人教版数学中考复习之旋转相似投影与视图专题复习讲义无答案.docx
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人教版数学中考复习之旋转相似投影与视图专题复习讲义无答案
人教版数学中考之旋转与相似专题复习讲义
一、知识梳理
(一)
1图形的平移
定义
在平面内,将一个图形沿某个①移动一定的②,这样的图形运动称为平移.
性质
1.对应线段③(或共线)且相等,对应点连线④且平行(或共线);
2.平移前后的图形形状和大小都没有发生变化(即两个图形⑤).
2轴对称与轴对称图形
轴对称
轴对称图形
定义
把一个图形沿某一条直线折叠,如果能够与另一个图形⑥,那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是⑦,两个图形的对应点叫做对称点.
如果一个图形沿某条直线对折,对折的两部分能够完全⑧,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线叫做这个图形的⑨.
区别
轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系.
轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形.
轴对称的性质
1.对称点的连线被对称轴⑩;
2.对应线段11;
3.对应线段或延长线段的交点在12上;
4.成轴对称的两个图形13.
3图形的旋转
定义
在平面内,将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.
性质
1.对应点到旋转中心的距离14;
2.任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于15;
3.旋转前后的图形16.
【易错提示】在旋转过程中,相等的角有对应角和旋转角,不要把两者混淆.
4中心对称与中心对称图形
中心对称
中心对称图形
定义
把一个图形绕着一点旋转
后,如果与另一个图形重合,那么这两个图形成中心对称,这个点叫做其对称中心,旋转前后重合的点叫做对称点.
把一个图形绕着某点旋转
后,能与其自身重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做
.
区别
中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系.
中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形.
中心对称的性质
1.中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过
,而且被对称中心
;
2.成中心对称的两个图形
.
(二):
相似
1相似图形的有关概念
相似图形
1相同的图形称为相似图形.
相似多边形
两个边数相同的多边形,如果它们的角分别②,边③,那么这两个多边形叫做相似多边形.
相似比
相似多边形对应④的比叫做相似比.
相似三角形
两个三角形的三个角分别⑤,三条边⑥,则这两个三角形相似.当相似比等于1时,这两个三角形⑦.
2比例线段
比例线段
定义
在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段.
基本性质
若
=
,则ad=bc.
当b=c时,b2=ad,那么b是a、d的比例中项.
黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果AC是线段AB和BC的比例中项,且
=
=
≈0.618,那么点C叫做线段AB的黄金分割点.
【易错提示】求两条线段的比时,对这两条线段要统一长度单位.
3平行线分线段成比例
基本事实
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段⑧.
推论
⑨.
4相似三角形的判定
判定1
⑩于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
判定2
三边11的两个三角形相似.
判定3
两边12且夹角13的两个三角形相似.
判定4
两角分别14的两个三角形相似.
判定5
满足斜边和一条直角边15的两个直角三角形相似.
5相似三角形的性质
性质1
相似三角形的对应角16,对应边
.
性质2
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于
.
性质3
相似三角形面积的比等于相似比的
.
6位似
定义
如果两个图形不仅是
图形,而且对应顶点的连线相交于
,那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似
,这时的相似比又称为
比.
性质
1.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比(位似比).
2.在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形上的对应点的坐标的比等于
.
【易错提示】两个位似图形的位似中心可能在图形内部、外部、边上或顶点上.
(三):
投影与视图
1投影
平行投影
由①光线形成的投影叫做平行投影.投影线垂直于投影面时产生的投影叫做正投影,正投影是一种特殊的平行投影.
中心投影
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.
2三视图
三视图
主视图
在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图.
俯视图
在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图.
左视图
在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图.
画物体的三视图
原则
主视图与俯视图②对正,主视图与左视图③平齐,左视图与俯视图的④相等.
提醒
在画图时,看得见部分的轮廓线画成实线,因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线.
3立体图形的展开与折叠
一个立体图形沿不同的棱剪开就得到不同的平面图形.
4尺规作图
定义
在几何里,限定⑤和⑥来画图,称尺规作图.
基本步骤
已知、求作、作法、证明、结论.
常见的基本作图
(1)作一条线段等于已知线段;
(2)作一个角等于已知角;
(3)作已知角的平分线;
(4)经过一点作已知直线的垂线;
(5)作线段的垂直平分线.
二、同步题型分析
1轴对称图形与中心对称图形的识别
例1下列银行标志中,既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是()
方法归纳:
解答这类题的关键是明确这两种对称图形的特征与区别:
轴对称图形至少能找到一条对称轴,对应点连线的垂直平分线为对称轴;中心对称图形有对称中心,对应点连线的交点为对称中心.
练习
1.下列图形中,不是轴对称图形的是()
2下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
2图形变换的有关计算
例如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C,使得点A′恰好落在AB上,则旋转角度为()
A.30°B.60°C.90°D.150°
【思路点拨】根据旋转的特征可知CA=CA′,从而得到∠CAA′=∠CA′A,由已知条件∠ACB=90°,∠ABC=30°可求得∠CAA′=60°,由此可求得旋转角∠ACA′的大小.
方法归纳:
图形变换的有关计算问题关键是运用图形变换主要特征,如旋转前、后的两个三角形全等,利用全等的性质就可以求出线段的长或角的度数
.
练习
1.如图,点A、B、C、D都在方格纸的格点上,若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置,则旋转的角度为()
A.30°B.45°C.90°D.135°
2.如图,将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1.若BC=3,S△PB1C=
,则BB1=.
3.如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠,点C、D分别落在C′、D′的位置上,EC′交AD于G,已知∠EFG=56°,那么∠BEG=.
3图形变换的作图
例如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,4),B(-2,1),C(-5,2).
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2,得到对应的点A2、B2、C2,请画出△A2B2C2;
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比,即S△A1B1C1∶S△A2B2C2=(不写解答过程,直接写出结果).
【思路点拨】
(1)根据轴对称的性质,作出每一个顶点关于y轴的对称点,连接即可;
(2)根据要求写出A2、B2、C2的坐标,在坐标系中找到点A2、B2、C2,并依次连接即可;
(3)根据相似三角形的性质求解即可.
【解答】
方法归纳:
旋转变换作图题的关键是根据平移、旋转、对称、位似的性质,抓住对称轴、平移的方向、平移的距离、旋转中心、旋转方向、旋转角、位似比等基本要素,才能正确绘制出相应图形的变换图形.
练习
1.如图,在平面直角坐标系中,将△ABC绕点P旋转180°,得到△A1B1C1,则A1,B1,C1的坐标分别是()
A.A1(-4,-6),B1(-3,-3),C1(-5,-1)
B.A1(-6,-4),B1(-3,-3),C1(-5,-1)
C.A1(-4,-6),B1(-3,-3),C1(-1,-5)
D.A1(-6,-4),B1(-3,-3),C1(-1,-5)
2如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A,B,C都在格点上.将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.
(1)在正方形网格中,画出△AB′C′;
(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积.
4相似三角形的判定
例1如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求证:
△ABD∽△CBE.
【思路点拨】在△ABD和△CBE中,有一个公共角,再根据等腰三角形三线合一得出AD⊥BC即可证明两三角形相似.
【解答】
方法归纳:
证明两三角形相似时,要善于结合已知条件来选择最恰当的判定方法.
练习
1.如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中△ABC相似的是()
2如图,点D在△ABC的边AC上,要判断△ADB与△ABC相似,添加一个条件,不正确的是()
A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.
=
D.
=
3.如图,M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点,过点M作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,这样的直线共有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
5相似三角形的性质
例
(1)如图,点D,E分别在AB、AC上,且∠ABC=∠AED.若DE=4,AE=5,BC=8,则AB的长为.
(2)如图,点D是△ABC的边BC上任一点,已知AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.若△ABD的面积为a,则△ACD的面积为()
A.aB.
aC.
aD.
a
【思路点拨】
(1)从条件看可以证明△AED∽△ABC,然后根据相似三角形的性质就可求出AB的长;
(2)由∠DAC=∠B,可知△ABC∽△DAC,根据相似三角形的性质可求△ACD的面积.
方法归纳:
求线段的长,利用相似三角形对应边的比相等来计算;求面积,利用相似三角形面积比等于相似比的平方来计算.
练习
1.如图,△ABC∽△DEF,相似比为1∶2,若BC=1,则EF的长是()
A.1B.2C.3D.4
2.如果两个相似多边形面积的比为1∶5,那么它们的相似比为()
A.1∶25B.1∶5C.1∶2.5D.1∶
3.如图,∠ABD=∠BDC=90°,∠A=∠CBD,AB=3,BD=2,则CD的长为()
A.
B.
C.2D.3
4如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,则△ADE和△ABC的周长之比等于.
6相似三角形的应用
例某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示.其中BA=CD,BC=20cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm,8cm,为使板凳两腿底端A,D之间的距离为50cm,那么横梁EF应为多长?
(材质及其厚度等暂忽略不计)
【思路点拨】利用梯形常用的辅助线,把EF的长放到三角形中,利用相似三角形的性质,对应边成比例,可求解.
【解答】
方法归纳:
利用三角形相似解决实际问题关键扣住两点:
一是构造三角形相似;二是灵活地利用相似三角形的性质.
练习
1.如图,跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O,且垂直于地面BC,垂足为D,OD=50cm,当它的一端B着地时,另一端A离地面的高度AC为()
A.25cmB.50cmC.75cmD.100cm
2.如图,放映幻灯时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上,若光源到幻灯片的距离为20cm,到屏幕的距离为60cm,且幻灯片中的图形的高度为6cm,则屏幕上图形的高度为cm.
7位似变换
例如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上,如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的
,那么点B′的坐标是()
A.(-2,3)B.(2,-3)C.(3,-2)或(-2,3)D.(-2,3)或(2,-3)
【思路点拨】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′,根据相似多边形面积的比等于相似比的平方,得位似比,再利用比例式分别计算出两种情况下B′的坐标.
方法归纳:
已知一个图形和位似中心作位似图形时,要注意运用分类讨论思想,考虑两个图形在位似中心同侧或位似中心两侧两种情况,避免出现遗漏.
练习
1.如图中的两个四边形是位似图形,它们的位似中心是()
A.点MB.点NC.点OD.点P
2.如图,以O为位似中心,把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍,得五边形A1B1C1D1E1,则OD∶OD1=.
8判断几何体的三视图
例由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示,则它的主视图是()
方法归纳:
细心观察图中几何体中正方体摆放的位置,根据主视图是从正面看到的图形判定即可.
练习
1.如图,图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的,则该几何体的俯视图是()
2.图甲是某零件的直观图,则它的主视图为()
9由三视图还原几何体
例某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()
A.三棱柱B.长方体C.圆柱D.圆锥
方法归纳:
由视图到立体图形,根据视图想象出视图所反映的立体形状,我们称为读图.读图时,可从主视图上分清物体各部分的上下和左右位置;从俯视图上分清物体各部分的左右和前后位置;从左视图上分清物体各部分的上下和前后位置.
练习
1.一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是()
2.如图是某一几何体的三视图,则该几何体是()
A.三棱柱B.长方体C.圆柱D.圆锥
10立体图形的展开与折叠
例下列图形中,能通过折叠围成一个三棱柱的是()
【思路点拨】通过图片可以想象出该物体由三条棱组成,底面是三角形,符合这个条件的几何体是三棱柱.
方法归纳:
三棱柱的表面展开图,上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧,且是全等的三角形,不能有两个侧面在两三角形的同一侧.
练习
1.如图是一个正方体展开图,把展开图折叠成正方体后,“你”字一面相对面上的字是()
A.我B.中C.国D.梦
2如图是正方体的一种展开图,其每个面上都标有一个数字,那么在原正方体中,与数字“2”相对的面上的数字是()
A.1B.4C.5D.6
3.下列各图中,经过折叠能围成正方体的是()
三、专题精讲
1.将两个斜边长相等的三角形纸片如图1放置,其中∠ACB=∠CED=90°,∠A=45°,∠D=30°,把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D′CE′.如图2,连接D′B,则∠E′D′B的度数为()
A.10°B.20°C.7.5°D.15°
2如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB=m.
3如图,一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子,当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时,影子的长度发生变化.设AB垂直于地面时的影长为AC(假定AC>AB),影长的最大值为m,最小值为n,那么下列结论:
①m>AC;②m=AC;③n=AB;④影子的长度先增大后减小.其中,正确的结论的序号是.
4如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,点P为AB边上一动点,DP交AC于点Q.
(1)求证:
△APQ∽△CDQ;
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动,移动时间为t秒,t为何值时,DP⊥AC?
课后习题
1.下列手机软件图标中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
2下列几何体,主视图和俯视图都为矩形的是()
3关于x的一元二次方程x2-3x+b=0有两个不相等的实数根,则b的取值范围是.
4在平面直角坐标系中,已知一次函数y=2x+1的图象经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若x1
5一个长方体的三视图如图所示,若其俯视图为正方形,则这个长方体的表面积为.
6.如图,A、B的坐标分别为(1,0)、(0,2),若将线段AB平移至A1B1,A1、B1的坐标分别为(2,a)、(b,3),则a+b=.
7.如图,等腰直角三角形ABC顶点A、C在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=2
,反比例函数y=
(x>0)的图象分别与AB、BC交于点D、E.连接DE.当△BDE∽△BCA时,点E的坐标为.
8.三棱柱的三视图如图所示,△EFG中,EF=8cm,EG=12cm,∠EGF=30°,则AB的长为cm.
9.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2.
(1)先作△ABC关于直线l成轴对称的图形,再向上平移1个单位,得到△A1B1C1;
(2)以图中的O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2.
10.如图,□ABCD中,点E在BA的延长线上,连接CE,与AD相交于点F.
(1)求证:
△EBC∽△CDF;
(2)若BC=8,CD=3,AE=1,求AF的长.
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