曲线和方程典型例题.docx
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曲线和方程典型例题.docx
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曲线和方程典型例题
典型例题一
例1如果命题“坐标满足方程fx,y0的点都在曲线C上”不正确,那么以下正确的命题是
(A)曲线C上的点的坐标都满足方程fx,y0.
(B)坐标满足方程fx,y0的点有些在C上,有些不在C上.
(C)坐标满足方程fx,y0的点都不在曲线C上.
(D)—定有不在曲线C上的点,其坐标满足方程fx,y0.
分析:
原命题是错误的,即坐标满足方程fx,y0的点不一定都在曲线C上,易知答案为D.
典型例题二
例2说明过点P(5,1)且平行于x轴的直线I和方程y1所代表的曲线之间的关系.
分析:
“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件,二者缺一不可•其中“曲线上的点的坐标都是方程f(x,y)0的解”,即纯粹性;“以方程的解为坐标的点都是
曲线上的点”,即完备性•这是我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲线是不是所给方程的曲线的准则.
解:
如下图所示,过点P且平行于x轴的直线I的方程为y1,因而y
在直线I上的点的坐标都满足y1,所以直线I上的点都在方程y1表示的曲线上.但是以|y1这个方程的解为坐标的点不会都在直线I上,因此方■—
程y1不是直线I的方程,直线I只是方程|y1所表示曲线的一部分.|1
说明:
本题中曲线上的每一点都满足方程,即满足纯粹性,但以方程的解为坐标的点不都在曲线上,即不满足完备性.
典型例题三
例3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程yx所表示的直线之间的关系.
分析:
该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析.
解:
方程yx所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等•但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程yx,例如点(3,3)到两坐标轴的距离均为3,但它不满足方
程yx.因此不能说方程yx就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程,到坐标轴距离相等的
点的轨迹也不能说是方程yx所表示的轨迹.
说明:
本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”,即满足完备性,而“轨迹上的点的坐标不都
满足方程”,即不满足纯粹性•只有两者全符合,方程才能叫曲线的方程,曲线才能叫方程的曲线.
典型例题四
例4曲线x2(y1)24与直线yk(x2)4有两个不同的交点,求k的取值范围.有一个交点呢?
无交点呢?
分析:
直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点,就是由直线与曲线的方程组成的方程组分
别有两个解、一个解和无解,也就是由两个方程整理出的关于x的一元二次方程的判别式分别满
足0、0、0.
解:
由
得(1
yk(x2)4,
22
x(y1)4.
k2)x22k(32k)x(32k)240
4k2(32k)24(1k2)[(32k)24]
2
4(4k12k5)
4(2k1)(2k5)
说明:
在判断直线与曲线的交点个数时,由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两
方程联立所整理出的关于x(或y)的一元方程解的个数相同,所以如果上述一元方程是二次的,便
可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数,但如果是两个二次曲线相遇,两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同,所以遇到此类问题时,不要盲目套用上例方法,一定要做到具体问题具体分析.
典型例题五
例5若曲线yax与yxa(a0)有两个公共点,求实数a的取值范围.
分析:
将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解”,从而研究一元二次方程的解的
个数问题•若将两条曲线的大致形状现出来,也许可能得到一些启发.
yax
解法一:
由得:
yaya
yxa
•••y0,二y2a2(ya)2,
即(a21)y22a3ya40.
要使上述方程有两个相异的非负实根.
4a64a4(a21)0
则有:
2a3-
20a1
4
a
20a1
又•••a0
•••解之得:
a1•
•••所求实数a的范围是(1,)•
解法二:
yax的曲线是关于y轴对称且顶点在原点的折线,而yx
表示斜率为1且过点(0,a)的直线,由下图可知,当a1时,折线的右支与直线不相交•所以两曲线只有一个交点,当a1时,直线与折线的两支都相交,所以
两条直线有两个相异的交点.
说明:
这类题较好的解法是解法二,即利用数形结合的方法来探求•若题设条件中“a0”改
为aR呢,请自己探求.
典型例题六
例6已知AOB,其中A(6,0),0(0,0),B(0,3),则角AOB平分线的方
程是yx(如下图),对吗?
分析:
本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度,关键是理解三角形内
角平分线是一条线段.
解:
不对,因为AOB内角平分线是一条线段OC,而方程yx的图形是一条直线•如点
P(8,8)坐标适合方程yx,但点P不在AOB内角AOB的平分线上.
综合上述内角AOB平分线为:
yx(0x2)•
说明:
判断曲线的方程或方程的曲线,要紧扣定义,两个条件缺一不可,关键是要搞清楚曲线的范围.
典型例题七
例7判断方程y,x22x1所表示的曲线.
分析:
根据方程的表面形式,很难判断方程的曲线的形状,因此必需先将方程进行等价变形.
解:
由原方程yx22x1可得:
二方程yx22x1的曲线是两条射线,如图所示:
说明:
判断方程表示的曲线,在化简变形方程时要注意等价变形.如方程x1,y2等价于
22
(x1)y2且x1,即y(x1)2(x1),原方程的曲线是抛物线一部分.
典型例题八
例8如图所示,已知A、B是两个定点,且AB2,动点M到定点A的距
离是4,线段MB的垂直平分线I交线段MA于点P,求动点P的轨迹方程.
分析:
本题首先要建立适当直角坐标系,动点P满足的条件(等量关系)题
设中没有明显给出,要从题意中分析找出等量关系.连结PB,则PMPB,由此
PA|PB|PAPM|AM|4,即动点P到两定点A,B距离之和为常数.
解:
过A,B两点的直线为x轴,A,B两点的中点0为坐标原点,建立直角坐标系
•/AB2,•••A,B两点坐标分别为(1,0),(1,0)•
连结PB•••T垂直平分线段BM,
•PMPB,
PAPBPAPMAM4•
设点P(x,y),由两点距离公式得
•、(x1)2y2(X1)2y24,
化简方程,移项两边平方得(移项)
1厂y24x•
两边再平方移项得:
1,即为所求点P轨迹方程.
说明:
通过分析题意利用几何图形的有关性质,找出P点与两定点A,B距离之和为常数4,
是解本题的关键.方程化简过程也是很重要的,且化简过程也保证了等价性.
典型例题九
例9过P2,4点作两条互相垂直的直线|1,|2,若^交|1轴于A,中点M的轨迹方程.
解:
连接PM,设Mx,y,则A2x,0,B0,2y.
l1l2
•PAB为直角三角形.
由直角三角形性质知
1
PM一AB2
即
Vx22y42丄*―4y2
2
化简得M的轨迹方程为
x2y50
说明:
本题也可以用勾股定理求解,还可以用斜率关系求解,因此本题可有三种解法•用斜率求解的过程要麻烦一些.
典型例题十
直线.
说明:
由上面介绍的三种解法,可以看到对于同一条直线,在不同的坐标系中,方程不同,适当建立坐标系如解法一、解法二,得到的方程形式简单、特性明显,一看便知是直线.而解法三得到的方程烦琐、冗长,若以此为基础研究其他问题,会引起不必要的麻烦•因此,在求曲线方程时,根据具体情况适当选取坐标系十分重要.另外,也要注意到本题所求的是轨迹的方程,在作解答表述时应强调曲线的方程,而不是曲线.
典型例题十一
例ii两直线分别绕着定点A和B(AB2a)在平面内转动,且转动时保持相互垂直,求两直线的
交点P的轨迹方程.
分析:
建立适当的直角坐标系,利用直角三角形的性质,列出动点所满足的等式.
解:
取直线AB为x轴,取线段AB的中点0为原点建立直角坐标系,则:
这就是两直线的交点P的轨迹方程.
说明:
本题易出现如下解答错误:
取直线AB为x轴,取线段AB的中点0为原点建立直角坐标系,则:
A(a,0),B(a,0),交点P属于集合C
PPAPBP
kpA
a),kpB
设P(x,y),则
1,即x2y2
a).
要知道,当PA
x轴且另一直线与
x轴重合时,仍有两直线互相垂直,
此时两直线交点为A.同
样PBx轴重合时,且另一直线与
x轴仍有两直线互相垂直,此时两直线交点为
B.因而,
A(a,0)与B(a,0)应为所求方程的解.
纠正的方法是:
当PA或PB的斜率不存在时,即xa时,A(a,0)和B(a,0)也在曲线上,
故所求的点P的轨迹方程是x2y2a2.
求出曲线上的点所适合的方程后,只是形式上的曲线方程,还必须对以方程的解为坐标的点作
考察,既要剔除不适合的部分,也不要遗漏满足条件的部分.
典型例题十二
例12如图,RtABC的两条直角边长分别为a和b(ab),A与B两点分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动,求直角顶点C的轨迹方程.
分析:
由已知ACB是直角,A和B两点在坐标轴上滑动时,AOB也
是直角,由平面几何知识,A、C、B、0四点共圆,则有ABCAOC,这就是点C满足的几何条件•由此列出顶点C的坐标适合的方程.
AOB90,所以A、O、B、C四
解:
设点C的坐标为(x,y),连结CO,由ACB
点共圆.
从而AOCABC•由tanABC,tanAOC',有,即yx.
axxaa
注意到方程表示的是过原点、斜率为-的一条直线,而题目中的A与B均在两坐标轴的正半轴
a
上滑动,由于a、b为常数,故C点的轨迹不会是一条直线,而是直线的一部分.我们可考察A与
B两点在坐标轴上的极端位置,确定C点坐标的范围.
如下图,当点A与原点重合时,
SABC
2ABX2^b2X,所以x
如下图,当点B与原点重合时,
由射影定理,BC2
2
a
•由已知a
a2b2
故C点的轨迹方程为:
ab
C点的横坐标xBD
BDAB,即a2xa2b2
b,所以
ab
-a2b2
2b2
b2
说明:
求出曲线上的点所适合的方程后,只是形式上的曲线方程,还
必须对以方程的解为坐标的点作考察,剔除不适合的部分.
典型例题十三
例13过点P(3,2)作两条互相垂直的直线
)
li、I2,若li交x轴于A,
12交y轴于B,M在线
段AB上,且AM:
BM1:
3,求M点的轨迹方程.
分析:
如图,设M(x,y),题中几何条件是liI2,在解析几何中要表示垂直关系的代数关系
式就是斜率乘积为一i,所以要求M的轨迹方程即x、y之间的关系,首先要把
li、I2的斜率用x、
y表示出来,而表示斜率的关键是用
x、y表示A、B两点的坐标,由题可知
M是A、B的定比
分点,由定比分点坐标公式便可找出
A、B、M坐标之间的关系,进而表示出
A、B两点的坐标,
并求出M点的轨迹方程.
解:
设M(x,y),A(a,0),
B(0,b)
•••M在线段AB上,且
•••M分AB所成的比是
a
门
3
I,得
-b
3
i
3
•A(3x,0)、
又•••P(3,2),
AM:
4
x
3,
4y
B(0,4y)
•li的斜率ki
BM
i:
3•
hr
L
O
/
—,l2的斜率k2电口
34x3
3
••T1l2,•
24y21
o431
3-x3
3
化简得:
4x
8y130•
说明:
本题的上述解题过程并不严密,
99
因为ki需在x时才能成立,而当x时,A(3,0),
44
li的方程为x3•所以J的方程是y2•故B(0,2),可求得M(9,丄),而(-,-)也满足方程
4242
4x8y130•故所求轨迹的方程是
4x8y130•这类题在解答时应注意考虑完备性和纯
粹性.
典型例题十四
例14如图,已知两点P(2,2),Q(0,2)以及一直线l:
yx,设长为
2的线段AB在直线l上
移动•求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.
分析1:
设M(x,y),题中的几何条件是
AB<2,所以只需用
(x,y)表示出A、B两点的坐标,便可求出曲线的方程,而要表示A点
坐标可先找出A、M两点坐标的关系,显然P、A、M三点共线•这
样便可找出A、M坐标之间的关系,进而表示出A的坐标,同理便可表
示出B的坐标,问题便可以迎刃而解.
解法一:
设
M(x,y)、A(a,a)、B(b,b)(ba)•
P
\/
y
Q
/
/
Jr
M三点共线可得:
(利用PA与MP斜率
x2
相等得到)
AB、•2表示出B点
分析2:
此题也可以先用P、A、M三点共线表示出A点坐标,再根据
坐标,然后利用Q、B、M三点共线也可求得轨迹方程.
解法二:
设M(x,y),A(a,a)
由ABJ2且B在直线yx上且B在A的上方可得:
B(a1,a1)
3xy42
xy4
3xy4
xy4
化简得所求轨迹方程为:
x2y22x2y80.
解法三:
由于ABJ2且AB在直线yx上
所以可设A(a,a),B(a1,a1).
•••所求轨迹方程为x2y22x2y80.
说明:
本题的前两种方法属于直接法,相对较繁,而后一种方法,事实上它涉及到参数的思想
(a为参数),利用交点求轨迹方程•一般先把交点表示为关于参数的坐标,然后消去参数,这也反映出运动的观点.
1•下列各组方程中,表示相同曲线的一对方程是
2lgx
A.y、x,xy2B。
yx,—1C.xy,x2y20D。
yIgx2,y
y
x
y1
0
2.如果实数
x,y满足条件y
10
那么2x
y的最大值为
()
x
y1
0
A.2B
.1C.
2
D
3
3.点(3,
1)和点(4,6)在直线
3x
2y
a
0的两侧,则
a的取值范围是()
A.a
7或a24B.
7
a
24
C.
a7或a
24D.a7
4•ABC中,A(5,2),B(1,1),C(1,),以三角形内部及其边界为可行域,若使目标函数
5
zaxy(a0)取最大值的最优解有无穷多个,则a的值为()
135
A.B.C。
4D.
453
5•曲线屮4x关于直线x2对称的曲线方程是()
A.y284xb.y24x8C.y2164xD.y24x16
6•设f(x,y)1是平面直角坐标系中一个面积有限的图形M的边界方程,则f(2x,2y)1围成的
图形面积是M面积的()
11
A.倍B.倍C.1倍D.4倍
42
7•已知坐标满足方程F(x,y)0的点都在曲线C上,那么()
A.曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)0
B.坐标不适合方程F(x,y)0的点都不在曲线C上
C.不在曲线C上的点的坐标必不适合方程F(x,y)0
D.不在曲线C上的点的坐标有些适合方程F(x,y)0,有些不适合方程F(x,y)0
&已知曲线C的方程是xy2mx2my0(m0),下列各点不在曲线C的点是()
A.(0,0)B.(0,2m)C.(0,2m)D.(2m,0)
9.在平面直角坐标系中,方程x24y240表示的图形是()
A.2条直线B.4条直线C.2个点D.4个点
10.下列方程的曲线关于直线yx对称的是
A.x2xy21B.x2yxy21C.xy1D.x2y21
312
11.直线yx被曲线yx2所截得的线段的中点到原点的距离是()
22
A.旦B.旦C..29D.29
口的取值范围是()
x1
y0
12•实数x、y满足不等式组xy0,则
2xy20
A.
13
2'3
(x,y)(yx)(yx)
13.已知集合A(x,y)xy1,B
的面积为
14.直线yxk与曲线x
1y2恰有一个公共点,则
k的取值范围是
15.已知lg(x2),
lg2y,lg16x成等差数列,则点
P(x,y)的轨迹方程为
16.已知动点
M到定点A(9,0)的距离是M到定点B(1,0)的距离的
3倍,贝UM的轨迹方程
三、解答题:
本大题共2小题,共20分。
解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
解答过
程写在答题卡的相应位置。
17.(本小题满分10分)点M(a,b)处于由x0,y0,xy2三个不等式所确定的平面区域内,求点N(ab,ab)所在的平面区域的面积。
18.(本小题满分10分)如果直线ykx1与圆x2y2kxmy40相交于mN两点,且点MN关于直线xy0对称。
(10分)
kxy10
(1)画出不等式组kxmy0所表示的平面区域。
y0
(2)求x2y
答案
选择题CBBBCACBDBAD
填空题
13。
1
14
。
k
.2或1k1
15
2y
4x(x
2)
(x
2)
16
。
2x
y29
解答题
17.设点N(x,y)
ab斗
xa—
y
a
0
x
y
0
“x
2
则
,故
ab
又
b
0,
x
y
0
y
-x
y
b一
a
b2
x
2
2
直线x
y0过圆心(一,—),且直线MN斜率为1,
画出可行域,易求得其面积为4
18.
(1)圆周上两点MN关于直线xy0对称,
x
0k1
,故可行域为
m1
y1
yo所表示区域。
图略
0
(2)(X2y)min
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