学年人教版八年级数学上册等腰三角形的性质练习含答案.docx
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学年人教版八年级数学上册等腰三角形的性质练习含答案
等腰三角形的性质
一、选择题
1.如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于
AB同样长为半径画弧,两弧交于点C,D,连接AC,AD,BC,BD,CD,则下列说法错误的是( )
A.AB平分∠CADB.CD平分∠ACBC.AB⊥CDD.AB=CD
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,CD∥AB,则∠BCD=( )
A.40°B.50°C.60°D.70°
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数是( )
A.50°B.40°C.30°D.20°
4.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是( )
A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°
5.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,BD=BE,∠A=100°,则∠DEC=( )
A.90°B.100°C.105°D.110°
6.如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于( )
A.10B.5C.4D.3
7.如图,将一张长方形纸按图中虚线AD对折,再沿直线l剪开,再把它展开后得到△ABC,则下列结论错误的是( )
A.AD⊥BCB.BD=CDC.∠B=∠CD.AB=CB
8.如图,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,若∠C=65°,则∠DBC的度数是( )
A.25°B.20°C.30°D.15°
9.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在CA的延长线上,DE⊥BC于点E,∠BAC=100°,则∠D=( )
A.40°B.50°C.60°D.80°
10.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,它的顶角为( )
A.30°B.60°C.120°D.60°或120°
二、非选择题
11.已知:
如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=DC,∠C=35°,则∠BAD= 度.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(2)求证:
FB=FE.
13.问题:
如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:
∠DAC=45°.
思考:
(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?
说明理由.
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点,过点D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.
(1)当点D在BC的什么位置时,DE=DF?
请加以证明.
(2)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系?
请加以证明.
(3)若点D在底边BC的延长线上,
(2)中的结论还成立吗?
若不成立,又存在怎样的关系?
请说明理由.
15.如图,∠ACB=90°,D、E在AB上,AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数.
参考答案与试题解析
一、选择题
1.如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于
AB同样长为半径画弧,两弧交于点C,D,连接AC,AD,BC,BD,CD,则下列说法错误的是( )
A.AB平分∠CADB.CD平分∠ACBC.AB⊥CDD.AB=CD
【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形,再根据菱形的性质:
菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案.
【解答】解:
由作图知AC=AD=BC=BD,
∴四边形ACBD是菱形,
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD,
不能判断AB=CD,
故选:
D.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,CD∥AB,则∠BCD=( )
A.40°B.50°C.60°D.70°
【分析】根据等腰三角形的性质可求∠ACB,再根据平行线的性质可求∠BCD.
【解答】解:
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,
∴∠ACB=70°,
∵CD∥AB,
∴∠ACD=180°﹣∠A=140°,
∴∠BCD=∠ACD﹣∠ACB=70°.
故选:
D.
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数是( )
A.50°B.40°C.30°D.20°
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,
∴∠B=40°,
∵BC=BD,
∴∠BCD=∠BDC=
(180°﹣40°)=70°,
∴∠ACD=90°﹣70°=20°,
故选:
D.
4.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是( )
A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°
【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解.
【解答】解:
①80°角是顶角时,三角形的顶角为80°,
②80°角是底角时,顶角为180°﹣80°×2=20°,
综上所述,该等腰三角形顶角的度数为80°或20°.
故选:
B.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,BD=BE,∠A=100°,则∠DEC=( )
A.90°B.100°C.105°D.110°
【分析】由在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,根据等边对等角的性质,可求得∠ABC的度数,又由BD平分∠ABC,即可求得∠DBE的度数,又由等边对等角的性质,可求得∠BED的度数,根据平角的定义就可求出∠DEC的度数.
【解答】解:
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,
∴∠ABC=∠C=40°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBE=
∠ABC=20°,
∴∠BDE=∠BED=80°,
∴∠DEC=100°.
故选:
B.
6.如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于( )
A.10B.5C.4D.3
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解.
【解答】解:
∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,
∴CD=5.
故选:
B.
7.如图,将一张长方形纸按图中虚线AD对折,再沿直线l剪开,再把它展开后得到△ABC,则下列结论错误的是( )
A.AD⊥BCB.BD=CDC.∠B=∠CD.AB=CB
【分析】由图中操作可知:
AD所在直线是△ABC的对称轴,即可得出结论.
【解答】解:
由图中操作可知:
AD所在直线是△ABC的对称轴,
∴AD⊥BC,BD=CD,∠B=∠C,AB=AC,
∴A,B,C正确,D错误,
故选:
D.
8.如图,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,若∠C=65°,则∠DBC的度数是( )
A.25°B.20°C.30°D.15°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC,再根据垂直平分线的性质求出∠ABD,从而可得结果.
【解答】解:
∵AB=AC,∠C=∠ABC=65°,
∴∠A=180°﹣65°×2=50°,
∵MN垂直平分AB,
∴AD=BD,
∴∠A=∠ABD=50°,
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=15°,
故选:
D.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在CA的延长线上,DE⊥BC于点E,∠BAC=100°,则∠D=( )
A.40°B.50°C.60°D.80°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理,求得∠C=40°,然后根据直角三角形两锐角互余,即可求得∠D=50°.
【解答】解:
∵AB=AC,∠BAC=100°,
∴∠C=∠B=40°,
∵DE⊥BC于点E,
∴∠D=90°﹣∠C=50°,
故选:
B.
10.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,它的顶角为( )
A.30°B.60°C.120°D.60°或120°
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系,三角形内部,三角形的外部,三角形的边上.根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立,因而可分两种情况进行讨论.
【解答】解:
分两种情况:
①当高在三角形内部时(如图1),
∵∠ABD=30°,∴顶角∠A=90°﹣30°=60°;
②当高在三角形外部时(如图2),
∵∠ABD=30°,∴顶角∠CAB=90°+30°=120°.
故选:
D.
二、非选择题
11.已知:
如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=DC,∠C=35°,则∠BAD= 40 度.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论.
【解答】解:
∵AD=DC,
∴∠DAC=∠C=35°,
∴∠ADB=∠DAC+∠C=70°.
∵AB=AD,
∴∠B=∠ADB=70°,
∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=180°﹣70°﹣70°=40°.
故答案为:
40.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(2)求证:
FB=FE.
【分析】
(1)利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB=90°,再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题.
(2)只要证明∠FBE=∠FEB即可解决问题.
【解答】
(1)解:
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC,
∵∠C=36°,
∴∠ABC=36°,
∵BD=CD,AB=AC,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=90°﹣36°=54°.
(2)证明:
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=
∠ABC,
∵EF∥BC,
∴∠FEB=∠CBE,
∴∠FBE=∠FEB,
∴FB=FE.
13.问题:
如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:
∠DAC=45°.
思考:
(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?
说明理由.
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
【分析】
(1)根据三角形外角的性质得到∠AED=2∠C,①求得∠DAE=90°﹣∠BAD=90°﹣(45°+∠C)=45°﹣∠C,②由①,②即可得到结论;
(2)设∠ABC=m°,根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:
(1)∠DAC的度数不会改变;
∵EA=EC,
∴∠EAC=∠C,①,
∵BA=BD,
∴∠BAD=∠BDA,
∵∠BAE=90°,
∴∠B=90°﹣∠AED=90°﹣2∠C,
∴∠BAD=
(180°﹣∠B)=
[180°﹣(90°﹣2∠C)]=45°+∠C,
∴∠DAE=90°﹣∠BAD=90°﹣(45°+∠C)=45°﹣∠C,②
由①,②得,∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°﹣∠C+∠C=45°;
(2)设∠ABC=m°,
则∠BAD=
(180°﹣m°)=90°﹣
m°,∠AEB=180°﹣n°﹣m°,
∴∠DAE=n°﹣∠BAD=n°﹣90°+
m°,
∵EA=EC,
∴∠CAE=
AEB=90°﹣
n°﹣
m°,
∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°﹣90°+
m°+90°﹣
n°﹣
m°=
n°.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点,过点D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.
(1)当点D在BC的什么位置时,DE=DF?
请加以证明.
(2)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系?
请加以证明.
(3)若点D在底边BC的延长线上,
(2)中的结论还成立吗?
若不成立,又存在怎样的关系?
请说明理由.
【分析】
(1)当点D在BC的中点时,DE=DF,根据AAS证△BED≌△CFD,根据全等三角形的性质推出即可;
(2)连接AD,根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积,进行分析证明;
(3)类似
(2)的思路,仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系.即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积.
【解答】
(1)解:
当点D在BC的中点时,DE=DF.
理由:
如图1中,连接AD.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
在△BED和△CFD中,
,
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴DE=DF.
(2)解:
DE+DF=CG.证明如下:
如图2,连接AD,则S△ABC=S△ABD+S△ACD,
即
AB•CG=
AB•DE+
AC•DF.
∵AB=AC,
∴DE+DF=CG.
(3)解:
当点D在BC的延长线上时,
(2)中的结论不成立,但有DE﹣DF=CG.理由如下:
如图3,延长BC至点D,连接AD,过点D作DF⊥AC,交AC的延长线于点F,
则S△ABD=S△ABC+S△ACD,
即
AB•DE=
AB•CG+
AC•DF.
∵AB=AC,
∴DE=CG+DF,即DE﹣DF=CG.
15.如图,∠ACB=90°,D、E在AB上,AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度数.
【分析】由AD=AC,BC=BE,根据等边对等角得出∠ACD=∠ADC,∠BEC=∠ECB,再利用三角形内角和定理得出∠A=180°﹣2∠ADC,∠B=180°﹣2∠DEC,而∠A+∠B=90°,那么求出∠ADC+∠DEC=135°,则∠DCE=180°﹣(∠ADC+∠DEC)=180°﹣135°=45°.
【解答】解:
∵AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD.
∵BE=BC,
∴∠BEC=∠ECB.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°.
在△ACD中,∠A=180°﹣2∠ADC,
在△BCE中,∠B=180°﹣2∠DEC,
∴∠A+∠B=180°﹣2∠ADC+180°﹣2∠DEC=90°.
∴360°﹣2(∠ADC+∠DEC)=90°.
∴∠ADC+∠DEC=135°.
∴∠DCE=180°﹣(∠ADC+∠DEC)=180°﹣135°=45°.
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