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′(0必存在.
()
fx)
(3)若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在.()
(4)直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点.()
【解析】根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0,y0)处有导数,
则切线一定存在,但反之不一定成立,故
(1)对,
(2)错,(3)对,又根据切线的定
义知直线与曲线相切时其交点可能有多个,故(4)错.
【答案】
(1)√
(2)×
(3)√(4)×
2.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y′|x=2等
于()
A.1
B.-1
C.-3
D.3
【解析】
由题意知f′
(2)=3,即y′|x2=3.
=
【答案】
D
教材整理2
导函数
阅读教材P8“例3”~P9部分,完成下列问题.对于函数y=f(x),当x=x0
时,f′(x0是一个确定的数,当
x
变化时,′(便是
的一个函数,我们称它为
f(x)
)
fx)
的导函数(简称为导数),即f′(x)=y′=______________.
lim
fx+x-fx
x→0
判断(正确的打“√”,错误的打“×
(1)函数f(x)的导函数f′(x)是以x为自变量,以x的导数值为函数值的函
数.()
′(0
或
′|=0
是函数
f(x)在点x=x
0处的导数.(
(2)fx)(
yxx)
0处的函数值.(
(3)fx)(
f′(x)在点x=x
由导函数的定义知,
(1)
(2)(3)正确.
2
【答案】
(1)√
(2)√(3)√
[小组合作型]
求曲线在某点处切线的方
程
已知曲线C:
y=x3.
(1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程;
(2)第
(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?
【精彩点拨】
(1)先求切点坐标,再求y′|x=1,最后利用导数的几何意义写
出切线方程.
(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解.
【自主解答】
(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,∴切点P(1,1).
y
y′|x=1=lim
x→0x
1+x3-1
=lim
x→0x
=lim[3+3x+x2]=3.
∴k=y′|x=1=3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
y=3x-2,
(2)由y=x3,
x=1,x=-2,
解得或
y=1y=-8,
从而求得公共点为P(1,1)或M(-2,-8),
即切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另一公共点(-2,-8).
1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤:
(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0);
3
(2)写出切线方程,即y-y0=f′(x0)·
(x-x0).
π
特别注意:
若在点(x0,y0)处切线的倾斜角为2,此时所求的切线平行于y轴,
所以直线的切线方程为x=x0.
2.曲线的切线与曲线的交点可能不止一个.
[再练一题]
1.若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是-1,那么过点A的切线方程是
__________.
【导学号:
62952006】
【解析】切线的斜率为k=-1.
∴点A(1,2)处的切线方程为y-2=-(x-1),
即x+y-3=0.
【答案】x+y-3=0
求切点坐标
已知抛物线y=2x2+1.求:
(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°
?
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0?
【精彩点拨】设点的坐标→求出在该点处的导数→利用条件建立方程
→求出点的坐标
【自主解答】设切点的坐标为(x0,y0),则
222
y=2(x0+x)+1-2x0-1=4x0·
Δx+2(x).
∴x=4x0+2x.
∴f′(x0)=lim(4x0+2x)=4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°
,
∴斜率为tan45=°
1,
9
即f′(x0=
4x
0=1,得x0=,该点为
8.
4
(2)∵抛物线的切线平行于直线
4x-y-2=0,
∴斜率为4,
即f′(x0)=4x0=4,得x0=1,该点为(1,3).
1.本题关键是由条件得到直线的斜率,从而得知函数在某点处的导数,进
而求出切点的横坐标.
2.根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0,y0);
(2)求导函数f′(x);
(3)求切线的斜率f′(x0);
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;
(5)x0代入f(x)求y0得切点坐标.
2.上例中条件不变,求抛物线上哪一点的切线垂直于直线x+8y-3=0?
【解】∵抛物线的切线与直线x+8y-3=0垂直,
∴抛物线的切线的斜率为8.
由上例知f′(x0)=4x0=8,∴x0=2,y0=9.
即所求点的坐标为(2,9).
[探究共研型]
求曲线过某点的切线方
探究1曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点.
【提示】不一定,切线只是一个局部概念,是该点处的割线的极限位置,在其他地方可能还有一个或多个公共点.
探究2曲线过点P的切线是否一定以点P为切点?
【提示】当点P在曲线上时,点P可能是切点,也可能不是切点;
当点P不在曲线上时,点P一定不是切点.
已知曲线f(x)=x.
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程;
5
(2)求满足斜率为-3的曲线的切线方程.
【精彩点拨】
(1)点A不在曲线上,设切点坐标,写出切线方程,把A(1,0)
代入求出切点坐标,进而求出切线方程.
(2)设出切点坐标,由该点斜率为-3,求出切点,进而求出切线方程.
【自主解答】
x+x-x
(1)f′(x)=lim
-1
x+xx
=-2
x.
设过点A(1,0)的切线的切点为Px0,x0
①
,即该切线的斜率为
则f′(x0=-2
k=-
x0
.
因为点A(1,0),Px0,x0在切线上,
-0
②
所以
=-
x0-1
解得x0=2.故切线的斜率k=-4.
故曲线过点A(1,0)的切线方程为y=-4(x-1),
即4x+y-4=0.
11
(2)设斜率为-3的切线的切点为Qa,a,
11
由
(1)知,k=f′(a)=-a2=-3,得a=±
3.
3,-
所以切点坐标为
3,
或-
3.
故满足斜率为-3的曲线的切线方程为
y-
3=-
3(x-
3)或y+
3(x+
3),
即x+3y-2
3=0或x+3y+23=0.
6
1.求曲线“过某点”的切线方程的步骤
(1)设“过某点”的切线l与曲线相切的切点坐标为(x0,y0).
(2)用“在点(x
0,y0处”的切线求法,写出切线
l
的方程.
(3)利用切线“过某点”,其坐标满足切线方程,求出
x0与y0.
(4)将(x0,y0)代入
(2)中的切线l化简即求出“过某点”的切线方程.
2.若已知切线的斜率,则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标,
根据点斜式写出切线方程.
3.求曲线y=f(x)=x2+1过点P(1,0)的切线方程.
【解】设切点为Q(a,a2+1),fa+x
-
fa
+
2+1-a2+1
=2a
=ax
+x,当
x趋于0
时,(2a+x)趋于2a,所以所求切线的斜率为2a.因此,
a2+1-0
=2a,解得a=1±
2,所求的切线方程为
y=(2+2
2)x-(2+2
2)或
a-1
y=(2-2
2)x-(2-2
2).
0,f(x0
处的切线方程为
2x
+=,则
1.若曲线y=f(x)在点(x))
10()
A.f′(x0)>0B.f′(x0)<0
C.f′(x0)=0D.f′(x0)不存在
【解析】由切线方程可以看出其斜率是2,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,所以A正确.
【答案】A
2.曲线y=2x-2
在点x=1处的切线的倾斜角为()
A.30°
B.45°
C.135°
D.165°
∵y=
2x-2,
7
2-2-
-2
∴y′=lim
2x+x
x2+x·
Δx
x=
x.
→
x0
∴y′x=1=1,
∴切线的斜率为1,倾斜角为45°
【答案】B
.曲线
2在点(-2,-1)处的切线方程为________.
f′(-2)=lim
f-2+x-f-2
-2+x+1
-2+
∴切线方程为y+1=-
2(x+2),
即x+2y+4=0.
【答案】x+2y+4=0
4.已知二次函数y=f(x)的图象如图1-1-6所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为:
f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”).
图1-1-6
【解析】f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,
由图象可得f′(a)>f′(b).
【答案】>
5.已知直线y=4x+a和曲线y=x3-2x2+3相切,求切点坐标及a的值.
8
【解】
设直线l与曲线相切于点P(x0,y0,则
′(=
x+x3-2x+x2+3-x3-2x2+3
=3x2-4x.
由导数的几何意义,得
k=f′(x=
2-4x=4,
0)
3x00
解得x0=-3或x0=2,
249
∴切点坐标为-3,27或(2,3).
当切点为-2,49
时,有
49=4×
-2
+a,
27
∴a=
121
27.
当切点为(2,3)时,有3=4×
2+a,
∴a=-5,
因此切点坐标为-3,27或(2,3),
a的值为27或-5.
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- 关 键 词:
- 导数 几何 意义