分析力学王章辉.docx
- 文档编号:12116017
- 上传时间:2023-06-04
- 格式:DOCX
- 页数:9
- 大小:150.72KB
分析力学王章辉.docx
《分析力学王章辉.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《分析力学王章辉.docx(9页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
分析力学王章辉
牛顿力学与分析力学解题方法之浅析
王章辉0711370124
【摘要】阐述理论力学中两种不同的解题方法—牛顿力学与分析力学的相同之处。
然后通过两种方法在研究力学体系的平衡问题和运动问题的比较,表明分析力学方法具有更高的概括性和统一性,它使得经典力学的理论体系更加严谨。
【关键词】理论力学;牛顿力学;分析力学;
《理论力学》是理论物理中的一门基础理论课。
就研究问题方式、解决问题的方法而言,大体上可分为两部分,即牛顿力学体系和分析力学体系。
牛顿力学与分析力学是两套平行的力学理论体系,他们用不同的数学语言表达了机械运动的同一客观规律。
从力学规律的内容来看,分析力学方程与牛顿力学方程是等价的。
因为达朗伯原理的出发点就是牛顿运动定律,而后面进行的所有推导都只是改变表达式的形式。
解决理论力学问题时,不论牛顿力学方法还是分析力学方法,一般都是首先把物理问题表示(转化)成一个数学问题,然后再来解决这个数学问题,最后根据数学的解答来分析力学现象。
本文的通过两种方法在研究力学体系的平衡问题和运动问题的比较,体现出两者在解决理论力学问题时两种方法的不同之处,从而表明表明分析力学方法具有更高的概括性和统一性,它使得经典力学的理论体系更加严谨。
一牛顿力学与分析力学方法在处理力学体系平衡问题时的比较
牛顿力学在解决平衡问题时,从“力”的观点(力系的主矢和对简化中心的主矩均为零)出发,去表征平衡条件,静力平衡问题和动力平衡问题都可以解决。
牛顿力学中给出的静力学平衡条件,是针对刚体而言的(质点作为其特例),它不适用于一般质点系。
分析力学中解决平衡问题最具代表性的是伯努利的“虚功原理”,此原理确切表述如下:
对不可解的理想的稳定约束系统,在初始静止的前提下,其保持平衡的充要条件是,作用在此力学体系的所有主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零,即
这里应注意的是原理仅仅表征了体系“静止平衡”的条件,而不是“运动平衡”的条件,且初始静止的前提是必要的。
虚功原理从“力作功”作为研究问题的切入点,即从能量角度去表征力学体系的平衡条件,它是处理各类力学系统(质点、质点系、刚体等)静力学问题的基本原理。
虚功原理只涉及主动力,这是因为静止平衡的力学体系受有理想约束,未知的约束反力不会出现在虚功原理中,这给解决受有理想约束的多约束力学体系的静力学问题带来极大方便,这是虚功原理的突出优点。
下面通过例题看看两种方法的特点。
例1半径为r的光滑半球形碗,固定在水平面上,一均质细棒斜靠在碗缘,一端在碗内,一端在碗外,在碗内的长度为c,试证棒的全长为:
解法l(牛顿力学方法):
设棒长为l,质量为m,其受力分析如图1所示,据平衡方程得:
(1)
(2)
(3)
由
(1)
(2)(3)式和
,
可求得棒长为:
证毕。
牛顿力学解决此类问题,运用了静力学平衡方程及简单的几何知识,总体看来,思路明确清晰,方法简便易懂。
解法2(分析力学方法):
杆受理想约束,杆的位置可由杆与水平方向夹角唯一确定,杆的自由度为1,设棒长为L,如图2所示,建立坐标系x0y,棒所受主动力只有重力
,
由虚功原理:
有
即
取
为广义坐标:
只有
所以
证毕;
运用“虚功原理”建立方程,不像牛顿力学那样各个力都确切标明,只须分析、标明主动力即可,这是它的优点。
它不仅适用于刚体,而且也适用于一般质点系。
较牛顿力学的平衡方程更具广泛性,更反映问题实质。
二牛顿力学与分析力学方法在处理力学体系运动问题时的比较
2.1牛顿力学
牛顿把物质、时空、运动,从一般哲学概念发展为可用数学作定量表述的定义、定律、定理,以其严谨的知识结构,建立了牛顿力学体系,并使之成为力学中最基本的理论体系,迅速得到公众的广泛确认。
随着生产力的发展,求力学体系的运动问题时常常要解算大量的微分方程,如果力学体系受到约束,则因约束反力都是未知的,所以方程数不但不会减少反而会增加,随着约束的增加,方程的数量也在增加,从而增加了问题的复杂性,有时会使问题的求解变为不可能。
2.2分析力学
分析力学方法处理力学体系运动问题时,拉格朗日方程是最具代表性的普遍适用的方程。
对于受
有完整、理想的具有S个自由度的力学体系,拉格朗日方程为
上述方程的数目等于力学体系的自由度数,其中T是力学体系相对惯性系的动能,
分别为广义坐标和广义速度,
是与广义坐标
对应的广义力
如果力学体系受有完整、理想约束且主动力为保守力,则拉格朗日方程为:
用分析力学方法建立系统的运动微分方程,无须过问约束反力的具体情况,未知的约束力不出现
在方程中,且约束越多,方程数越少。
它克服了牛顿力学方法在多约束系统中遇到的困难。
例2质量为M半径为r的均质圆柱体放在粗糙的水平面上,柱的外面绕有轻绳,绳子跨过一个
很轻的滑轮,并悬挂一质量为m的物体,设圆柱体只滚不滑,并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的,如图3所示,求圆柱体质心的加速度a1.,物体的加速度a2及绳中张力T。
解法1(牛顿力学方法):
取隔离体,受力分析如图3所示。
圆柱体作平面平行运动,物体m作平动,动力学方程为:
对m
对M
圆柱体只滚不滑
以上5式联立得
可以看出,牛顿力学解决力学体系运动问题时,注重的物理量是力和加速度,研究问题的方法基本上是借助于矢量和几何图形,分析质点的受力情况,根据牛顿运动定律,建立运动微分方程,求解未知量。
解法2(分析力学方法):
如下图4建立坐标系下oy,系统自由度为1,选y为广义坐标。
物体m的动能和势能为:
;
圆柱体M的动能
圆柱体只滚不滑
A点的速度等于m的速度:
系统拉氏函
代人拉氏方程得:
通过例题可以看出,对于主动力是保守力的力学体系,分析力学注重的物理量是能量,从数学上讲,处理对象从矢量转变为标量,处理方法也从几何方法转变为数学分析的方法。
我们也看到,在处理束缚体系时,由于拉格朗日方程中不含约束反力,避免了约束反力引起的麻烦。
所以分析力学方法在处理力学体系运动问题时显示出了很大的优越性。
由分析比较我们认识到,牛顿力学方法,面对的物理量是矢量,借助几何图形,解题思路明确清晰,既可求出运动规律,也能求出约束反力,但对于多约束的力学体系,此方法会陷入困境。
分析力学方法,面对的物理量是标量,采用数学分析的方法,此方法具有更高的概括性和统一性,较牛顿力学方法有一定的优越性,主要反映在以下几个方面(以拉格朗日方程为例):
1)拉格朗日方程的形式对任何广义坐标保持不变,而且广义坐标可以同时选线量和角量,也可以同时选相对量和绝对量,分析力学采用的广义坐标比牛顿力学中采用的坐标变量要广泛的多。
2)拉格朗日方程的个数与力学体系的约束条件有关,约束越多,方程数越少,对多约束的力学体系,分析力学方法显示出了优越性。
3)拉格朗日方程为建立系统的运动微分方程提供了统一的程序化的方法,不论对任何力学系统,不论对何种运动形式,用分析力学方法建立方程的过程都是相同的。
分析力学方法采用能量分析以及数学解析的方法,这不仅是计算方法上的进步,而且有利于将这种方法推广到物理学的其它领域中去。
4)拉格朗日方程的形式与力学系统的结构和运动形式无关,在牛顿力学中,质点、质点组、刚体等力学系统都各有适合于该系统的基本动力学方程,这些方程不是都能通用的。
但分析力学中,各种力学系统的运动方程潜藏在统一的拉格朗日方程中。
由于拉格朗日方程形式的高度概括性,使方程的物理图像不如牛顿力学那么直观、那么容易理解,这是分析力学方法的不足之处。
综上所述,从理论上看,牛顿力学是从物体受力的角度导出其动力学方程的,分析力学则是从能量的角度来导出其动力学方程的。
力仅是力学范围内的一个物理量,而能量则是整个物理学的一个基本物理量,这就使拉格朗日方程成为了力学和物理学其他分支相互联系的桥梁,所以分析力学方法具有更高的概括性和统一性,它使得经典力学的理论体系更加严谨,它代表了经典力学的重大发展。
[参考文献]
[1]胡守信.理论力学[M].北京:
高等教育出版社,1986:
456—458.
[2]贾玉江,刘云鹏,战永杰.理论力学疑难及易混问题分析[M].长春:
东北师范大学出版社,1987:
247.
[3]卢圣治.理论力学基本教程[M].北京:
北京师范大学出版社,2004:
222—223.
[4]胡静,程达三,林君为,等.理论力学习作课指导[M].北京:
北京师范大学出版社.1987:
311—312.
·
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 分析 力学 王章辉