形形色色的数学黑洞电子教案.docx
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形形色色的数学黑洞电子教案
形形色色的数学黑洞
形形色色的数学黑洞
湖南新化县教师进修学校(417600)肖乐农
你听说过黑洞吗?
1939年,美国物理学家奥本海默和斯奈德设想,如果恒星的质量保持不变并不断地收缩下去,那么,恒星的密度就会越来越大,引力随距离的减少而迅速增大,直至大到任何物质都不能从中跑出去,甚至光都被牢牢吸住。
光都出不来了,人们看到的只能是一片“漆黑”,这就是黑洞。
黑洞有两个特征:
一是它里面的东西出不来;二是外面的东西一旦进入它的圈子,就被拉进去。
第二个特征将你吸引进去,第一个特征则使你陷入洞中无法逃脱。
在数学中,也存在着很多各式各样的黑洞。
下面,让我们一起来领略一下“数学黑洞”的风光吧!
1、西西弗斯串
在希腊神话中,科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上,但无论他怎样努力,这块石头总是在到达山顶之前不可避免地滚下来,于是他只得重新去推,永无休止。
在数学中同样的事情也可能发生。
开始时任意取一个数字串,中华人民共和国成立于1949年10月1日,我们就取1949101吧,数出这个数字串中的偶数个数、奇数个数及这个数的所有位数的总数。
1949101中有2个偶数,5个奇数,是7位数,用这3个数字组成下一个数字串257。
对257重复进行上面的程序,得到123。
对123再重复这个程序,得到的还是123。
这时,你会意识到,反复使用这个程序,一旦得到123就再也出不来了。
对于这个程序以及数字“宇宙”来说,数123就是一个数学黑洞。
每一个数最后都得到123吗?
我们用一个比较大的数试试看。
例如31415926535897932384626433832795028841,这是圆周率π序列中的前38个数字,它是一个质数。
这个数中的偶数、奇数、及数位个数分别为18、20和38,将这三个数合起来得到182038。
对182038重复这个程序得到426,再重复这个程序得到303,最后一次重复程序得到123。
你看,又跌进了123这个黑洞!
这个西西弗斯串是怎样起作用的呢?
数学家解释是很大的输入得到较小的输出,这样便使一个无限的宇宙缩小为一个可控制的有限的宇宙。
2、6174和395
前苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中,提到了一个奇妙的四位数6174,并把它列作“没有揭开的秘密”。
不过,近年来,由于数学爱好者的努力,已经开始拨开浓雾,逐步见天日了。
6174有什么奇妙之处?
请随便写出一个四位数,这个数的四个数字有相同的也不要紧,但不准这四个数完全相同,例如3333、7777等都应该排除。
写出四位数后,要把它整理一下,其办法是:
把这个数中的各位数字按大到小的顺序和从小到大的顺序重新排列,将得到由这四个数字组成的四位数中的最大者和最小者,两者相减,就得到另一个四位数(如果数位不足,就在前面添0补足四位)。
将组成这个四位数的四个数字施行同样的变换,又得到一个最大的数和最小的数,两者相减,……这样循环下去,一定在经过若干次(最多7次)变换之后,得到6174。
例如,开始时我们取数8208,重新排列后最大数为8820,最小数为0288,8820-0288=8532;对8532重复以上过程:
8532-2358=6174。
这里,经过两步变换就掉入6174这个“黑洞”里。
(这里,0288也得看成一个四位数。
)
再如,我们开始取数2187,按要求进行变换:
8721-1278=7443→7443-3447=3996→9963-3699=6264
→6642-2466=4176→7641-1467=6174。
这里,经过五步变换就掉入了“黑洞”——6174。
拿由1、4、6、7这四个数字组成的任意四位数来说,都只需一步:
7641-1467=6174,就掉入“黑洞”再也出不来了。
所有的四位数都会掉入6174这个黑洞,不信者可以取一些数进行验证。
验证之后,你不得不感叹6174的引力之大。
由这个四位数黑洞我们自然会想到:
是否存在类似的其它位数的黑洞呢?
显然,存在类似黑洞的前提是,必须有类似6174的数,即这个数等于重排它的各个数码的最大数与最小数的差。
在三位数中找到了495,你看:
954-459=495,得到的仍然是495。
495这个黑洞有多大的引力呢?
也就是说它能把多少个三位数吸到这个黑洞中来呢?
其实,495的吸引力与6174一样大!
它能把除三个数码一样的三位数以外的所有三位数都吸到495这个黑洞中来,并且最多不超过6步。
如果不信,你可以试试。
四位数与三位都找到了具有强大吸引力的黑洞。
遗憾的是,人们在两位、五位、六位、七位数、……中竟然找不到类似6174和495这样的数,自然也就不存在这些数位的类似的黑洞了。
3、如来佛手掌
《西游记》里的孙悟空是一个神通广大、本领高超的人物,他能七十二变,还会腾云驾雾,一个筋斗可翻出十万八千里外。
但不管他怎样变幻,一蹦有多远,总还是落在如来佛的掌心里,难以逃脱。
这当然只是一个神话故事。
但是,数学家发现,这样的现象竟然也会在数学的变幻中出现。
我们随便选一个数,比如选人们认为很吉利的数168(一路发!
)吧。
如果把这个数的每一位数字都平方,然后相加,即
12+62+82=1+36+64=101。
这样一来,原来的数就变为101;接下来将101这个数的每一位数字都平方,并相加,即12+02+12=1+0+1=2,……按照这种变换不断重复,就能得到:
4→16→37→58→89→145→……
算着算着,有的读者也许会不耐烦起来:
“这不是一个无底洞吗?
恐怕算到明天也算不完!
”不要太性急,只要你耐心地算下去,不要多久,就会出现奇迹的。
结果是:
16→37→58
↑↓
489
↑↓
20←42←145
168→101→2→4→
你看,这些数字像孙悟空一样,跌进了如来佛的手掌——旋涡黑洞,再也出不来了!
有的读者可能会说:
“这莫非是偶然现象,碰巧如此吧?
”那么,就请再选一个数好了。
不妨再用较大的数试一试,如十位数2710859643,10个数字都用上了,但算的结果仍然是进了如来佛的手掌——旋涡黑洞:
37→58→89
↑↓
16145
↑↓
4←20←42
2710859643→285→93→90→81→65→61→
但也请读者注意,有些数按照上述法则进行变换的话,则是以“1”为归宿的,例如去年的年份数2003,变换的情况就是:
2003→13→10→1→……
16→37→58
↑↓
489
↑↓
20←42←145
变到1以后,按照规则进行下去,以后一直是1、1、1、……,好像一旦掉进“洞”里,就再也出不来了。
除了1这个特殊的结果外,其余的结果都无一例外地在转圈子——卷入右面的旋涡黑洞。
4、自恋性数字
在《圣经》约翰福音第21章中说,耶稣和他的门徒在太巴列海成功地进行了一次捕鱼活动。
当他们把网拉上来时发现,那网得的鱼有153条。
《圣经》中出现的数,如果不是整百整千的话,古人认为该数是有神秘的意义的。
153的神秘在哪里呢?
请看:
153=13+53+33,13+53+33=153。
把153各个数位上的数字的三次方相加,其和仍然是153。
你看,它还真有其特别之处!
如果一个n位自然数,它的各个数位上的数字的n次方之和等于这个自然数,就称这个自然数为n位自恋数。
显然,153是一个三位自恋数。
人们已经发现,三位的自恋数有四个,除153以外,还有370,371,407。
即有:
33+73+03=370;33+73+13=371;43+03+73=407。
如果反复地求一个数的各个数位上的数学的三次方之和,会出现什么结果呢?
对于这种运算来说,三位自恋数显然是黑洞,因为一旦进入了它们,就再也出不去了。
问题是它们有多大的吸引力,即通过这种运算,它们能把多少个三位数吸进它们的怀抱呢?
我们来试试看。
先取486吧:
43+83+63=792→73+93+23=1080→13+03+83+03=513→53+13+33=153。
经过4步进入了153黑洞。
再取878试试:
83+73+83=1367→13+33+63+73=587→53+83+73=980
→93+83+03=1241→13+23+43+13=74→73+43=407。
经过6步进入407黑洞。
还取415试试:
43+13+53=190→13+93+03=730→73+33+03=370。
经过3步进入了370黑洞。
由此看来,这几个黑洞的吸引力还蛮大,但到底有多大,还需要深入探究一下。
我们注意到,一个自然数a与它的三次方a3除以3余数相同。
于是,把三位自恋数按除以3所得余数进行分类,我们有结论:
153能被3整除,能跌入153这个黑洞的都是能被3整除的数;
370除以3余1,能跌入370这个黑洞的都是除以3余1的数;
371与407除以3都余2,能跌入371与407这两个黑洞的都是除以3余2的数。
上面的结论反过来未必成立。
事实上,所有的能被3整除的自然数必须跌入153这个黑洞;所有的除以3余2的自然数必然跌入371或407这两个黑洞;而除以3余1的自然数,只有一部分跌入370这个黑洞,另一部分跌入了类似于“如来佛手掌”的旋涡黑洞。
我们举两个除以3余1但没有跌入370的例子:
先取103:
13+03+33=28→23+83=520→53+23+03=133→13+33+33=55→53+53=250→23+53+03=133,……可以看出,从第3次运算起,结果进入133、55、250的旋涡。
再取127:
13+23+73=352→33+53+23=160→13+63+03=217→23+13+73=352,……走一步就进入了352、160、217这个旋涡。
5、考拉兹猜想
有些黑洞已经被证明了,有些还没有被证明,只是猜测它是个黑洞。
因为它悬而未决,所以只能称为猜想,考拉兹猜想即是一例。
事情始于上个世纪的三十年代,德国汉堡的一名学生洛萨赫·考拉兹发现了一个奇怪的现象:
任意写下一个自然数,如果是奇数,则将它乘以3并加1;如果是偶数,则将它除以2。
对结果反复施行这样的变换之后,会出现一个有趣的现象,似乎数字掉进了一个“无底洞”,最后总是出现:
4,2,1;4,2,1;4,2,1;……
我们先取个偶数12试试:
1→4
↖↙
2
12→6→3→10→5→16→8→4→2→
再取个奇数15试试:
1→4
↖↙
2
15→46→23→70→35→106→53→160→80→40→20→10→5→16→8→4→2→
你会发现,无论取什么数,最后总会在4,2,1中循环,掉入了数字黑洞。
1→4
↖↙
2
由于这种现象最早是考拉兹发现的,人们把它称为考拉兹猜想。
现在,这个猜想还有一些其他名字。
1960年,日本数学家角谷静夫将这个问题介绍到日本,所以日本称为角谷猜想。
美国数学科普大师马丁·加德纳把这个猜想称为“冰雹猜想”,这是因为在运算过程中,算出的数字忽大忽小,就像云中的小水滴,受的气流冲击,忽高忽低,遇冷结冰,最后变为冰雹落地一样,最后总会变成1,进入黑洞。
1→4
↖↙
2
考拉兹猜想的魅力就在于数字飘忽不定。
比如27,它初看上去貌不惊人,但在变换过程中,上下变化异常剧烈,到77步时升达峰顶9232,又经过34步跌入谷底1,全程竟达111步之多。
再比如703,到82步时竟然达到250504,最终经过170步跌入谷底1,进入黑洞。
一个自然数,经过K步变换跌入1,那么这个K是否有最大值呢?
没有!
最直接的说明是2K需要经过K次变换才能变为1,而对这个K没有限制。
同理,因为27需要111步变为1,所以54就需要112步,108需要113步,2K×27需要(K+111)步。
1→4
↖↙
2
目前还没有人能够证明考拉兹猜想。
据说日本东京大学的米田信夫对240(大约相当于1.1万亿)以下所有的自然数用电子计算机进行了验算,无一反例。
但是,自然数有无穷多个,靠验算是验算不完的。
是否是吸引所有自然数的
黑洞,这个世界级的难题期待着有人揭开谜底。
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