∠ADC=180°,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴AD=CD,∴AD=CD,
∴四边形ABCD是等补四边形;
(2)AD平分∠BCD,理由如下:
如图2,过点A分别作AE⊥BC于点E,AF垂直CD的延长线于点F,
则∠AEB=∠AFD=90°,
∵四边形ABCD是等补四边形,∴∠B+∠ADC=180°,又∠ADC+∠ADF=180°,∴∠B=∠ADF,
∵AB=AD,∴△ABE≌△ADF(AAS),∴AE=AF,
∴AC是∠BCF的平分线,即AC平分∠BCD;
(3)如图3,连接AC,
∵四边形ABCD是等补四边形,∴∠BAD+∠BCD=180°,又∠BAD+∠EAD=180°,∴∠EAD=∠BCD,
∵AF平分∠EAD,∴∠FAD=1∠EAD,
2
由
(2)知,AC平分∠BCD,
∴∠FCA=1∠BCD,∴∠FCA=∠FAD,
2
又∠AFC=∠DFA,∴△ACF∽△DAF,
∴AF
=CF,即5
=DF+10,∴DF=5
2
﹣5.
DFAFDF5
【名师点睛】本题考查了新定义等补四边形,圆的有关性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的判定,相似三角形的判定与性质等,解题关键是要能够通过自主学习来进行探究,运用等.
【考点2】代数类新定义及阅读理解型问题
【例2】(2019•自贡)阅读下列材料:
小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值,采用以下方法:
设S=1+2+22+…+22017+22018①,则2S=2+22+…+22018+22019②,
②–①得2S–S=S=22019–1,
∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1.
请仿照小明的方法解决以下问题:
(1)1+2+22+…+29=;
(2)3+32+…+310=;
(3)求1+a+a2+…+an的和(a>0,n是正整数),请写出计算过程.
11n+1
【答案】
(1)210–1;
(2)3-1;(3)a=1时,S=n+1;a≠1时,S=a-1.
2a-1
【解析】
(1)设S=1+2+22+…+29①,
则2S=2+22+…+210②,
②–①得2S–S=S=210–1,
∴S=1+2+22+…+29=210–1;
故答案为:
210–1;
(2)设S=3+3+32+33+34+…+310①,则3S=32+33+34+35+…+311②,
②–①得2S=311–1,
11
所以S=3-1,
2
11
即3+32+33+34+…+310=3-1;
2
11
故答案为:
3-1;
2
(3)设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①,则aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②,
②–①得:
(a–1)S=an+1–1,
a=1时,不能直接除以a–1,此时原式等于n+1;
n+1
a≠1时,a–1才能做分母,所以S=a-1,
a-1
即1+a+a2+a3+a4+…+an=an+1-1.
a-1
【名师点睛】根据题目给出的信息,提炼解题方法.认真观察、仔细思考,善用联想,利用类比的方法是解决这类问题的方法.
【变式2-1】(2019•随州)若一个两位数十位、个位上的数字分别为m,n,我们可将这个两位数记为mn,易知mn=10m+n;同理,一个三位数、四位数等均可以用此记法,如abc=100a+10b+c.
【基础训练】
(1)解方程填空:
①若2x+x3=45,则x=;
②若7y–y8=26,则y=;
③若t93+5t8=13t1,则t=;
【能力提升】
(2)交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字,可得到一个新数nm,则mn+nm一定能被整除,mn–nm一定能被整除,mn•nm–mn一定能被
整除;(请从大于5的整数中选择合适的数填空)
【探索发现】
(3)北京时间2019年4月10日21时,人类拍摄的首张黑洞照片问世,黑洞是一种引力极大的天体,连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象:
任选一个三位数,要求个、十、百位的数字各不相同,把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325,则用
532–235=297),再将这个新数按上述方式重新排列,再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为;
②设任选的三位数为abc(不妨设a>b>c),试说明其均可产生该黑洞数.
【答案】
(1)①2.②4.③7.
(2)11;9;10.
【解析】
(1)①∵mn=10m+n,
∴若2x+x3=45,则10×2+x+10x+3=45,
∴x=2,
故答案为:
2.
②若7y–y8=26,则10×7+y–(10y+8)=26,解得y=4,
故答案为:
4.
③由abc=100a+10b+c,及四位数的类似公式得
若t93+5t8=13t1,则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1,
∴100t=700,
∴t=7,
故答案为:
7.
(2)∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11(m+n),
∴则mn+nm一定能被11整除,
∵mn–nm=10m+n–(10n+m)=9m–9n=9(m–n),
∴mn–nm一定能被9整除.
∵mn•nm–mn=(10m+n)(10n+m)–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10
(10mn+m2+n2)
∴mn•nm–mn一定能被10整除.故答案为:
11;9;10.
(3)①若选的数为325,则用532–235=297,以下按照上述规则继续计算,972–279=693,
963–369=594,
954–459=495,
954–459=495,…
故答案为:
495.
②当任选的三位数为abc时,第一次运算后得:
100a+10b+c–(100c+10b+a)=99(a–c),结果为99的倍数,由于a>b>c,故a≥b+1≥c+2,
∴a–c≥2,又9≥a>c≥0,
∴a–c≤9,
∴a–c=2,3,4,5,6,7,8,9,
∴第一次运算后可能得到:
198,297,396,495,594,693,792,891,再让这些数字经过运算,分别可以得到:
981–189=792,972–279=693,963–369=594,954–459–495,954–459=495…,
故都可以得到该黑洞数495.
【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题,题目设置的问题较多,但解答方法大同小异,总体中等难度略大.
【变式2-2】(2019•济宁)阅读下面的材料:
如果函数y=f(x)满足:
对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,
(1)若x1 (2)若x1 证明函数f(x)=6(x>0)是减函数. x 证明: 设0 12 f(x)–f(x)=6-6 =6x2-6x1=6(x2-x1). x1x2x1x2x1x2 ∵0 12 ∴6(x2-x1)>0.即f(x)–f(x)>0. x1x2 ∴f(x1)>f(x2),∴函数f(x)═6(x>0)是减函数. x 根据以上材料,解答下面的问题: 已知函数f(x)=1 x2 +x(x<0), f(–1)= 1(-1)2 +(–1)=0,f(–2)= 1(-2)2 +(–2)=–7. 4 (1)计算: f(–3)=,f(–4)=; (2)猜想: 函数f(x)=1 x2 +x(x<0)是 函数(填“增”或“减”); (3)请仿照例题证明你的猜想. 【答案】 (1)–26,–63; (2)增;(3)见解析. 9 【解析】 (1)∵f(x)= 16 1+x(x<0), x2 ∴f(–3)= 1(-3)2 –3=–26,f(–4)= 9 1(-4)2 –4=–63, 16 故答案为: –26,–63; 916 (2)∵–4<–3,f(–4)>f(–3), ∴函数f(x)=1 x2 +x(x<0)是增函数, 故答案为: 增; (3)设x1 ∵f(x)–f(x)=1 +x-1-x =(x–x)(1–x1+x2) 12x2 1x2212 x2x2 1212 1 ∵x1 ∴f(x1)–f(x2)<0,∴f(x1) ∴函数f(x)=1 x2 +x(x<0)是增函数. 【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用反比例函数的性质解答. 【考点3】函数类新定义综合型问题 【例3】(2019·江西)特例感知 (1)如图1,对于抛物线y1 =-x2-x+1,y =-x2-2x+1,y =-x2-3x+1,下列结论正确 3 2 的序号是; ①抛物线y1,y2,y3都经过点C(0,1); ②抛物线y,y的对称轴由抛物线y的对称轴依次向左平移1个单位得到; 2312 ③抛物线y1,y2,y3与直线y=1的交点中,相邻两点之间的距离相等.形成概念 (2)把满足yn=-x2-nx+1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用 在 (2)中,如图2. ①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1,P2,P3,…,Pn,用含n的代数式表示顶点Pn的坐标,并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式; ②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”: C1,C2,C3,…,Cn,其横坐标分别为: -k-1,-k-2,-k-3,…,-k-n(k为正整数),判断相邻两点之间的距离是否都相等,若相等,直接写出相邻两点之间的距离;若不相等,说明理由. ③在②中,直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点A1,A2,A3,…,An,连接CnAn,Cn-1An-1, 判断CnAn,Cn-1An-1是否平行? 并说明理由. 【答案】 (1)①②③ çn (2)①P⎛- ⎝ nn2 24 +1⎫,y=x2+1. ⎪ ⎭ 1+k2 ②相邻两点之间的距离相等,相邻两点距离为. ③不平行,直线CnAn的斜率(比例系数)为k+n,与n取值有关(若两直线平行,则斜率会相等). 【解析】 (1)①当x=0,y1=y2=y3=1,所以正确; ②y,y,y的对称轴分别是直线x=-1,x=-1,x=-3,所以正确; 123 12232 ③y1,y2,y3与y=1交点(除了点C)横坐标分别为–1,–2,–3,所以距离为1,都相等,正确. ⎛n⎫2n2+4 ⎛nn2+4⎫ ⎪ ç (2)①yn =-x2-nx+1=- x++ 24 ,所以顶点Pnç-2,4⎪, ⎝⎭⎝⎭ nn2+4 n2+4 ⎛n⎫2 令顶点Pn横坐标x=-,纵坐标y=,y==ç-⎪+1=x2+1, 24 n 即: P顶点满足关系式y=x2+1. ②相邻两点之间的距离相等. 4⎝2⎭ 理由: 根据题意得;Cn(-k-n,-k2-nk+1),Cn-1(-k-n+1,-k2-nk+k+1), ∴CnCn–1两点之间的铅直高度=-k2-nk+k+1-(-k2-nk+1)=k. CnCn–1两点之间的水平距离=-k-n+1-(-k-n)=1. ∴由勾股定理得CnCn–12=k2+1, k2+1 ∴CnCn–1=. ③CnAn与Cn-1An-1不平行.理由: 22 根据题意得: Cn(-k-n,-k-nk+1),Cn-1(-k-n+1,-k-nk+k+1), An(-n,1),An-1(-n+1,1). 过Cn,Cn–1分别作直线y=1的垂线,垂足为D,E, 所以D(–k–n,1),E(–k–n+1,1).在Rt△DAnCn中, CD1-(-k2-nk+1) k2+nk tan∠DAnCn=n===k+n, AnD-n-(-k-n)k 在Rt△EAn–1Cn–1中, CE1-(-k2-nk+k+1) k2+nk-k tan∠EAn–1Cn–1=n-1===k+n-1, An-1E-n+1-(-k-n+1)k ∵k+n-1≠k+n, ∴tan∠DAnCn≠tan∠EAn–1Cn–1, ∴CnAn与Cn-1An-1不平行. 【变式3-1】(2019•山东威海) (1)阅读理解 如图,点A,B在反比例函数y=1的图象上,连接AB,取线段AB的中点C.分别过点A, x C,B作x轴的垂线,垂足为E,F,G,CF交反比例函数y=1的图象于点D.点E,F,G的 x 横坐标分别为n﹣1,n,n+1(n>1). 小红通过观察反比例函数y=1的图象,并运用几何知识得出结论: x AE+BG=2CF,CF>DF, 由此得出一个关于1 n-1 ,1 n+1 ,2,之间数量关系的命题: n 若n>1,则. (2)证明命题 小东认为: 可以通过“若a﹣b≥0,则a≥b”的思路证明上述命题. 小晴认为: 可以通过“若a>0,b>0,且a÷b≥1,则a≥b”的思路证明上述命题.请你选择一种方法证明 (1)中的命题. 【解析】 (1)∵AE+BG=2CF,CF>DF,AE=1 n-1 ,BG=1 n+1 ,DF=1, n ∴1+1 >2.故答案为: 1 +1>2. n-1 n+1n n-1 n+1n (2)方法一: ∵1+1 ﹣2=n+n+n-n-2n+2=2, n-1 222 n+1n n(n-1)(n+1) n(n-1)(n+1) ∵n>1,∴n(n﹣1)(n+1)>0, ∴1+1 ﹣2>0,∴1 +1>2. n-1 n+1n n-1 n+1n 1+1 2 方法二: ∵n-1n+1= n n2n2-1 >1,∴1 n-1 +1 n+1 >2. n 【名师点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征,反比例函数的图象等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题. 【变式3-2】定义: 如图,若双曲线y=k(k>0)与它的其中一条对称轴y=x相交于两点A,B, x 则线段AB的长称为双曲线y=k(k>0)的对径. x (1)求双曲线y=1的对径; x (2)若某双曲线y=k(k>0)对径是102.求k的值; x (3)仿照上述定义,请你定义双曲线y=k(k<0)的对径. x 【答案】 (1)22; (2)25;(3)定义见解析. 【解析】 ⎧y=k ⎨ 试题分析: 过A点作AC⊥x轴于C, (1)解方程组⎪x,可得到A点坐标为(1,1),B点 ⎪⎩y=x 坐标为(-1,-1),即OC=AC=1,由勾股定理可求AB,于是得到双曲线y=1的对径; x (2)根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为102,即AB=102,OA=52,根 据OA=2OC=2AC,则OC=AC=5,得到点A坐标为(5,5),把A(5,5)代入双曲线 y=k x (k>0)即可得到k的值;(3)双曲线y=k x (k<0)的一条对称轴与双曲线有两个交点,根 据题目中的定义易得到双曲线y=k(k<0)的对径. x 试题解析: 如图,过A点作AC⊥x轴于C, ⎧y=k ⎧x=1 ⎧x=-1 (1)解方程组⎪ x,得1,2 ,∴A点坐标为(1,1),B点坐标为(-1,-1). ⎨⎨y=1⎨y=-1 ⎪⎩y=x ⎩1⎩2 ∴OC=AC=1,∴OA=2OC=2.∴AB=2OA=22. ∴双曲线y=1的对径是22. x (2)∵双
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