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第十组论文
数学建模思想在中考中的应用
摘要:
数学建模思想是指从实际问题中,发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程,它包括对实际问题进行抽象、简化、建立数学模型,求解数学模型,解释验证等步骤。
数学建模思想广泛地体现在初中数学知识体系中,与其有关的中考题型已成,中学数学的特点具有严谨性、抽象性和应用性,数学建模是将生活中的实际问题用数学模型来解决,经过数学演练、验证后再放入实际生活中这样一个循环过程,数学建模能够培养学生的动手实践能力和应用数学、探究数学的能力,有利于培养学生整体处理和创造性处理数学问题的能力。
为此,义务教育课程标准和高中新课程标准中都强调了数学合作、数学探究和数学建模的活动。
这样来看,将数学建模思想融入中学数学教学中具有重要意义。
本文主要是通过数学建模的理论学习来研究如何更好地将数学建模思想融入到中学数学教学中去。
本文以素质教育、创造思维为理念,中学数学新课程标准中的数学建模思想为指导,在中学数学教学中,渗透建模思想,开展建模活动,以建模教学来促进学生分析和解决带有实际意义的数学问题。
以润物细无声地方式将数学建模思想融入到中学数学教学中去。
从而,增强学生参与数学和应用数学的意识,培养学生解决问题和想象问题的能力。
关键词:
数学建模思想中学数学教学数学模型
当一个对象的理论模型以数学表示其一组规则和定律时,一个数学模型就呈现出来。
因此数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的、近似表达对象的一种数学结构。
具体来说,数学模型是运用数学符号、数学表达式以及数量关系对实际问题的简化而得出的关系或规律的描述,是对实际问题的主要特征、主要关系进行分析、经过抽象、综合概况所得出的数学结构。
这种数学结构有两个具体的要求,一是这种数学结构必须是一种纯数学的关系结构,是客观事物的一种抽象的与事物属性无关的;而是这种结构必须是借助于数学概念、数学符号来表达的数学结构形式。
通常来说,数学模型的含义比较广泛,从广义上说,数学概念、数学公式、数学的法则、原理、函数关系式、方程式及算法系统都可以称为数学模型,它是从现实世界中抽象出来的,对客观事物的某些数学属性的一个近似反映。
例如众所周知的哥尼斯堡七桥问题便是大数学家欧拉成功地构造出数学模型得以解决的光辉例子。
狭义的数学模型是指只有反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构,是由现实问题基本属性抽象出来成为一种数学结构的简化近似反映。
数学建模是用数学语言与方法设计数学模型的过程。
也就是说数学建模是运用数学思想、数学方法和数学知识解决实际问题的过程。
《数学课程标准》指出:
数学教学活动不仅要考虑数学自身的特点,更要遵循学生学习数学的心理规律,从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,倡导“问题情景——建立模型——解释、应用、拓展”的教学模式。
建模思想强调的是在解决这类数学问题时,首先应有数学建模的自觉意识或观点,这实际上就是数学知识的应用意识。
中考中的应用题多数是编者加工改造后的,贴近学生的水平,比较浅,在应用题中常常提到涉及到的数学知识或有所暗示。
且中考数学更贴进生活,更加注重学生的实际操作能力和解决实际问题的能力,及数学在生活的运用能力。
建模思想在中考数学中发挥着重要作用,只有充分掌握第一手资料,了解问题的实际背景知识,用精确的数学语言提炼描述表达,然后建立数学模型,求解、验证、分析,以解决实际问题。
“能够运用所学知识解决简单的实际问题”是九年义务教育数学教学大纲规定的初中数学教学目的之一。
能够解决实际问题是学习数学知识、形成技能和发展能力的结果,也是对获得知识、技能和能力的检验。
构建数学模型解决实际问题基本程序如下:
解题步骤如下:
1、阅读、审题:
要做到简缩问题,删掉次要语句,深入理解关键字句;为便于数据处理,最好运用表格(或图形)处理数据,便于寻找数量关系。
2、建模:
将问题简单化、符号化,尽量借鉴标准形式,建立数学关系式。
3、合理求解纯数学问题
4、解释并回答实际问题
通过建立“数学模型”解决应用问题,在中考中越来越引起人们的重视.在中考数学中试题中常见的应用问题按解决问题时建立数学模型所用数学知识和方法的特征可以分为数与式、方程(组)、不等式、函数、三角、几何和统计模型等几种类型.
一、数与式模型
数与式是最基本的数学语言,是描述和表达数学应用问题的重要策略之一.应用数与式解题的关键是弄清题意,理解题中的关键词、句的含义,准确地列出算式,将日常文字语言翻译成数学语言,构建数与式模型,解决实际问题.由于它能有效、简捷、准确地揭示由低级到高级、由具体到抽象、有特殊到一般的数学思维过程,富有通用性和启发性,数与式模型通常成为学生抽象和概括数学问题的重要方法。
数与式主要包括实数、整式和分式等相关内容,体现为数与式的有关概念和运算,用数或式子表示各种情境中的数量和数量关系,在中考试题中大多以容易题或中档题的形式出现。
近年来各省、市中考试题,对这部分内容的考查又有了新的发展和变化,主要体现在注重基础知识与基本技能,注重基本方法与思维内涵,对数与式运算的考查,能够做到难易有度、层次分明;对数与式探索规律问题的考查能够做到灵活多样、新而不难。
注意事项解答此类问题要注意对知识点的把握,知道实数、整式和分式的内容,掌握整式的加、减、乘、除及和乘方的混合运算,能够利用公式法化简求值。
中考中对于分式的要求是了解分式的概念,会利用分式基本性质约分和通分,会进行简单的分式运算.中考的考查多以填空、选择、计算等形式出现,在解决相关问题时,还要求能结合类比转化等数学思想方法.此外二次根式是初中数学的重要知识点之一,也是中考的重要考点,考试题型以填空题和选择题为主,也有和实数结合的化简、计算题.近年来以贴近学生生活的背景为材料,对二次根式的性质与运算的考查,已经成为中考的一个热点.
例1 (2004年安徽芜湖市中考题)小王上周五在股市以收盘价(收市时的价格)每股25元买进某公司股票1000股,在接下来的一周交易日内,小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况:
(单位:
元)
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌(元)
+2
-0.5
+1.5
-1.8
+0.8
根据上表回答问题:
①星期二收盘时,该股票每股多少元?
②周内该股票收盘时的最高价,最低价分别是多少?
③已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费。
若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出,他的收益情况如何?
解:
(1)星期二收盘价为25+2-0.5=26.5(元/股)
(2)收盘最高价为25+2-0.5+1.5=28(元/股)
收盘最低价为25+2-0.5+1.5-1.8=26.2(元/股)
(3)小王的收益为:
27×1000(1-5‰)-25×1000(1+5‰)
=27000-135-25000-125
=1740(元)
∴小王的本次收益为1740元。
点评:
本题从实际出发要求学生掌握正整数,负整数的计算,是对实数的考查。
解答此类问题要细心读题,把握各个量的含义及之间的关系,建立数与式模型,认真计算。
2、方程模型
对现实生活中广泛存在的如增长率、产品购销、储蓄利率、工程施工、人员调配等含有等量关系的实际问题,通常可以通过建立方程(组)模型来解决.近年来各省市的中考题中出现了一类别出心裁的中考阅读题,它主要以对话、图案、图表、污损文字等形式呈现题干内容,要求学生能阅读、理解给出的材料,能运用与方程有关的知识解决实际问题,并能用数学语言正确地加以表达,解决此类题的关键是要对试题的信息进行观察、比较、归类、识别、提取、筛选,从而找出最佳方法,准确、快捷地解题。
学生在解答它们时,除必须全面掌握数学知识外,还要具有丰富的生活常识和较强的阅读理解能力,以及将实际问题转化为数学问题的数学建模能力。
例2.(2005年重庆市中考题)为了解决农民工子女入学难的问题,我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制,其中一项就是免交“借读费”。
据统计,2004年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习,预测2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比2004年有所增加,其中小学增加20%,中学增加30%,这样,2005年秋季将新增1160名农民工子女在主城区中小学学习。
(1)如果按小学每生每年收“借读费”500元,中学每生每年收“借读费”1000元计算,求2005年新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”?
(2)如果小学每40名学生配备2名教师,中学每40名学生配备3名教师,若按2005年秋季入学后,农民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算,一共需要配备多少名中小学教师?
解:
(1)设2004年秋季在主城区小学学习的农民工子女有
人,在主城区中学学习的农民工子女有
人,
由题意可得:
解得
∴
,
∴500×680+1000×480=820000(元)=82(万元)
答:
共免收82万元(或820000元)“借读费”。
(2)2005年秋季入学后,在小学就读的学生有
(名),在中学就读的学生有
(名)
∴
(名)
答:
一共需要配备360名中小学教师
3、不等式模型
在现实世界中,正如相等关系一样不等关系也是普遍存在的,如在市场经营、生产决策和社会生活中的估计生产数量、核定价格范围、盈亏平衡分析、投资决策等许多问题中,很难确定(有时也不需要)具体的数值,则可挖掘实际问题所隐含的数量关系,建立不等式(组)模型,进而解决实际问题.
近年来中考题中出现的“决策性”问题属于应用题的一类,这些“决策性”问题的基本素材都是提炼于学生的生活经验,能从学生已有的知识背景出发,使学生在对这些方案“作出决策、选择”的同时,充分体会到数学与自然及人类社会的密切关系,了解数学的应用价值,增强对数学的理解和应用数学的信心。
仔细分析发现,学多决策类问题的解答都要通过构造不等式模型才能完成。
例3(济南市)某校准备组织290名学生进行野外考查活动,行李共有100间。
学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共八辆,经了解,甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李,乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李。
(1)设租用甲种汽车x辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案;
(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元,请你选择最省钱的一种租车方案。
分析:
正确理解题意,根据要求列出符合要求的不等式组,通过解不等式组获得解答。
一般可分为5步。
1.分析、理解,应用题,找出逻辑关系,建立数学模型
2.把逻辑关系变成用不等式表示
3.解不等式,求交集,得出不等式组的解
4.检验解集,除去不符合实际问题的解
5.给出答案。
解:
(1)由租用甲种汽车x辆,则租用乙种汽车(8-x)辆
由题意得:
,解得:
解集符合实际问题。
即共有2种租车方案:
第一种是租用甲种汽车5辆,乙种汽车3辆;
第二种是租用甲种汽车6辆,乙种汽车2辆,
(2)第一种租车方案的费用为
第二种租车方案的费用为
所以,第一种租车方案更省费用
点评:
本题以学生进行野外考察为情景,让学生根据给定的条件借助于不等式的知识设计租车方案的种数,并从节省经济的角度从这些方案中确定出那种租车方式最实惠。
解答此类问题要注意找出不等式关系,准确列出不等式。
利用所学的解不等式知识求出结果即可。
学生在解答问题的过程中,既经历了生活化的过程,又接受了勤俭节约的思想道德教育。
还培养了他们自主决策、当家做主的能力。
4、函数模型
函数是初中数学的主干知识,历届中考都重视对函数应用的考查。
函数反映了事物之间的广泛联系,揭示了现实世界数量关系和运动、变化规律.对于现实生活中普遍存在的最优化问题,如用料最省、成本最低、利润最大等,可透过实际背景,建立函数模型,转化为求函数最值问题.函数应用问题涉及的知识层面丰富,解法灵活多变,是考试命题的热点问题。
解答此类问题,一般都是从建立函数关系入手,将实际问题模型化或结合函数图象来挖掘解题思路。
近年来更是如此。
纵观近年全国各地数学中考试卷,大多数省市都要求考生用函数知识对日常生活中普遍存在的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题进行信息的加上与分析,建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用函数方法进行求解,最后再用其解决实际问题.这种考题,一方面考查学生的阅读理解、数学建模、转化与表达的能力:
另一方面让学生在应用函数模型解答实际问题的过程中,感受数学的实用价值,增强学生应用数学的意识.同时不少试题以函数为载体把方程、不等式、统计等知识融合起来,很好地体现了数学学科的内在联系和知识综合运用,体现了在知识网络交汇点上设计试题的指导思想.
例4(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近,州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:
w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元).
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?
最大利润是多少?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?
解:
当
,
(元)
(1)
与
之间的的函数关系式为;
(2)当销售价定为30元时,每天的销售利润最大,最大利润是200元.
(3)
,
(不合题意,舍去)
答:
该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为25元.
5、几何模型
几何与人类生活密切相关.诸如工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复残轮和跑道设计等应用问题,都涉及到一定几何图形及其性质,这就需要建立几何模型,转化为几何问题进行观察、比较、归类、识别、提取、筛选,从而找出最佳方法,准确、快捷地解题.
解题思路:
将实际问题转化为几何图形,然后根据几何图形的性质去求解.
例5 (2004年淄博市中考题)在日常生活中,我们经常看到一些窗户上安装着遮阳蓬,如图
(1)。
现在要为一个面向正南的窗户设计安装一个遮阳蓬,已知该地区冬天正午太阳最低时,光线与水平线的夹角为34°;夏天正午太阳最高时,光线与水平线的夹角为76°。
把图①画成图②,其中AB表示窗户的高,BCD表示直角形遮阳蓬。
(1)遮阳蓬BCD怎样设计,才能正好在冬天正午太阳最低时光线最大限度地射入室内而夏天正午太阳最高时光线刚好不射入室内?
请在图③中画图表示;
(2)已知AB=150cm,在
(1)的条件下,求出BC,CD的长度(精确到1cm)。
解:
(1)如图。
(2)如图,设BC=x,CD=y。
在Rt△ADC和Rt△DBC中,
由题意,得把②代入①,得
,
(cm),
(cm)。
答:
BC、CD的长度分别约为30cm、45cm。
六、三角模型
在现实中我们经常会遇到如测高、测距、航海、拦水坝、人字架等实际问题,一般说来,这些问题的解决通常可建立三角模型,转化为解三角形问题。
历年来的中考数学压轴题中都有涉及构建直角三角形的问题,且有逐年增加的趋势。
以近几年的中考题为例,很多省市的压轴题涉及了构建直角三角形,比如2012广东广州,2012浙江杭州,20111辽宁沈阳,2012重庆等十多个省市的压轴题。
解这类题需要运用数形结合思想,先从形上感受如何得到直角三角形,再从数的方面计算出符合要求的答案。
C
例6(2007年青岛中考题)如图1,一艘轮船自西向东航行,在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B处,测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上,之后,轮船即系向东航行多少海里,距离小岛C最近?
A
分析:
小岛C距离轮船最近距离是C到AB的垂直距离,过C作AB的垂线,交直线AB于点D,设船继续向东航行X海里,距离小岛C最近,即BD=X海里,在Rt△BCD中,用X表示CD,在Rt△ACD中,用X表示CD,根据CD=CD,列方程求解即可。
解:
过C作AB的垂线,交直线AB于点D,得到Rt△ACD与Rt△BCD。
设BD=X海里,在Rt△BCD中,tan∠CBD=
,所以CD=x
tan63.5°。
在Rt△ACD中,AD=AB+BD=(60+x)海里,tan∠A=
,
所以CD=(60+x)
tan21.3°.
所以x
tan63.5°=(60+x)
tan21.3°,即2x=
(60+x)。
解得x=15
答:
轮船继续向东航行15海里,距离小岛C最近。
七、统计模型
统计的内容具有非常丰富的实际背景,在现实世界中有着广泛的应用.要接受统计的观念,建立统计模型,最有效的方法是投入到统计的全过程中去,提出问题,考虑抽样,收集数据,整理数据,分析数据,做出决策,进行交流,评价改进等,并在这个过程中学习和掌握统计的思想.作为学生要学会深刻理解基本统计思想,要善于提出问题,考虑抽样,收集数据,分析数据,做出决策,并能进行有效的交流、评价与改进。
例7 (2004年福建省南平市中考题)下图反映了被调查用户对甲、乙两种品牌空调售后服务的满意程度(以下称:
用户满意程度),分为很不满意、不满意、较满意、很满意四个等级,并依次记为1分、2分、3分、4分。
(1)求甲、乙两品牌用户满意程度分数的平均值;(计算结果保留到小数点后第2位)
(2)根据条形统计图及上述计算结果说明哪个品牌用户满意程度较高?
该品牌用户满意程度分数的众数是多少?
(1)甲品牌被调查用户数为50+100+200+100=450(户)
乙品牌被调查用户数为:
10+90+220+130=450(户)
甲品牌满意程度分数的平均值=
(分)
乙品牌满意程度分数的平均值=
(分)
答:
甲、乙两品牌用户满意程度分数的平均值分别为2.78(分),3.04(分)
(2)用户满意程度较高的品牌是乙品牌
因为乙品牌满意程度分数的平均值较大,且由统计图,乙品牌“较满意”、“很满意”的用户较多。
该品牌用户满意程度分数的众数是3。
参考文献
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117-120.
[6]项奎东.关于中学数学建模的教学研究[D].云南师范大学,2007.
第十组 组长 孙旭 学号11304145
组员 贾心怡 10009006
李宁宁 11006020
王 贺 11304156
张绘营 11304210
张 榕11304215
郝雅荞 11304053
宗秋彤11304244
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