高中数学最新北师大版高中数学必修一学案第二章 3 函数的单调性二.docx
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高中数学最新北师大版高中数学必修一学案第二章3函数的单调性二
学习目标
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.
知识点一 函数的最大(小)值
思考 在下图表示的函数中,最大的函数值和最小的函数值分别是多少?
1为什么不是最小值?
梳理 对于函数y=f(x),其定义域为D,如果存在x0∈D,f(x)=M,使得对于任意的x∈D,都有f(x)≤M,那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值,即当x=x0时,f(x0)是函数y=f(x)的最大值,记作ymax=f(x0).
知识点二 函数的最大(小)值的几何意义
思考 函数y=x2,x∈[-1,1]的图像如图所示:
试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.
梳理 一般地,函数最大值对应图像中的最高点,最小值对应图像中的最低点,它们不一定只有一个.
类型一 借助单调性求最值
例1 已知函数f(x)=
(x>0),求函数的最大值和最小值.
反思与感悟
(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a).
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b).
(3)若函数y=f(x)有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.
(4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
跟踪训练1 已知函数f(x)=
(x∈[2,6]),求函数的最大值和最小值.
类型二 求二次函数的最值
例2
(1)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[0,2],求函数f(x)的最值;
(2)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最值;
(3)已知函数f(x)=x-2
-3,求函数f(x)的最值;
(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?
这时距地面的高度是多少?
(精确到1m)
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