七年级数学上册第五章北师大版电子书.docx
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七年级数学上册第五章北师大版电子书
第五章一元一次方程
圈出m力屮一个竖列上相邻的三个n期,把它们的和告诉我,我能马上知道这•:
天分别*儿号.你想知道这进为什么吗?
利用方程的知识试试肴.
1你今年几岁了
如果设小彬的年龄为x岁,那么“乘2洱减5”就妊,
所以得到等式:
.像这样含有未知数的等式叫做方程
(equation).使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫方程的解.
到1米,那么可以得到方程:
小颖种了一株树苗,开始时树苗高为40IM米,栽种后每周树苗长高约5M米,大约儿周后树苗长苡到1米?
如采设X周后树茁长高
第五次全国人口普查统计数据(2001年3〗彳28新华社公
截至2000年11月1日0时,全W每10万人中具有大学文化程度的人数为3611人,比1990年7月1曰0时增长了153.94%.
某长方形足球场的周长为3H)米,长和宽之差为25米,这个足球场的长与宽分别是多少米?
如采设这个足球场的宽为x米,那么长为(r+25>米.由此可以得到方程:
.
f议一议上而的方程a什么共同点?
在-个方程屮,H含有一个未知数.v(元),并且未知数的指数*1(次),这样的A'程叫做一元一次方程linearequationwithoneunknown).
•我PI古代称米知数为元.RtV有一个未知数的方稈叫做一元方稃.一元方稈的解也叫根.
/随堂练习
1.根据题意,列出方程:
(1)在一卷公元m1600年左右遗留下来的方埃及草祛中,
数学问题.其中一个问题翻译过来是:
“啊枪,它的全部,它的j,其和等于19.”你能求出问题中的“它”吗?
(2)乙两队开展足球对抗赛,蚬定每队胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.屮队与乙队一共比弈了10场,屮队保持了不败ii:
录,贝得了22分.中队胜了多少场?
平了多少场?
习賤5.1
1.根据題意,列出方枝:
一个啟的{与3的差等于最大的一位跃,求这个数.
1.请用自己的年龄编一道问题,并列出方楛.
\问睡解决/
1.根据塏恚,列出方
(1)根据2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数掂,我至2000年11月1日0时,全阗每10万人中只具有小学文化权度的人敫为35701人,比1利0年7月1日0时减少了3.66%,1990年6月底每10万人中约有多少人只具有小学文化:
a度?
(2)莱商店对超过15000元的物品提供分期付款服务,闻客可以先付3000元,以后每月付1500元.王叔叔想用分期付肷的形式购买价
值19500元的电胲,他需要明多长时间才能付清全部资款?
天平两边同时拿去相同质簠的砝码.天平仍然平衡-
天平两边同时>
加入相同质量的砝码.天平仍然平衡•
Fifti我们研究如何用等式的fi本性质解一元一次方程.
如采将天平肴成等式,那么从上W可以得到:
等式两边同时加上(或减去)同-个代数式,所得结采仍是等式•
•:
®如果天平两边砝妁的质贵同时扩人相同的倍数或同时缩小为原来的儿分之-,那么天平还保持平衡吗?
等式网边同时乘同•个数(或除以同•个不为o的数>,所得结果仍是等式.
利用等式性质可以解一元一次方程.
例1解下列方程:
(1)^+2=5,
(2)3=x-5.
3+5=jf-5+5.于是8=x.
惯I:
我们写成^=8.
解:
(1)方程两边同时减去2,得
化简,得a:
=-5.
(2)方程两边同时加上2,得
-•y-2+2=10+2.
化简,得一号=12.
方程两边同时乘-3,得;/=-36.
V®现在你能帮小彬解开1:
节‘课的那个谜吗?
/随堂练习
1.解下列方程:
(1)^-9=8,
(2)5-y=~16,
(3)3x+4=-13;(4)-jx-1=5.
2.小明编了一道这样的题:
我是4月出生的,我的年齡的2倍加上8,正好足我M!
生那一月的总大数.你拈我有儿岁?
访你求出小明的年龄.
习賤5.2
例2解下列方程:
(1)-3x=15,⑵一号一2=10.
解:
⑴方程两边同时除以一3,得
⑶^一+=-士:
⑷+=号一去•
1701
2.小颖碰釗这徉一道W方权的題:
2r=Sx,她在方《的两边都除以r,免然得到2=5•你能说出她错在哪里吗?
2解方程
解方程:
5x-2=8.
方程两边都加上2,得
5r-2+2=8+2,
也就玆5r=8+2.
比较这个方程与原方程,可以发现,这个变形相4丁
5x-2=8,
5x=8+2.
即把职方程屮的-2改变符号后,从方程的-•边移到另一边,这种变形叫移项(transpositionofterms).
闪此,方程5x-2=8也可以这样解:
移项,得
5x=8+2.
化简,得5x=10.
方程两边同除以5,得jt=2.
例1解下列方程:
(1)2x+6=1,
(2)3x+3=2x+7.
m:
d)移项,得
2x=1-6.
化简,得2x^-5.
方程两边冋除以2,得x=-4.
(2)
3r-2x=7-3.
移项,得
合并同类项,得
例2解方程:
+x=-+x+3.
解:
移项,得+=
合并同类项,得|^=3.
方程两边同除以•(或同乘+>,得r=4.
/随堂练习
1.解下列方程:
(2)5a•-2=7x+8,(4)|^^x=^x+•
(1)10乂一3=9,
(3)x=\x+16
二]^5.3
1.解下列方乜:
(1)4x-2=3-Xi
(2)-7x+2=2r-4i
(3)-x=-+1,(4)2x—士=-含十2.
2.求解本幸系一节课中的问題.
》廬咖驗
1.某航空公司规定:
农坐飞机普通舱旅容一人最多可免IT托运20千免行李.超过部分每千免按飞机票价的丨.5%昀买行李黍.一名旅客托运了35千免行李,机票连同行李U•共付1323元,求该旅落的机桑票价.
1听果奶多少钱?
如果设1听果奶x元,那么可列出方程
4(x+0.5)+x=20-3.
V想一想
(1)这个方程列得对吗?
为什么?
你还能列出不同的方程吗?
(2)怎样解所列的方程?
你知ill丨听采奶多少钱吗?
解出你所列的力松.
找你3/C
例3解方程:
4(x+0.5)+r=17解:
去括号,得
4x+2+x=17.
移项,得
4x+x=17
合并同类项,得5^=15.
方程两边同除以5,得r=3.
2(x-1)=4.
例4解方程:
解法一:
去括号,得
-2x+2=4.
移项,得-2r=4-2.
化简,得-2r=2.
方程两边同除以-2,得^=-1.
解法二:
方程网边同除以-2,得
x—1=—2.
移项,得x=-2+i.
即JC=-1.
f观察上述两种解方程的方法,说出它们的区别,
与同伴进行交流.
/随堂练习
~V
1.解下列方程:
(2)2-(1-^)=-2i
(4)4又-3(20-4=3,(6)2(3-x)=9,
⑻一2(x-2)=\2.
(1)5(x-l)=1,
(3)llx+1=5(2r+1),(5)5U+8)-5=0,
(7)-3(x+3)=24,
I.解下列方《:
2解方程
习IS5.4
(1)12(2-3xr)=4r+4,⑵6-3(x+吾>=吾,
⑶2(200-15x)=70+25x;⑷3(2r+1)=12.
2.如果用c表示摄氏溫度(C),/表示华氏溫度(下>,那么c与/之间的关系是:
0=吾(/一32>.已知=15,求/.
3.求解习題5.1中的方杻.
1.一个两位数,十位数字是个位数字的两倍,将两个数字对调后得到的两位数比原来的数小36,求这个两位数.
例5解方程:
±(x+14)=|(x+20).
解法一:
去括号,得
yX+2=+X+5.
移项、合并同类项,得
-3=..
I柯边R除以矗(或同难¥>,得
-28=夂
即^=-28.
解法二:
去分母,得4(x+14)=7(jc+20).去括号,得4x+56=lx+140.
(1)每人准备-份n历,在各fl的nw上任意圈出一个竖列上相邻的4个数.两人分别把&己所圈4个数的和告诉同伴,由同伴求出这4个数.
(2)在各S的n历上,用一个正方形任意圈出2X2个数(如10,11,17,18>,把它们的和告诉同伴,由同伴求出这4个数.
例1在上而的游戏中,如果用JF.方形所_出的4个数的和是76,这4天分别是儿号?
解:
设最小的数为心则其氽3个数
1.你能在曰历中出一个竖列上相邙的3个数,使焊它们的和是40吗?
为什么?
3曰历中的方程
1_讎
1.找人一起做上面猜日期的游戏.
2.小彬肢期外出旅行一周,这一周各天的日期之和是S4.小彬是几号田家的?
3.有一些分别标有6,12,18,24,…的卡片,后一张卡片上的致比前一张卡片上的数大6,小明拿到了相邻的3张卡片,1这些十片上的数之和为342.
(1)小明拿到了哪3张卡片?
你能拿到相部的3张卡片,使得这些卡片上的致之和是桃吗?
4我变Ht•了
将-个底面ft径*10厘米、高为36厘米的“瘦长”形圆夺I•:
锻m成底而克径为20M米的“矮胖”形P柱,A变成了多少?
假设在锻过程中p柱的体m保持不变,耶么在这个问题中嵙如下的等希关系:
锻汛前的体积=锻甩后的体积.
设锻)Ji后岡拄的高为rM米,填S卜表:
锻压前
锻枨后
底面半径
体积
根据等讀关系,列出方程:
解得乂=•
I大I此,高变成丫61米.
例1用一根长为10米的铁丝闹成一个长方形.
(1)使彳#该长方形的长比宽多1.4米,此时长方形的长、宽各为多少米?
(2)使得该长方形的长比宽多0.8米,此时长方形的长.宽各为多少米?
它所闹成的长方形与
(1)屮所闹长方形相比,而积有什么变化?
(3)使得该长方形的长与宽相等,即闱成一个正方形,此时正方形的边长是多少米?
它所It械的面积与⑵屮fll比又#什么变化?
分析:
由题意知,长方形的周长始终*不变的,即长与宽的不11为:
10+2=5(米).在解决这个问题的过程中,要抓往这个等撖关系.
解:
(1)设此时长方形的宽为^米,则它的长为U+1.4)米.
根据®意,得r+r+1.4=10-r2.
2x=3.6.x=1.8.
1.8+1.4=3.2.
此时长方形的长为3.2米,宽为1.8米.
(2)设此时长方形的宽为r米,则它的长为(.Y+0.8)米.
根据题意,得x+x+0.8=10-r2.
2x=4.2.x=2A.
2.1+0.8=2.9.
此时长方形的长为2.9米,宽为2.1米,它所_成的面积为2.9x2.!
=6.09(米2>,⑴中长方形所围成的面积为3.2x1.8=5.76(米2).此时长方形的面积比⑴中面积增大6.09-5,76=0,33(米2),
(3)设正方形的边长为:
^米.
根据题意,得
A:
+JT=10+2.
x=2.5.
正方形的边长为2.5米,它所成的而积为2.5x2.5=6.25(米2),比⑵中而积增大6.25—6.09=0.16(米2>
/随堂练习
(第|趟>
瞎转圈”的道理
有人捏经货过一个很有趣的实验:
在草坪上整齐地排列着100名飞行员,把他们的眼睛都t起来,然后叫他们一茛向f走去.起初.他们走得还直,接着一些人渐渐向右偏转,另一些人向左悚转.遌渐转起圈来,嘏后他们又踏上了自己已走过的路径.实际上,很久以前人们就已经注意到:
没有携带指南针在荒漠中的旅行家.部不t走成1线方向.而是绕费屈阐打转,接连多次回到他的出发点.
i.墙上钉狞刖•根彩绳m成的梯形形状的饰物,如右阁实线所木.小颍将梯形下欣的钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,如右凼虚线所示.小颖所钉长方形的长,宽各为多少哝凇?
另一方面,如果他行走一K的平均步长为0.7米,那么走完_阅所
2kR
走步数可以近«地等于2nR
0.
即左右M所走步数都可以近似地#S
2x0.7
0.2jt米,即
.把这个结果乘两腿步长差x,就应为两醚行走一阁长度的差
2nRx
=0.2n
2x0.7
Rx=0.14_
上面的现象看来仿佛有点神秘,其实遒埋并不S杂,人走路的时誤,只有两腿肌肉工作得完全相同,他才可以不需要用眼睛就能走成直线.但实际上,绝大多数人的双腿肌肉发育得并不相同.举一个例子来说,一位步行者左隧比右胰迈的步子大,除非用眼睛来帮助修正走路的方向,否则他就要向右边斜过去.直至走成两个同心圆(如下图所示).如果他左右两腿走路的时候踏脚线间的距离大约是10厘米.即0.1米.那么当这个人走完一个圓周时.ft右隨走的路途是2^.左璉是+两隨行走长度的差为2jtx0.1=0.271(米)•
如果这个人左腿每一步比右逑多o.4亳米.那么蒙上眼晴后他所走;a周的半径满足方程0.0004穴=0.14,即/e大约为350米.
习較5.7
(第1联)
1.如围是两个圖柱体的容器、它们的直径分别为4cm和8cm,高分别为39cm和10cm.我们先在第二个容器中倒满水,然后将其倒入芊一个容器中.问:
倒完以后,系一个容器中的水面离版口有多少厘米?
小明是这徉做的:
设倒完以后,系一个容器中的水面离瓶口有x厘米,列方:
aji•2:
•(39-x)=ji•4:
•10•解得x=-1.
你能对他的纺果作出合理解释吗?
1.第一块实验田的面枳比第二块实验田的3倍还多100米•’,这两块实验田共2900米2,两块实猃田的面枳分别是多少平方米?
2.如图所示,小明将一个正方形紙片剪去一个寬为4厘米的长条后,再从利下的长方形纸片上努去一个宽为5厘米的长条.如策两次剪下的长条面枳正好fe等,那么每一个长条的面枳为多少?
4厘米
5旭米
a
(第2H)
5打折销售
5打折销售
一家商店将某种服装按成本价提苡40%后标价,又以8折(即按标价的80%)优惠丈出,结米每件仍获利15元,这种服装每件的成本是多少元?
v*~ai这15元的綱是怎么来的?
我们知道,每件商品的利润赶商AAW价与商品成本价的差.如果设每件服装的成本价为x元,那么
每件服装的标价为:
;
每件服装的实际售价为:
;
每件服装的利润为:
由此,列出方程:
解方程,得欠=
W此每件服装的成本价是元.
用•元•次方程解决实际问题的•般步骤是什么?
1娜_齡
今
1
4
不合理
—1夺纛夭系
列出
解释P
解的性
方程的解^fiVi
f议一议
/随堂练习
1.-件夹克按成本价提茼50%后标价.后因季货关系按标价的8折出饵.符件以60元女出,这批夹克毎件的成本价足多少元?
i.到商场了畊打折俏铒的情况,自己编写一道可以用方权_决的应用題,并给出w答.
1.一件商品按成本价提高20%后标价,又以9折销售,售价为270元,这祌商品的成本价是多少?
某商场的电視机原价为2500元,现以8折州售,如果想使降价前后的销售额都为10万元,那么销《量应增加多少?
6“希望工程"义演
6“希M工程”义演
某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演,共售出1000张赀,筹得粟款6950元.成人票与学生赀各傻出多少张?
®I•.而的问题屮包含哪件等莆关系?
忾出的票包括成人眾和孕生票,所得票款包括成人票款和,生贺款,因此这个问题中包含着下而两个等tt关系:
成人眾数+学生眾数=10U(J张,
(1)
成人罘款+学生罘款=6950元.(2>
设W出的空生筇为y张,填1K表:
学生
成人
票数/张
«款/元
根据等蜞关系
(2),可列出方程:
解得x=
闪此,俜出成人票张,学生粟张.
设所得的学牛票款为;^己,垠写下表:
学生
成人
疾数/张
«款/元
根据等《关系
(1),可列出方程:
解得少=•
W此,售出成人票张,学生樂张.
v»-«如果费价不变,那么饵出1ooo张费所得费款可能是6930元吗?
为什么?
/随堂练习
1.小明】IU72元钱买r两种书,共10本,中.价分别为18元、10元.毎种书小明各买了多少本?
习题5.9
I.在“希免工狂”义演的问題中,如果系价和售出的总票数都不变,所得票款可能是6932元吗?
如果可能,成人桑比学生系多售出多少张?
1.星星果汁苁中的中果汁比方种果汁贵丨元,小彬和同学要了3杯万种果汁,2杯4种果汁,一共花了16元.』种果汁.万种果汁的单价分則是多少元?
2.一个书架宽88縻米,臬一层上摆满了妗一册的敖学书和语文书.共90木.小明量得一本数孕书烊().8厘米,一本语文书璆1.2厘米.你如道这层书架上致学书和语文书各有多少本吗?
7能追上小明吗
小明每天?
•I:
耍在7:
50之前赶到距家1000米的节校I:
学•
天,小明以80米/分的速度出发,5分后,小明的爸爸发现他忘丫带语文书.于是,爸爸立即以180米/分的速度t•追小明,并K在途中追上了他.
(1)爸爸追上小明用了多长时间?
(2)追I:
小明时,距离学校还侖多远?
分析:
,爸爸追h小明时,两人所行距离相等.在解决这个问题时,要抓住这个等贵关系.
解“1)设爸爸追上小明用了X分.
根据题意,得mx=80x+80X5.化简,得100x=400.
x=A.
W此,爸S追上小明用广4分.
(2)因为180x4=720(米),
1000—720=280(米)•
所以,追上小明时,距离空校还有280米.
if议-议
育红学校七屯级学牛步行到郊外旅行•⑴班的,牛iR成削队,步行速度为4千米/时,⑵班的学生组成;r;队,速度为6千米/时.前队出发1时f,队才出发,同咏ri队派-名联络员骑自行车在两队之间不问断地来回进行联络,他骑车的速度为12千米/时.
根据_匕而的事实提出问题并尝试去解答.
习H5.10
1.给定方乜2.5jf+2.5(x+2>=55,你能联系生活实际煸写一道数学问题吗?
问题解决,
1.小彬和小明每天早展坚持跑步,小形每秒跑4米,小明每秒跑6米.
(1)如果他们站在5■米跑道的两端同时相向起跑,鄒么几秒后两人相邁?
(2)如果小明站在百米跑道的起点处,小彬站在他前面10米处,两人同时同向起跑,几秒后小明能追上小形?
一个自行车队进行训练,圳练时所有队资郐以35千米/时的速度前进.突然,1号队边以45千未/时的速度独自行进,行进10千米后捭转车头,仍以45千米/时的速度往回騎,直到与其他队HI会合.丨号队场从离队开始到与队ft重新会合,经过了多长时间?
sss
.«^ r^ss.^s -f -f^tfcs3 ss.0s^s^000^ ^—s,.-i^sis •^a^ss si^sstsss 涅灰装-K4SUIKUt-6661>Y通拓 _装艇銶8 本息和 •r(l十2.7%x3)=1.08U 1.081xx(l+2.7%x3) xx2.7%x3 1.081xx2.7%x3 1.08lx 第一个3年期 笫二个3年期 0£ s- •§lwx^fs-x4ii<=.ii舶faff/进•Jaiil.llY ^sfs.s^^^.: l7gs相否g^tgiT^jilg^^^h-llagjil^Yl^^llg* 第一个3年期后,本息和为xx(l+2.7%x3)=1.081x.第二个3年期后,本息和要达到5000元,由此可得1.081xx(l+2.7%x3)=5000. 1.16856lJf=5000. 4279. 就是说,开始大约存4280元,3年期满后将本总和洱存•个3年期,6年后本息和能达到5000元. W此,按第_种阽蓄方式开始存人的本金少. /随堂练习 1.为丫使贫w学生能够顺利地完成人学学也,n家设立r助学贷款.助学贷歆分0.5~1年期.1-3年期、3-5年期、5~8平期四种,贷款利率分别为5.85%,5.95%,6.03%,6.21%,贷饮利息的50%由政府补貼.某大学一位新生准: 备贷6年期的款,他预i|6屮后M多能够一次性还消20000元,他现在至多可以贷多少元? (可借助计饤器) I问頸解决, 1.李阿姨购买了25000丈某公司1年期的債券,1年后扣除20%的利息稅之后得到衣息和为26000元,这种债券的年利率是多少? 王叔叔想用一笔饯买年利牟为2.89%的3年期国库泰,如果他想3年后本息和为2万元,现在应买这种国库券多少元? (可借助计算器> 复习题 回顾与思考 1.请你承一个生活中的实例,并运用一元一次方裎解决它. 2.在列方裎解决实际问題的过秸中,你认为最关鍵的是什么? 3.你是如何鲆一元一次方楛的? 举一个例子说明_方枉的过杻. 4. ⑴-T=T« (3)().5^-0.7=6.5-1.3x, (5)3(r-7)+5(x-4)=15, (1syi_1y»2 2.在公式s='+中,已本= (2)j_8r=3-士x, ⑷^(3x-6)=|x-3,(6)4r-3(20-x)=-4; (8)士(1-2x)-^(3x+1) 100f5=25.v=10t求/• 在解决实际问題的过《中,你怎徉判断一个方《的解是石符合要求? 请举例说明. 1.化子今年13岁,父亲今年40岁,是否有哪一年父亲的年龄恰好是圯子年龄的4倍? 为什么? 1.王龙到鞋店花了188元买了一? : 1皮社,这W皮牧是按标价打X折后售出的,这双驻的标价是多少元? 爸爸为小明存了一个3年期的教育储t(3年期的年利芈为2.7。 4>,3年后能舣5405元,他开始存入了多少元? 2.把*100分成两部分,使系一个数加3,与芯二个数减3的结果相等,这两个数分别是多少? 3.小刚和小明騎自行车去郊外游玩,事先决定年晨8时从家里出犮,预计每时种7.5千米
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