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大学物理学答案下
大学物理学答案【下】
北京邮电大学出版社
习题9
9.1选择题
(1)正方形的两对角线处各放置电荷Q,另两对角线各放置电荷q,若Q所受到合力为零,
则Q与q的关系为:
()
(A)Q=-23/2q(B)Q=23/2q(C)Q=-2q(D)Q=2q
[答案:
A]
(2)下面说法正确的是:
()
(A)若高斯面上的电场强度处处为零,则该面内必定没有电荷;
(B)若高斯面内没有电荷,则该面上的电场强度必定处处为零;
(C)若高斯面上的电场强度处处不为零,则该面内必定有电荷;
(D)若高斯面内有电荷,则该面上的电场强度必定处处不为零。
[答案:
D]
(3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ,则在距球面R处的电场强度()
(A)σ/ε0(B)σ/2ε0(C)σ/4ε0(D)σ/8ε0
[答案:
C]
(4)在电场中的导体内部的()
(A)电场和电势均为零;(B)电场不为零,电势均为零;
(C)电势和表面电势相等;(D)电势低于表面电势。
[答案:
C]
9.2填空题
(1)在静电场中,电势不变的区域,场强必定为
[答案:
相同]
(2)一个点电荷q放在立方体中心,则穿过某一表面的电通量为若将点电荷由中心向外移动至无限远,则总通量将。
[答案:
q/6ε0,将为零]
(3)电介质在电容器中作用(a)——(b)——。
[答案:
(a)提高电容器的容量;(b)延长电容器的使用寿命]
(4)电量Q均匀分布在半径为R的球体内,则球内球外的静电能之比
[答案:
5:
6]
9.3电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:
(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?
(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解:
如题9.3图示
(1)以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:
q'为负电荷
1q212cos30︒=4πε0a24πε0qq'(2a)3
解得q'=-q3
(2)与三角形边长无关.
题9.3图题9.4图
9.4两小球的质量都是m,都用长为l的细绳挂在同一点,它们带有相同电量,静止时两线夹角为2θ,如题9.4图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计,求每个小球所带的电量.
解:
如题9.4图示
Tcosθ=mg⎧⎪q2⎨Tsinθ=F=1
e⎪4πε0(2lsinθ)2⎩
解得q=2lsinθ40mgtan
9.5根据点电荷场强公式E=q
4πε0r2,当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时,则场强→
∞,这是没有物理意义的,对此应如何理解?
ϖ解:
E=q
4πε0r2ϖr0仅对点电荷成立,当r→0时,带电体不能再视为点电荷,再用上式求场强是错误的,实际带电体有一定形状大小,考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大.
9.6在真空中有A,B两平行板,相对距离为d,板面积为S,其带电量分别为+q和-q.则这两板之间有相互作用力f,有人说f=q2
4πε0d2,又有人说,因为f=qE,E=q,所ε0S
q2
以f=.试问这两种说法对吗?
为什么?
f到底应等于多少?
ε0S
解:
题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的,第二种说法把合场强E=q看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的.正确解答应为一个ε0S
qqq2
=板的电场为E=,另一板受它的作用力f=q,这是两板间相互作用2ε0S2ε0S2ε0S
的电场力.
-19.7长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C·m的正电荷.试求:
(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强;
(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm处Q点的场强.
解:
如题9.7图所示
(1)在带电直线上取线元dx,其上电量dq在P点产生场强为dEP=1λdx24πε0(a-x)
λEP=⎰dEP=4πε0⎰l2l-2dx题9.7图2(a-x)
=λ11[-]ll4πε0a-a+22
=
用l=15cm,λ=5.0⨯10-9λlπε0(4a2-l2)C⋅m-1,a=12.5cm代入得
EP=6.74⨯102N⋅C-1方向水平向右
(2)同理dEQ=
由于对称性dEQxl1λdx方向如题9.7图所示4πε0x2+d22ϖ=0,即EQ只有y分量,
1λdx=4πε
0x2+d2
2d2x+d22
2⎰∵dEQy
EQy=⎰dEQyldλ=24πε2
⎰l2l-2dx(x2+d22)32=
-9λl2πε0l+4d222以λ=5.0⨯10C⋅cm-1,l=15cm,d2=5cm代入得
EQ=EQy=14.96⨯102N⋅C-1,方向沿y轴正向
9.8一个半径为R的均匀带电半圆环,电荷线密度为λ,求环心处O点的场强.解:
如9.8图在圆上取dl=
Rdϕ
题9.8图
dq=λdl=Rλdϕ,它在O点产生场强大小为
dE=λRdϕ方向沿半径向外4πε0R2
则dEx=dEsinϕ=λsinϕdϕ4πε0R
-λcosϕdϕ4πε0Rπ-ϕ)=dEy=dEcos(
积分Ex=⎰π
0λλsinϕdϕ=4πε0R2πε0R
Ey=⎰π
0-λcosϕdϕ=04πε0R
∴E=Ex=
λ,方向沿x轴正向.2πε0R
9.9均匀带电的细线弯成正方形,边长为l,总电量为q.
(1)求这正方形轴线上离中心为r
处的场强E;
(2)证明:
在r>>l处,它相当于点电荷q产生的场强E.解:
如9.9图示,正方形一条边上电荷ϖq在P点产生物强dEP方向如图,大小为4
dEP=λ(cosθ1-cosθ2)
4πε0r2+l
42
∵cosθ1=lr2+l
22
cosθ2=-cosθ1
∴dEP=λ
4πε0r2+l
42lr2+l
22
ϖdEP在垂直于平面上的分量dE⊥=dEPcosβ
∴dE⊥=λl
4πε0r2+l
42rr2+l
22r2+
l
42
题9.9图
由于对称性,P点场强沿OP方向,大小为
EP=4⨯dE⊥=4λlr
4πε0(r2+ll)r2+4222
∵λ=
∴EP=q4l2qr
4πε0(r2+ll)r2+422方向沿
9.10
(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量;
(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?
ϖϖq解:
(1)由高斯定理E⋅dS=sε0
立方体六个面,当q在立方体中心时,每个面上电通量相等
∴各面电通量Φe=q.6ε0
(2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长2a的立方体,使q处于边长2a的立方体中心,则边长2a的正方形上电通量Φe=q6ε0
对于边长a的正方形,如果它不包含q所在的顶点,则Φe=
如果它包含q所在顶点则Φe=0.q,24ε0
如题9.10图所示.题9.10图
9.11均匀带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2×10
8cm,12cm各点的场强.
解:
高斯定理E⋅dS=s-5C·m求距球心5cm,-3ϖϖ∑q,E4πrε02=∑qε0
ϖ当r=5cm时,∑q=0,E=0
r=8cm时,∑q=p4π33)(r-r内3
ρ
∴E=4π32r-r内≈3.48⨯104N⋅C-1,方向沿半径向外.24πε0r()
r=12cm时,∑q=ρ4π33)(r外-r内3
ρ
∴E=4π33r外-r内3≈4.10⨯104N⋅C-1沿半径向外.24πε0r()
9.12半径为R1和R2(R2>R1)的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:
(1)r<R1;
(2)R1<r<R2;(3)r>R2处各点的场强.
ϖϖ解:
高斯定理E⋅dS=sqε0
取同轴圆柱形高斯面,侧面积S=2πrl
ϖϖ则E⋅dS=E2πrlS
对
(1)r ∑q=lλ (2)R1 ∴E=λ沿径向向外2πε0r (3)r>R2∑q=0 ∴E =0 题9.13图 9.13两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为σ1和σ2,试求空间各处场强. 解: 如题9.13图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为σ1与σ2,两面间,E=ϖ1ϖ(σ1-σ2)n2ε0 ϖ1ϖ(σ1+σ2)nσ1面外,E=-2ε0 σ2面外,E=ϖ1ϖ(σ1+σ2)n2ε0 ϖn: 垂直于两平面由σ1面指为σ2面. 9.14半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r<R的小球体,如题9.14图所示.试求: 两球心O与O'点的场强,并证明小球空腔内的电场是均匀的. 解: 将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电-ρ的均匀小球的组合,见题9.14图(a). ϖ (1)+ρ球在O点产生电场E10=0, ϖ-ρ球在O点产生电场E2043πrρ=OO'4πε0d3 ϖr3ρ;∴O点电场E0=3ε0d3 43πdρϖ (2)+ρ在O'产生电场E10'=34πε0d ϖ-ρ球在O'产生电场E20'=0 ϖρOO ∴O'点电场E0'=3ε0 题9.14图(a)题9.14图(b)ϖϖ(3)设空腔任一点P相对O'的位矢为r',相对O点位矢为r(如题8-13(b)图) ϖϖρr则EPO=,3ε0 ϖϖρr'EPO'=-,3ε0 ϖϖϖϖρϖϖρρd(r-r')=OO'=∴EP=EPO+EPO'=3ε03ε03ε0 ∴腔内场强是均匀的. -69.15一电偶极子由q=1.0×10C的两个异号点电荷组成,两电荷距离d=0.2cm,把这电 偶极子放在1.0×10N·C的外电场中,求外电场作用于电偶极子上的最大力矩.5-1 解: ∵电偶极子p在外场E中受力矩 ϖϖϖM=p⨯E ∴Mmax=pE=qlE代入数字 Mmax=1.0⨯10-6⨯2⨯10-3⨯1.0⨯105=2.0⨯10-4N⋅m 9.16两点电荷q1=1.5×10C,q2=3.0×10C,相距r1=42cm,要把它们之间的距离变为-8-8 r2=25cm,需作多少功? 解: A=⎰r2 r1ϖϖr2qqdrqq11F⋅dr=⎰122=12(-)r24πεr4πε0r1r20 =-6.55⨯10-6J 外力需作的功A'=-A=-6.55⨯10J -6 题9.17图 9.17如题9.17图所示,在A,B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷,AB间距离为2R,现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点,求移动过程中电场力作的功. 解: 如题9.17图示 UO=1qq(-)=04πε0RR UO=1qqq(-)=-4πε03RR6πε0R qoq6πε0R∴A=q0(UO-UC)= 9.18如题9.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心O点处的场强和电势.
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