培优平行四边形辅导专题训练附答案.docx
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培优平行四边形辅导专题训练附答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.操作:
如图,边长为2的正方形ABCD,点P在射线BC±,将AABP沿AP向右翻折,得到AAEP,DE所在直线与AP所在直线交于点F.
探究:
(1)如图2,当点P在线段BC上时,①若ZBAP=30。
,求ZAFE的度数;②若点E恰为线段DF的中点时,请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置?
并求出此时ZAFD的度数.
归纳:
(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B,C重合),ZAFD的度数是否会发生变化?
试证明你的结论;
猜想:
(3)如图2,若点P在BC边的延长线上时,ZAFD的度数是否会发生变化?
试在图中画岀图形,并直接写出结论.
【答案】
(1)①45。
:
②BC的中点,45°:
(2)不会发生变化,证明参见解析:
(3)不
会发生变化,作图参见解析.
【解析】
试题分析:
(1)当点P在线段BC上时,①由折叠得到一对角相等,再利用正方形性质求出ZDAE度数,在三角形AFD中,利用内角和左理求出所求角度数即可:
②由E为DF中点,得到P为BC中点,如图1,连接BE交AF于点O,作EGIlAD,得EGIlBC,得到AF垂直平分BE,进而得到三角形BOP与三角形EoG全等,利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=I,得到P为BC中点,进而求岀所求角度数即可;
(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B,C重合),ZAFD的度数不会发生变化,作AG丄DF于点G,如图1(a)所示,利用折叠的性质及三线合一性质,根据等式的性质求岀Z1+Z2的度数,即为ZFAG度数,即可求出ZF度数:
(3)作出相应图形,如图2所示,若点P1⅛BC边的延长线上时,ZAFD的度数不会发生变化,理由为:
作AG丄DE于G,得ZDAG=ZEAG,设ZDAG=ZEAG=α,根据ZFAE为ZBAE一半求岀所求角度数即可.
试题解析:
(1)①当点P在线段BC上时,TZEAP=ZBAP=30°,.∙.ZDAE=90°-30°x2=30°,在ZkADE中,AD=AE,ZDAE=30°,ZADE=ZAED=(180°-30o)÷2=75o,在ΔAFD中,ZFAD=30°+30°=60°,ZADF=75o,/.ZAFE=I80°-60°-750=450;②点E为DF的中点时,P也为BC的中点,理由如下:
如图连接BE交AF于点0,作EGIIAD,得EGIlBC,TEGIIAD,
DE=EF>AEG=2AD=I,VAB=AE,A点A在线段BE的垂直平分线上,同理可得点P在线段BE的垂直平分线上,.∙.AF垂直平分线段BE,ΛOB=OE,VGEIlBP,AZOBP=ZOEG,
ZOPB=ZOGE,・•・△BoP旻厶EOG,/.BP=EG=I,即P为BC的中点,/.ZDAF=90o-
ZBAF,ZADF=450+ZBAF,/.ZAFD=I80o-ZDAF-ZADF=45o:
(2)ZAFD的度数不会发生变化,作AG丄DF于点G,如图1(a)所示,
图IQ)在ZiADE中,AD=AE,AG±DE,TAG平分ZDAE,即Z2=ZDAG,且
ZI=ZBAP./.Z1+Z2=2×90o=45%即ZFAG=45°,则ZAFD二90°-45°=45°;(3)如图2
所示,ZAFE的大小不会发生变化,ZAFE二45。
,
P作AG丄DE于G,得ZDAG=ZEAG,设ZDAG=ZEAG=α,1
・•・ZBAE二90°+2a,/.ZFAE=2ZBAE=45o+a,/.ZFAG=ZFAE-ZEAG=45%在Rt∆AFG中,
ZAFE=90o-450=450・
考点:
1•正方形的性质:
2•折叠性质:
3・全等三角形的判定与性质.
2.已知:
在菱形ABCD中,E,F是3D上的两点,且AEWCF.求证:
四边形AECF是菱形.
A
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得ABWCDtAB=CD,乙ADF=乙CDF,由"S&S"可证△AD阻△CDF,可得AF=CF,由、ABE里'CDF,可得AE=CF,由平行四边形的判定和菱形的判泄可得四边形AFCF是菱形.
【详解】
证明:
T四边形ABCD是菱形
.∖AB∖∖CD,AB=CD,ZADF=乙CDF,
■:
AB=CD,ZADF=ZCDF,DF=DF
:
.△ADF里ACDF(SAS)
:
.AF=CF,
■:
ABWCD,AEWCF
:
.ZABE=ΔCDF,ZAEF=乙CFE
:
.ZAEB=Z.CFD,ZABE=ΛCDF,AB=CD
.∙.△ABE^△CDF(AAS)
.∙.AE=CF,且AEIlCF
.∙.四边形AFCF是平行四边形
又TAF=CF,
.∙.四边形AFCF是菱形
【点睛】
本题主要考査菱形的判左左理,首先要判定英为平行四边形,这是菱形判左的基本判左.
3.已知矩形纸片OBCD的边OB在X轴上,OD在y轴上,点C在第一象限,且
OB=8,OD=6.现将纸片折叠,折痕为EF(点E,F是折痕与矩形的边的交点),点P为点D的对应点,再将纸片还原。
(I)若点P落在矩形OBCD的边OB上,
1如图①,当点E与点0重合时,求点F的坐标;
2如图②,当点E在OB上,点F在DC上时,EF与DP交于点G,若OP=7,求点F的坐标:
(□)若点P落在矩形OBCD的内部,且点E,F分别在边0D,边DC上,当OP取最小值时,求点P的坐标(直接写岀结果即可)。
【答案】(I)①点F的坐标为(6,6);②点F的坐标为—,6
【解析】
【分析】
(I)①根拯折叠的性质可得ΛADOF=ZPOF=45.n由矩形的性质,即可求岀F的坐标;
②由折叠的性质及矩形的特点,易得ADGF三APGE,得到DF=P再加上平行,可以得到四边形DEPF是平行四边形,在由对角线垂直,得岀CJDEPF是菱形,设菱形的边长为X,在RtAODE中,由勾股建理建立方程即可求解;
(口)当0,P,F点共线时OP的长度最短.
【详解】
解:
(I)①∙.∙折痕为EF,点P为点D的对应点
.∙.ADOF≡APOF
乙DOF=ZPOF=45。
T四边形OBCD是矩形,
.∙.ZODF=90°
.∙.ZDFO=ZDOF=45°
.∙.DF=DO=6
点F的坐标为(6,6)
②T折痕为EF,点P为点D的对应点.
.∙.DG=PG、EF丄PD
T四边形OBCD是矩形,
.∙.DelloB、
:
.ZFDG=ZEPG;
∙.∙ZDGF=ZPGE
.∙.M)GF=APGE:
.DF=PE
DFIIPE
.∙.四边形DEPF是平行四边形.
∙.∙EF丄PD,
.gDEPF是菱形.
设菱形的边长为X,则DE=EP=X
-OP=I,
:
.OE=I-Xf
在RtAODE中,由勾股立理得OD2+QB2=DE2
:
.62+(7-x)2=x2
85解得V=—-
14
.∙∙DF=竺
14
.∙.点F的坐标为(罟,6I
【点睛】
此题考查了几何折叠问题、等腰三角形的性质、平行四边形的判左和性质、勾股泄理等知识,关键是根据折叠的性质进行解答,属于中考压轴题.
4.如图:
L已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE±,连接AE∙GC.
⑴试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写岀结论即可):
(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转,使点E落在BC边上,如图2,连接AE和
CG.你认为
(1)中的结论是否还成立?
若成立,给出证明:
若不成立,请说明理由.
(3)
在
(2)中,若E是BC的中点,且BC=2,则C,F两点间的距离为・
【答案】⑴AE=CG,AE丄GC:
(2)成立,证明见解析:
⑶・
【解析】
【分析】
(1)观察图形,AE、CG的位置关系可能是垂直,下而着手证明•由于四边形ABCD.
DEFG都是正方形,易证得AADE里“CDG,则ZI=Z2,由于Z2、Z3互余,所以Z1、Z3互余,由此可得AE丄GC.
(2)题
(1)的结论仍然成立,参照
(1)题的解题方法,可证AADE里△CDG,得ZS=
Z4,由于Z4、Z7互余,而Z5、Z6互余,那么Z6=Z7:
由图知ZAEB=ZCEH=90°
-z6,即Z7+ZCEH=90∖由此得证・
(3)如图3中,作ClvI丄DG于G,GN丄CD于N,CH丄FG于H,则四边形CMGH是矩形,可得CM=GH,CH=GM.想办法求岀CH,HF,再利用勾股泄理即可解决问题.
【详解】
(I)AE=CGfAE±GC;
在正方形ABCD与正方形DEFG中,
AD=DC,ZADE=ZCDG=90∖
DE=DG,
・•・△ADE旻△CDG(SAS),
・•・AE,CG,ZI=Z2
TZ2+Z3=90%
・•・Z1+Z3=90∖
••・ZAHG=I80°-(Z1+Z3)=180°-90o=90∖
・•・AE±GC・
(2)答:
成立:
证明:
延长AE和GC相交于点H,
在正方形ABCD和正方形DEFG中,
AD=DC,DE=DGtZADC=ZDCB=ZB=ZBAD=ZEDG=90%・•・ZI=Z2=90o-Z3:
・•・△ADE旻△CDG(SAS),
・•・AE=CG,Z5=Z4:
又•・•Z5+Z6=90%Z4+Z7=180°-ZDCE=I80°・90°=90%
Z6=Z7f
又∙/Z6+ZAEB=90∖ZAEB=ZCEH,
・•・ZCEH+Z7=90°,
・•・ZEHC=90o,
・•・AE±GC・
(3)如图3中,作CM丄DG于G,GN丄CD于N,CH丄FG于H,则四边形CMGH是矩形.可
•/BE=CE=I,AB=CD=2,
.・・AE=DE=CG=DG=FG=√5,
TDE=DG,ZDCE=ZGNDtZEDC=ZDGN,
・•・△DCE竺△GND(AAS),
・•・GCD=2,
TSδDCG=一∙CD∙NG=一∙DG∙CM,
22
••・2×2=√5∙CM,
CM=GH=^^
5
MG=CH=√cσ2-CM2«
/.FH=FG-FG=
故答案为JΣ∙
【点睛】
本题属于四边形综合题,考査了正方形的性质,全等三角形的判左和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
5•点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A,C重合),分别过点A,C向直线BP作垂线,垂足分别为点E,F,点O为AC的中点・
(1)如图「当点P与点O重合时,请你判断OE与OF的数星关系:
(2)当点P运动到如图2所示位置时,请你在图2中补全图形并通过证明判断
(1)中的结论是否仍然成立:
(3)若点P在射线OA上运动,恰好使得ZOEF=30。
时,猜想此时线段CF,AE,OE之间有怎样的数量关系,直接写出结论不必证明.
【答案】
(2)OE=OF.理由见解析:
(2)补全图形如图所示见解析,OE=OF仍然成立:
(3)CF=OE+AE或CF=OE-AE.
【解析】
【分析】
(1)根据矩形的性质以及垂线,即可判AL^OE≈^COF(AAS)t得岀oE=OF;
(2)先延长Fo交CF于点G,通过判AAOE=ACOG(ASA),得出0G=OE,再根据
RtAEFG中,of=Leg,即可得到0E=OF;
2
(3)根据点P在射线04上运动,需要分两种情况进行讨论:
当点P在线段0&上时,当点P在线段OA延长线上时,分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可.
【详解】
(1)OE=OF.理由如下:
如图1.
T四边形ABCD是矩形,.∙.OA=OC.
■:
AE丄BP,CF丄BP,.∙.ZAEO=ZCFO=90。
.
ZAEO=ZCFO
•.在ΔAOE和ACOF中,∖ΛAOE=ZCOFtaΔAOE≈ACOF(AAS),.∙.OE=OF-
OA=OC
(2)补全图形如图2,OE=OF仍然成立.证明如下:
延长Fo交CF于点G.
∙.∙AE丄BP,CF丄BP,.∙.AE∕∕CFt.∙.ZEAO=ZGCO.
又T点0为AC的中点,.∙.AO=CO.
ZEAO=ZGCO
在AAOE和ACOG中,∖AO=CO,.∙.^AOE=ACOG(ASA)t.∙.OG=OE,
ZAOE=COG
R(ΔEFG中,OrG,∙∙∙OE=O^
(3)CF=OE+AE或CF=OF-AE.
证明如下:
①如图2,当点P在线段0&上时.
•••ZoEF=30。
,ZEFG=90o,.∙.ZOGF=60°.由
(2)可得:
OF=OG,:
.∖OGF^.
等边三角形,.∙.FG=OF=OE,由
(2)可得:
MOE=ACOG,:
.CG=AE.
又TCF=GF+CG,:
.CF=OE+AE:
②如图3,当点P在线段OA延长线上时.
•••ZOEF=30o,ZEFG=90。
,.∙.ZOGF=60。
,同理可得:
AOGF是等边三角形,
.∙.FG=OF=OE,同理可得:
ΔAOE≡∆C(9G,.∙.CG=AE.
又∙.∙CF=GF-CG,:
.CF=OE-AE.
【点睹】
本题属于四边形综合题,主要考査了矩形的性质、全等三角形的性质和判左以及等边三角形的性质和判左,解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等,利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件,根据线段的和差关系使问题得以解决.
6.问题探究
(1)如图①,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别是边8C、CD上两点,且8M=CN,连接AM和8/V,交于点P.猜想AM与BN的位置关系,并证明你的结论.
(2)如图②,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从点8、C同时出发,以相同的速度沿3C、CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P,求卜APB周长的最大值;问题解决
(3)如图③,&C为边长为2√J的菱形MCD的对角线,ΛABC=SO0.点M和Λ/分别从点8、C同时岀发,以相同的速度沿BC、GA向终点C和A运动.连接AM和3A/,交于点P.求'APB周长的最大值.
图②国③
【答案】⑴AM丄BN,证明见解析:
(2)ΔAPB周长的最大值4+4√2:
(3)△PAB的周长最大值=2√3+4・
【解析】
试题分析:
根据全等三角形的判泄SAS证明AABM竺△BCN,即可证得AM丄BN:
(2)如图②,以AB为斜边向外作等腰宜角AAEB,ZAEB=90°.作EF丄PA于E,作
EG丄PB于G,连接EP,证明PA+PB二2EF,求岀EF的最大值即可;
(3)如图③,延长DA到K,使得AK=AB.则AABK是等边三角形,连接PK,取PH=PB,证明PA+PB=PK,求出PK的最大值即可•
试题解析:
(1)结论:
AM丄BN.
理由:
如图①中,
园①
•・・四边形ABCD是正方形,
・•・AB=BC>ZABM=ZBCN=90%
TBM=CN>
・•・△ABM^∆BCN,
・•・ZBAM=ZCBN,
TZCBN+ZABN=90∖
・•・ZABN+ZBAM=90o,
・•・ZAPB=90o,
・•・AMdBN.
(2)如图②中,以AB为斜边向外作等腰直角三角形AAEB,ZAEB=90o,作EF丄PA于E,作EG丄PB于G,连接EP.
•・•ZEFP=ZFPG=ZG=90∖
・・・四边形EFPG是矩形,
••・ZFEG=ZAEB=90∖
・•・ZAEF=ZBEGt
TEA=EB,ZEFA=ZG=90o,
・•・△AEF旻aBEG,
/.EF=EG,AF=BG,
.∙.四边形EFPG是正方形,
.IPA+PB=PF+AF+PG-BG=2PF=2EF,
•・・EFSAE,
∙∙∙EF的最大值=AE=2√2,
・•・△APB周长的最大值=4+4a∕2・
(3)如图③中,延长DA到K,使得AK=AB,则AABK是等边三角形,连接PK,取
PH=PB.
逐③
TAB二BC,ZABM=ZBCN,BM=CN,
・•・△ABM旻厶BCNt
・•・ZBAM=ZCBNf
・•・ZA-PN=ZBAM+ZABP=ZCBN+ZABN=60%
・•・ZAPB=I20°,
TZAKB=60%
・•・ZAKB+ZAPB=I80\
.•.A、K、B、P四点共圆,
・•・ZBPH=ZKAB=60%
TPH=PBt
・・・△PBH是等边三角形,
・•・ZKBA=ZHBPfBH=BP,
・•・ZKBH=ZABP,∙/BK=BAl
・•・△KBH旻AABP,
・•・HK=AP,
・•・PA+PB二KH+PH=PK,
∙∙.PK的值最大时,AAPB的周长最大,
.∙.当PK是AABK外接圆的直径时,PK的值最大,最大值为4,
・・・△PAB的周长最大值=2√⅞4
7.如图:
L若分别以AABC的AC、3C两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形,则称这两个正方形为外展双叶正方形.
(1)发现:
如图2,当ZC=90o时,求证:
AABC与ADCF的而积相等.
(2)引申:
如果ZC≠90°时,
(1)中结论还成立吗?
若成立,请结合图1给出证明;若不成立,请说明理由:
(3)运用:
如图3,分别以AABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形,则称这三个正方形为外展三叶正方形.已知NABC中,AC=3,BC=A.当
ZC=。
时,图中阴影部分的而积和有最大值是・
试题分析:
(1)因为AC=DC,ZACB=ZDCF=90。
,BC=FC,所以AABC^厶DFC,从而
△ABC与厶DFC的而积相等;
(2)延长BC到点P,过点A作AP丄BP于点P:
过点D作DQ丄FC于点Q.得到四边形ACDE,BCFG均为正方形,AC=CD,BC=CF,ZACP=ZDCQ.所以△APC旻心DQC・
于是AP=DQ.乂因为SδABC=—BC∙AP,SADFC=—FC∙DQ,所以SAABC=SAofc:
22
(3)根据
(2)得图中阴影部分的而积和是AABC的而积三倍,若图中阴影部分的而积和有最大值,则三角形ABC的面积最大,当AABC是直角三角形,即ZC是90度时,阴影部
分的而积和最大.所以S训彩邵分曲踊=3S“ABC=3×-×3×4=1&
2
(1)证明:
在AABC与ADFC中,
AC=DC•・・{AACB=ADCF,
BC=FC
・•・△ABQaDFC.
・•・∆ABC⅛ΔDFC的而积相等:
(2)解:
成立.理由如下:
如图,延长BC到点P,过点A作AP丄BP于点P:
过点D作DQ丄FC于点Q.
・•・ZAPC=ZDQC=90o.
・・•四边形ACDE,BCFG均为正方形,
・•・AC=CD>BC=CF,ZACP+ZPCD=90∖ZDCQ+ZPCD=90o,
・•・ZACP=ZDCQ・
ZAPC=ZDQC
:
.{ZACP=ZDCQt
AC=CD
△APQDQC(AAS),
・•・AP=DQ.
.11
又・SAABC=—BC∙AP9SADFC=—FC∙DQ,
22
•ISaABC=SADFC:
(3)解:
根据
(2)得图中阴影部分的而积和是AABC的面积三倍,
若图中阴影部分的而积和有最大值,则三角形ABC的而积最大,
.∙.当AABC是直角三角形,即ZC是90度时,阴影部分的面积和最大.
1
•∙S阿彫删価积和=3Saa8c=3x-χ3x4=l&
2
考点:
四边形综合题
&在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时岀发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.
(1)如图①,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由:
(2)如图②,当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,
(1)中的结论还成立吗?
(请你直接回答"是"或"否”,不须证明)
(3)如图③,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,
(1)中的结论还成立吗?
请说明理由;
(4)如图④,当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求岀线段CP的最小值.
(3)成立,理由见解析:
(4)CP=QC-QP=V5"1.
【解析】
试题分析:
(I)AE=DF,AE±DF.先证得△ADE竺△DCF.由全等三角形的性质得AE=DF,ZDAE=ZCDF,再由等角的余角相等可得AE丄DF:
(2)是.四边形ABCD是正方形,所以AD二DC,ZADE=ZDCF=90∖DE=CF,所以
△ADd&DCF,于是AE=DF,ZDAE=ZCDF,因为ZCDF+ZADF=90%ZDAE+ZADF=90∖所以AE丄DR
(3)成立・由
(1)同理可证AE=DF,ZDAE=ZCDF,延长FD交AE于点G,再由等角的余角相等可得AE丄DF:
(4)由于点P在运动中保持ZAPD=90。
,所以点P的路径是一段以AD为直径的弧,设AD的中点为Q,连接QC交弧于点P,此时CP的长度最小,再由勾股左理可得QC的长,再求CP即可.
试题解析:
(1)AE=DF,AE=DF.
理由:
Y四边形ABCD是正方形,∙∙∙AD二DC,ZADC=ZC=90o.
∖W=DC
在厶ADE和厶DCF中,∙ZADC=Zc,.∙.AADE^△DCF(SAS).
DE=CF
.∙.AE=DFtZDAE=ZCDFt由于ZCDF+ZADF=90∖.β.ZDAE+ZADF=90o・=AEdDF:
(2)是;
(3)成立.
理由:
由(
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