111命题 4.docx
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111命题4
1.1.1 命 题
预习课本P2~4,思考并完成以下问题
1.命题、真命题、假命题的概念分别是什么?
2.在命题“若p,则q”的形式中,p、q分别叫做命题的什么?
命题
[点睛]
(1)判断一个语句是命题的两个要素:
①是陈述句,表达形式可以是符号、表达式或语言;
②可以判断真假.
(2)命题的形式:
①有的命题有明确的条件p和结论q,而有的命题不明显.
②确定命题的条件和结论时,最好把命题写成“若p,则q”的形式.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“集合{a,b,c}有3个子集”是命题( )
(2)“x2-3x+2=0”是命题( )
答案:
(1)√
(2)×
2.语句“若a>b,则a+c>b+c”( )
A.不是命题 B.是真命题
C.是假命题D.不能判断真假
答案:
B
3.下列语句中,是假命题的是( )
A.一条直线有且只有一条垂线
B.不相等的两个角一定不是对顶角
C.直角的补角必是直角
D.两直线平行,同旁内角互补
答案:
A
4.把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p,则q”的形式为________________________.
答案:
若一个整数的末位数字是4,则它一定能被2整除
命题的概念
[典例] 判断下列语句是否是命题,并说明理由.
(1)是有理数;
(2)3x2≤5;
(3)梯形是不是平面图形呢?
(4)一个数的算术平方根一定是负数.
[解]
(1)“是有理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题.
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假,所以它不是命题.
(3)“梯形是不是平面图形呢?
”是疑问句,所以它不是命题.
(4)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题.
判断语句是否是命题的策略
(1)命题是可以判断真假的陈述句,因此,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
(2)对于含变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题.
[活学活用]
判断下列语句是否为命题,并说明理由.
(1)若平面四边形的边都相等,则它是菱形;
(2)任何集合都是它自己的子集;
(3)对顶角相等吗?
(4)x>3.
解:
(1)是陈述句,能判断真假,是命题.
(2)是陈述句,能判断真假,是命题.
(3)不是陈述句,不是命题.
(4)是陈述句,但不能判断真假,不是命题.
判断命题的真假
[典例] 判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)正方形既是矩形又是菱形;
(2)当x=4时,2x+1<0;
(3)若x=3或x=7,则(x-3)(x-7)=0;
(4)一个等比数列的公比大于1时,该数列一定为递增数列.
[解]
(1)是真命题,由正方形的定义知,正方形既是矩形又是菱形.
(2)是假命题,x=4不满足2x+1<0.
(3)是真命题,x=3或x=7能得到(x-3)(x-7)=0.
(4)是假命题,因为当等比数列的首项a1<0,公比q>1时,该数列为递减数列.
命题真假的判定方法
(1)真命题的判断方法
要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事实依据,比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.
(2)假命题的判断方法
通过构造一个反例否定命题的正确性,这是判断一个命题为假命题的常用方法.
[活学活用]
1.下列命题中,为假命题的是( )
A.若a>0,则2a>1
B.若+=0,则x=y=0
C.若b2=ac,则a,b,c成等比数列
D.若sinα=sinβ,则不一定有α=β
解析:
选C A选项,若a>0,则2a>1,正确;B选项,若+=0,可得x=y=0,正确;C选项,若b2=ac,可知b=a=c=0也成立,显然不是等比数列.故选C.
2.判断下列语句是否为命题,并判断命题的真假.
(1)一个正整数不是素数就是合数;
(2)若x+y和xy都是有理数,则x,y都是有理数;
(3)60x+9>4;
(4)若x∈N,则x2+4x+7>0.
解:
(1)该语句是命题.由于整数1既不是素数,也不是合数,所以它是假命题.
(2)该语句是命题.+(-)和·(-)都是有理数,但,-都是无理数,所以它是假命题.
(3)这种含有未知数的语句中,不等式是否恒成立无法确定,即不能判断其真假,所以它不是命题.
(4)因为当x∈N时,x2+4x+7>0恒成立,所以该语句是命题,且是真命题.
命题的结构形式
[典例] 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)6是12和18的公约数;
(2)当a>-1时,方程ax2+2x-1=0有两个不等实根;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.
[解]
(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题.
(2)若a>-1,则方程ax2+2x-1=0有两个不等实根,是假命题.
(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分,是真命题.
(4)已知x,y为非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2,是假命题.
将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则
[注意] 命题改写中的注意点
若命题不是以“若p,则q”这种形式给出时,首先要确定这个命题的条件p和结论q,进而改写成“若p,则q”的形式.
[活学活用]
把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)奇数不能被2整除;
(2)当(a-1)2+(b-1)2=0时,a=b=1;
(3)两个相似三角形是全等三角形;
(4)在空间中,平行于同一个平面的两条直线平行.
解:
(1)若一个数是奇数,则它不能被2整除,是真命题.
(2)若(a-1)2+(b-1)2=0,则a=b=1,是真命题.
(3)若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形是全等三角形,是假命题.
(4)在空间中,若两条直线平行于同一个平面,则这两条直线平行,是假命题.
层级一 学业水平达标
1.下列语句不是命题的有( )
①若a>b,b>c,则a>c;②x>2;③3<4;④函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数.
A.0个 B.1个
C.2个D.3个
解析:
选C ①③是可以判断真假的陈述句,是命题;②④不能判断真假,不是命题.
2.已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,那么下列命题中真命题的个数为( )
①M中的元素都不是P的元素;
②M中有不属于P的元素;
③M中有属于P的元素;
④M中的元素不都是P的元素.
A.1B.2
C.3D.4
解析:
选B ①③错误;②④正确.
3.给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A.4B.2
C.0D.-3
解析:
选C 方程无实根时,应满足Δ=a2-4<0.故a=0时适合条件.
4.下列命题中,为真命题的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.若一个球的半径变为原来的2倍,则其体积变为原来的8倍
C.若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等
D.直线x+y+1=0与圆x2+y2=1相切
解析:
选B 等腰梯形对角形相等,不是矩形,故A中命题是假命题;由球的体积公式可知B中命题为真命题;C中命题为假命题,如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等,但标准差显然不相等;圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离d=<1,故直线与圆相交,所以D中命题为假命题.
5.给出下列命题:
①若直线l⊥平面α,直线m⊥平面α,则l⊥m;
②若a,b都是正实数,则a+b≥2;
③若x2>x,则x>1;
④函数y=x3是指数函数.
其中假命题的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
选C ①中,显然l∥m或l与m重合,所以①是假命题;由基本不等式,知②是真命题;③中,由x2>x,得x<0或x>1,所以③是假命题;④中,函数y=x3是幂函数,不是指数函数,所以④是假命题.故选C.
6.下列语句中是命题的有________(填序号),其中是真命题的有________(填序号).
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?
②一个数不是正数就是负数;
③大角所对的边大于小角所对的边;
④△ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB;
⑤求证方程x2+x+1=0无实根.
解析:
①疑问句.没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题;
②是假命题,0既不是正数也不是负数;
③是假命题,没有考虑在同一个三角形内;
④是真命题;
⑤祈使句,不是命题.
答案:
②③④ ④
7.给出下列命题:
①22340能被3或5整除;
②不存在x∈R,使得x2+x+1<0;
③对任意的实数x,均有x+1>x;
④方程x2-2x+3=0有两个不等的实根.
其中假命题有________.(填序号)
解析:
易知①②③为真命题;④中Δ=4-12<0,
方程x2-2x+3=0无实根,因而④为假命题.
答案:
④
8.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.
解析:
∵ax2-2ax-3>0不成立,∴ax2-2ax-3≤0恒成立.当a=0时,-3≤0恒成立;
当a≠0时,则有解得-3≤a<0.
综上,-3≤a≤0.
答案:
[-3,0]
9.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)当m>时,mx2-x+1=0无实根;
(2)奇函数的图象关于原点对称;
(3)与同一直线平行的两个平面平行;
(4)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除.
解:
(1)原命题可以改写成:
若m>,则mx2-x+1=0无实根.
因为Δ=1-4m<0,所以是真命题.
(2)原命题可以改写成:
“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题.
(3)原命题可以改写成:
“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交.
(4)原命题可以改写成:
若一个数能被6整除,则它既能被3整除也能被2整除.这个命题是真命题.
10.已知A:
5x-1>a,B:
x>1,请选择适当的实数a,使得利用A,B构造的命题“若p,则q”为真命题.
解:
若视A为p,则命题“若p,则q”为“若x>,则x>1”.由命题为真命题可知≥1,解得a≥4;
若视B为p,则命题“若p,则q”为“若x>1,则x>”.由命题为真命题可知≤1,解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A,B构造出一个真命题,比如这里取a=1,则有真命题“若x>1,则x>”.
层级二 应试能力达标
1.下列命题为真命题的是( )
A.若=,则x=y B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则=D.若x 解析: 选A 很明显A正确;B中,由x2=1,得x=±1,所以B是假命题;C中,当x=y<0时,结论不成立,所以C是假命题;D中,当x=-1,y=1时,结论不成立,所以D是假命题.故选A. 2.设l1,l2表示两条直线,α表示平面,若有: ①l1⊥l2,②l1⊥α,③l2⊂α,则以其中两个为条件,另一个为结论,可以构造的所有命题中,真命题的个数是( ) A.0B.1 C.2D.3 解析: 选B 由l1⊥α,l2⊂α,得l1⊥l2;由l1⊥l2,l2⊂α推不出l1⊥α;由l1⊥l2,l1⊥α,推不出l2⊂α,也可能l2∥α.故真命题有1个. 3.“红豆生南国,春来发几枝? 愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》,这首诗中,在当时条件下,可以作为命题的是( ) A.红豆生南国B.春来发几枝 C.愿君多采撷D.此物最相思 解析: 选A “红豆生南国”是陈述句,所述事件在唐代是事实,所以本句是命题,且是真命题;“春来发几枝”是疑问句,“愿君多采撷”是祈使句,“此物最相思”是感叹句,都不是命题,故选A. 4.下面的命题中是真命题的是( ) A.y=sin2x的最小正周期为2π B.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根同号,则>0 C.如果M⊆N,那么M∪N=M D.在△ABC中,若·>0,则B为锐角 解析: 选B y=sin2x=,T==π,故A为假命题;当M⊆N时,M∪N=N,故C为假命题;在三角形ABC中,当·>0时,向量与的夹角为锐角,B应为钝角,故D为假命题.故选B. 5.命题“若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界)”条件p: ________,结论q: ________________________________.它是______命题(填“真”或“假”). 解析: a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0得 -1≥0不成立,∴x+y-1≥0表示直线的右上方区域(包括边界),∴命题为真命题. 答案: a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界) 真 6.函数f(x)的定义域为A,若当x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时,总有x1=x2,则称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数;②指数函数f(x)=2x(x∈R)是单函数;③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中的真命题是________.(填序号) 解析: 由x=x,未必有x1=x2,故①为假命题;对于f(x)=2x,当f(x1)=f(x2)时一定有x1=x2,故②为真命题;当函数在其定义域上单调时,一定有“若f(x1)=f(x2),则x1=x2”,故③为真命题.故真命题是②③. 答案: ②③ 7.已知p: x2-2x+2≥m的解集为R;q: 函数f(x)=-(7-3m)x是减函数.若这两个命题中有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围. 解: 若命题p为真命题,由x2-2x+2=(x-1)2+1≥m,可知m≤1; 若命题q为真命题,则7-3m>1,即m<2. 命题p和q中有且只有一个是真命题,则p真q假或p假q真, 即或所以1 故实数m的取值范围是(1,2). 8.试探究命题“方程ax2+bx+1=0有实数解”为真命题时,a,b满足的条件. 解: 方程ax2+bx+1=0有实数解,要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况: 当a=0时,方程ax2+bx+1=0为bx+1=0,只有当b≠0时,方程有实数解x=-; 当a≠0时,方程ax2+bx+1=0为一元二次方程,方程有实数解的条件为Δ=b2-4a≥0. 综上知,当a=0,b≠0或a≠0,b2-4a≥0时,方程ax2+bx+1=0有实数解.
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