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31排列教案
3.1排列教案
【课题】3.1排列
【教学目标】
认知目标:
说出排列、排列数的定义,能够简单应用排列数的计算公式.
能力目标:
培养学生利用数学思想方法分析,解决实际问题,使学生数学思维能力得到提高.
情感目标:
感受数学与生活的紧密联系,培养学生主动参与学习,自主探究和合作解决问题的意识.
【教学重点】
排列数计算公式.
【教学难点】
排列数公式推导以及应用.
【教学设计】
复习两个计数原理,一方面它是复习回顾,另一方面是做好衔接,为下面的问题及排列数的计算奠定基础.一个排列元素是不可重复的.也就是说,利用排列研究问题时,元素是不可以重复选取.对于元素可以重复选取的问题是直接应用两个计数原理计算的问题.排列的概念中有两个要素.一个是不同的元素,另一个是一定的顺序.从n个不同元素中,取出m(m≤n)个不同元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的排列数,用符号
表示.采用这个符号是执行国家的新规定.有些教材中使用符合
表示.例2是巩固排列数公式的题目.例3与例4是排列的实际应用题.其中例3是基础题,解题关键是搞清原来不同元素的个数、取出不同元素的个数、是否有序.例4是综合利用计数原理与排列知识的题目.讲解时要注意进行数学方法的渗透.首先考虑特殊元素或特殊位置,然后再考虑一般元素或位置,分步骤来研究问题,这种研究方法是本章中经常使用的方法.排列数的计算一般的数字都是比较大,比较麻烦,采用计算器来完成计算非常便捷.
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
1课时.(45分钟)
【教学过程】
教学
过程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时间
*复习回顾
基础模块中,曾经学习了两个计数原理.大家知道:
(1)如果完成一件事,有N类方式.第一类方式有k1种方法,第二类方式有k2种方法,……,第n类方式有kn种方法,那么完成这件事的方法共有
=
+
+…+
(种).
(2)如果完成一件事,需要分成N个步骤.完成第1个步骤有k1种方法,完成第2个步骤有k2种方法,……,完成第n个步骤有kn种方法,并且只有这n个步骤都完成后,这件事才能完成,那么完成这件事的方法共有
=
·
·…·
(种).
*创设情境导入课题
下面看一个视频:
田忌赛马
你能从视频中发现什么?
播放
课件
引出问题
观看
课件
思考
引导
启发学生得出结果
9
*合作探究学习新知
活动一:
我们用红、黄、蓝3面旗按一定顺序,从上到下在竖直的旗杆上表示信号,每次可以挂1面,2面,3面,并且不同的顺序表示不同的信号。
上面的问题就是:
从3个不同元素中,任取2个,按照一定的顺序排成一列,可以得到多少种不同的排列.
一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,
时叫做选排列,
时叫做全排列.
活动二:
探究排列数的公式
分析
关键
词语
探究发现
引导学生发现解决问题方法
15
*指导应用知识深化
例1 写出从4个元素a,b,c,d中任取2个元素的所有排列.
分析 首先任取1个元素放在左边,然后在剩余的元素中任取1个元素放在右边.
解所有排列为
.
讲解
说明
思考
主动
求解
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
16
*动脑思考探索新知
从n个不同元素中,取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号
表示.
例1中,从4个元素a,b,c,d中任取2个元素的的排列数为
.可以看到
.
下面研究计算排列数的公式.
计算
可以这样考虑:
假定有排列顺序的m个空位(如图3-1)
第1位第2位第3位…第m位
图3-1
第一步,从n个元素中任选1个元素,填到第1个位置,有n中方法;
第二步,从剩余的n-1个元素中任选1个元素,填到第2个位置,有n-1种方法;
第三步,从剩余的n-2个元素中任选1个元素,填到第3个位置,有n-3种方法;
……
第m步,从剩余的n-(m-1)个元素中任选1个元素,填到第m个位置,有n-m+1种方法;
根据分步计数原理,全部填满空位的方法总数为
n(n-1)(n-2)…(n-m+1).
由此得到,从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的排列数
为
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(3.1)
其中,
,且m≤n.公式(3.3)叫做排列数公式.
当m=n时,由公式(3.3)得
=n(n-1)(n-2)…3×2×1.(3.4)
正整数由1到n的连乘积,叫做n的阶乘,记作n!
.
【说明】
规定
即n!
=n(n-1)(n-2)…3×2×1.
因此公式(3.4)还可以写成
=n!
(3.5)
一般地,
因此,当m<n时,公式(3.3)还可以写成
(3.6)
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
理解
记忆
启发引导学生发现解决问题的方法
40
*巩固知识典型例题
【例题】
例2计算
和
解
=5×4=20,
例3小华准备从7本世界名著中任选3本,分别送给甲、乙、丙3位同学,每人1本,共有多少种选法?
分析 选出3本不同的书,分别送给甲、乙、丙3位同学,书的不同排序,结果是不同的.因此选法的种数是从5个不同元素中取3个元素的排列数.
解不同的送法的种数是
即共有210种不同送法.
说明公式(3.3)与公式(3.6)都是计算排列数的公式.计算排列数,通常使用公式(3.3);进行有关排列数的证明与研究通常使用公式(3.6).
例4 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的3位数?
分析因为百位上的数字不能为0,所以分成两步考虑问题.第一步先排百位上的数字;第二步从剩余的数字中任取2个数排列.
解所求三位数的个数为
.
【说明】
象例4这样,“首先考虑特殊元素或特殊位置,然后再考虑一般元素或位置,分步骤来研究问题”是本章中经常使用的方法.
引领
讲解
说明
引领
分析
说明
引领
讲解
说明
观察
思考
主动
求解
观察
思考
理解
思考
主动
求解
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
学生
自我
发现
归纳
55
*运用知识强化练习
1.填空
(1)已知
=56,那么n=.
(2)用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的三位数,共有个.
2.在A,B,C,D四个候选人中,选出正副班长各一个,选法的种数是多少?
提问
巡视
指导
动手
求解
及时
了解
学生
知识
掌握
情况
65
*理论升华整体建构
思考并回答下面的问题:
排列数计算公式的内容是什么?
结论:
从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的排列数
为
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
质疑
归纳强调
回答
理解
强化
师生共同归纳强调重点
70
*归纳小结强化思想
本次课学了哪些内容?
重点和难点各是什么?
引导
回忆
75
*自我反思目标检测
本次课采用了怎样的学习方法?
你是如何进行学习的?
你的学习效果如何?
用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数有多少个?
提问
巡视
指导
反思
动手
求解
培养反思学习过程的能力
85
*继续探索活动探究
(1)读书部分:
教材
(2)书面作业:
教材习题3.1(必做);学习指导3.1(选做)
(3)实践调查:
运用本课所学知识,解决实际问题
说明
记录
分层次要求
90
【教师教学后记】
项目
反思点
学生知识、技能的掌握情况
学生是否真正理解有关知识;
是否能利用知识、技能解决问题;
在知识、技能的掌握上存在哪些问题;
学生的情感态度
学生是否参与有关活动;
在数学活动中,是否认真、积极、自信;
遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服;
学生思维情况
学生是否积极思考;
思维是否有条理、灵活;
是否能提出新的想法;
是否自觉地进行反思;
学生合作交流的情况
学生是否善于与人合作;
在交流中,是否积极表达;
是否善于倾听别人的意见;
学生实践的情况
学生是否愿意开展实践;
能否根据问题合理地进行实践;
在实践中能否积极思考;
能否有意识的反思实践过程的方面;
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- 31 排列 教案