归纳求矩阵的逆矩阵的方法.docx
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归纳求矩阵的逆矩阵的方法
总结求矩阵的逆矩阵的方法
课
程
名
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业
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摘要:
矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容,逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.
关键词:
矩阵逆矩阵方法
Methodoffindinginversematrix
Abstract:
Matrixinlinearalgebraisthemaincontent,manypricticalproblemswiththematrixtheoryissimpleandfast.Theinversematrixandmatrixtheorytheimportantcontent,
thesolutionofinversematrixnaturehasbecomeoneofthemainresearchcontentsoflinearalgebra.Thepaperwillgive
somemethodoffindinginversematrix.
Keywords:
Matrixinversematrixmethod
正文:
1.引言:
矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容,逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.
2.求矩阵的逆矩阵的方法总结:
2.1
矩阵的基本概念
矩阵,是由“w个数组成的一个比行列的矩形表格,通常用大写字母
…表示,组成矩阵的每一个数,均称为矩阵的元素,通常用小写字母其元素"-表示,其中下标都是正整数,他们表示该元素在矩
「%先…叮
乂_如如…%
■■■■■■BI■B
阵中的位置。
比如,」或表示一个^匸矩阵,
下标'表示元素'位于该矩阵的第;行、第」列。
元素全为零的矩阵称为零
矩阵。
从左上角到右下角的连线,称为主对角线;而从左下角到右上角的连线称为付对角线。
若一个H阶方阵的主对角线上的元素都是],而其余元素都是零,则称
0
C1
0
0r
[%
A=
知
血…
0
B~
0
■
血…
■•
■
%…
旦一於卞二存
0
)
角线上
方的元素都是零,
(下)
疋
则称为下(上)三角矩阵,例如,
阶上三角矩阵。
今后我们用表示数域B上的巳矩阵构成
的集合,用‘二厂」表示数域m上的"阶方阵构成的集合。
2.2求逆矩阵的方法:
1.利用定义求逆矩阵
定义:
设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB=BA=E,贝U称
A为可逆矩阵,而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.
例1求证:
如果方阵A满足Ak=0,那么EA是可逆矩阵,且
证明因为E与A可以交换,所以
因AK=0,于是得
(E-A)(E+A+A2+-+AK1)=E,
同理可得(E+A+A2+-+AK1)(E-A)=E,
因此E-A是可逆矩阵,且
同理可以证明(E+A)也可逆,且
(E+A)1=E-A+A2+…+(-1)K1AK1
由此可知,只要满足Ak=0,就可以利用此题求出一类矩阵EA的逆矩阵.
0100
则可
分析由于A中有许多元素为零,考虑Ak是否为零矩阵,若为零矩阵,
以采用例2的方法求E-A的逆矩阵.
解容易验证
0
0
2
0
0
0
0
6
20
0
0
6
30
0
0
04
a2=
a3=
A4=0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
而(E-A)(E+A+A2+A3)=E,所以
1
1
2
6
(E-A)1=E+A+A2+A3=0
1
2
6
0
0
1
3
0
0
0
1
2.初等变换法
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵,常用初等变换法•如果A可逆,则A可通
过初等变换,化为单位矩阵I,即存在初等矩阵R,P2,Ps使
(1)piP2PsA=l,用A1右乘上式两端,得:
1
(2)piP2Psl=A
比较
(1)
(2)两式,可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时,对
单位矩阵I作同样的初等变换,就化为A的逆矩阵A1.
用矩阵表示(A|)初等仃变换为(|a1),就是求逆矩阵的初等行变换法,
它是实际应用中比较简单的一种方法•需要注意的是,在作初等变换时只允许作行初等变换•同样,只用列初等变换也可以求逆矩阵
231
例1求矩阵A的逆矩阵•已知A=013
125
2
3
1
1
0
0
1
2
5
0
0
1
解[AI]
0
1
3
0
1
0
0
1
3
0
1
0
1
2
5
0
0
1
2
3
1
1
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0
1
2
5
0
0
1
0
1
3
0
1
0
0
0
1
1/6
1/6
1/3
1
0
0
1/6
13/6
4/3
0
1
0
1/2
3/2
1
0
0
1
1/6
1/6
1/3
1/6
13/6
4/3
故
A1=
1/2
3/2
1
1/6
1/6
1/3
在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下,也可以直接用此方法•如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0,则意味着A不可逆,因为此时表明A=0,则A1不存在.
123
例2求A=456.
因此A不可逆.
789
1
2
3
1
0
0
1
2
3
1
0
0
解[AE]=4
5
6
0
1
0
0
3
6
4
1
0
7
8
9
0
0
1
0
6
12
7
0
1
1
2
3
1
0
0
0
3
6
4
1
0
.
0
0
0
1
2
1
由于左端矩阵中有一行元素全为
0,于是它不可逆,
3.伴随阵法
定理n阶矩阵A=[aj]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
其中Aj是A中元素aj的代数余子式.
A3.
证明必要性:
设A可逆,由AA1=I,有AA1=|I,则AA1=|l|,所以
A0,即A为非奇异.
充分性:
设A为非奇异,存在矩阵
b=A
其中
A0...010..
_10A...0_01..
AA...1
00...A00..
同理可证BA=I.
用此方法求逆矩阵,对于小型矩阵,特别是二阶方阵求逆既方便、快阵,又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵,只需要将主对角线元素的位置互换,次对角线的元素变号即可
若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵,在求逆矩阵的过程中,需要求9个或9
个以上代数余子式,还要计算一个三阶或三阶以上行列式,工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确,一般要通过AA1=l来检验.一旦发现错误,必须对每一计算逐一排查.
4.分块矩阵求逆法
4.1.准对角形矩阵的求逆
命题设An、A22都是非奇异矩阵,且Aii为n阶方阵,A22为m阶方阵
ii
X=Aii,Y=0,Z=0,W=A22
2i_Aii0
A=
0代2i
把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去,即:
A
i
Aii
A2
=
A2
i
A
Aki
4.2.准三角形矩阵求逆
命题设Aii、A22都是非奇异矩阵,
则有
Aii
Ai2
i
=Aii
i
Aii
ii
Ai2A22
0
A22
0
A22i
AiAi2
证明因为:
?
2
I
i
AiiAi2
=Ai
0
0A22
0
I
0
A22
两边求逆得
IAi
iAi2
i
Aii
i
Ai2
An0
0
I
0
A22
0A22
所以
A11
0
1
A12
A22
I
0
11
AnA12An0
I
A11
0
0A221
1A1AA1AI1A12A22
A221
同理可证
A11
0
1
A111
0
A21
A22
11
A11A21A22
A22
此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵•是特殊方阵求逆的一种方法,并且在求逆矩阵之前,首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用•
5.恒等变形法
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义,此方法也常用与矩阵的理
论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来,题目中的逆矩阵可以不求,
虽然题目中出现了(4E-A)1.但是经过化简之后不再出现此式,因此得
D=4EA2=22500.
例2已知n阶矩阵A满足A2+2A-3E=0.求证:
A+4E可逆并求出A+4E的
证明把A2+2A-3E=0变形为A2+2A-8E=5E,即
(A+4E)(A-2E)=-5E,可得(A+4E)(-A/5+2E/5)=E,
所以存在一个矩阵B=-A/5+2E/5,使(A+4E)B=E,由定义得A+4E可逆,且(A+4E)1=B=-A/5+2E/5.
另外,有些计算命题中虽出现逆矩阵,但通过适当的矩阵运算可消去,因而
不必急于求出逆矩阵•
6•利用线性方程组求逆矩阵
若n阶矩阵A可逆,则AA1=E,于是A1的第i列是线性方程组AX=E的解,i=1,2,…,n,E是第i个分量是I的单位向量.因此,我们可以去解线性方程组AX=B,其中B=(bi,b2,…,bQT,然后把所求的解的公式中的bi,b2,…,bn分别用
Ei=(1,0,0,…,0),
E2=(0,1,0,…,0),
En=(0,0,0,…,1)
代替,便可以求得A1的第1,2,…n列,这种方法在某些时候可能比初等变换
法求逆矩阵稍微简一点•下面例子说明该方法的应用•
3
1
0
0
0
0
3
1
0
0
例求矩阵A=0
0
3
1
0的逆矩阵
0
0
0
3
1
0
0
0
0
3
解设乂=(X1,X2,X3,X4氐)T,B=(b1,b2,b3,b4,b5)T解方程组AX=B,
即:
3%x2b
3x2X3b2
3x3X4b3
3x4X5b4
3X5b5
Xi35(34d33b232b33b4b§)
X234(33b232ba3b4b§)
解得:
X333(32ba3b4b5)
x432(3b4b5)
X53b5
然后把B=(bi,b2,…,bn)列,分别用
已=(1,0,0,…,0),
E2=(0,1,0,…,0),
En=(0,0,0,…,1)
类问题的解决方法
3.结束语:
以上各种求逆方法只是我的一些粗浅的认识,也许有很多的不当之处,我希望我的这篇文章能给大家带来帮助,能帮助我们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问题.同时,它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识,认真掌握它,可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础•但我很希望各位老师和同学
给于指导.能使我的这篇文章更加完善和实用.
参考文献
[I]
.高等数学[M].北
北京大学数学系几何与代数教研室代数小组京:
高教出版社,2001.
[M]表示参考的是书
[J]表示参考的是杂志上的论文
分工情况
第一,三部分由
第二部分由
完成
完成
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