学年最新高中数学人教B版必修1第二章《函数》综合测试B.docx
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学年最新高中数学人教B版必修1第二章《函数》综合测试B.docx
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学年最新高中数学人教B版必修1第二章《函数》综合测试B
第二章综合测试(B)
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列各组函数表示同一函数的是( )
A.y=
与y=x+3
B.y=
-1与y=x-1
C.y=x0(x≠0)与y=1(x≠0)
D.y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z
[答案] C
[解析] A中的两函数的定义域不同,B、D中两函数的对应法则不同,C中两函数的定义域和对应法则都相同,故选C.
2.下列函数是偶函数的是( )
A.y=x B.y=2x2-3
C.y=x-
D.y=x2,x∈[0,1]
[答案] B
[解析] 选项B中,函数y=2x2-3的定义域为R,令f(x)=2x2-3,f(-x)=2(-x)2-3=2x2-3=f(x),
∴函数y=2x2-3为偶函数.
3.(2014~2015学年度重庆南开中学高一上学期期中测试)下列函数在(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=x2B.y=x
C.y=x
D.y=x-
[答案] D
[解析] 函数y=x-
=
在(0,+∞)上单调递减.
4.(2014~2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)已知函数f(x)的定义域为[-2,1],函数g(x)=
,则g(x)的定义域为( )
A.
B.(-1,+∞)
C.
∪(0,2)D.
[答案] A
[解析] ∵函数f(x)的定义域为[-2,1],
∴f(x-1)中,-2≤x-1≤1,
∴-1≤x≤2,
∴f(x-1)的定义域为[-1,2].
又2x+1>0,∴x>-
,
∴g(x)的定义域为
.
5.(2014~2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)已知f(x)=
,则f(8)的值为( )
A.-312B.-174
C.174D.-76
[答案] D
[解析] f(8)=f(8-2)=f(6)=f(6-2)=f(4)=4-5×42=-76.
6.已知函数f(x)=|x|-a没有零点,则实数a的取值范围是( )
A.a>0 B.a<0
C.a≥0 D.a≤0
[答案] B
[解析] 当a<0时,f(x)=|x|-a>0恒成立,∴函数f(x)无零点;
当a=0时,f(x)=|x|的零点为0,故选B.
7.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别是( )
A.(-∞,0]和(-∞,1]B.(-∞,0]和[1,+∞)
C.[0,+∞)和(-∞,1]D.[0,+∞)和[1,+∞)
[答案] C
[解析] 本题主要考查函数单调区间的判断.函数f(x)=|x|的单调递增区间为[0,+∞),函数g(x)=x(2-x)=-(x-1)2+1的单调递增区间为(-∞,1].故选C.
8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值是( )
A.-1B.0
C.1D.2
[答案] B
[解析] 由题意,得f(6)=-f(4)=f
(2)=-f(0),
∵函数f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=0,∴f(6)=0.
9.直角梯形OABC中,AB∥OC,AB=1,OC=BC=2,直线l:
x=t截该梯形所得位于l左边图形的面积为S,则函数S=f(t)的图象大致为( )
[答案] C
[解析] 由题意,当0≤t<1时,f(t)=t2;
当1≤t≤2时,f(t)=1+2(t-1)=2t-1.
即S=f(t)=
,
函数图象前一段为抛物线,后一段为线段,故选C.
10.已知二次函数f(x)图象的顶点坐标为(1,-2),且过点(2,4),则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=6x2-6x+4B.f(x)=6x2-12x-2
C.f(x)=6x2-12x+4D.f(x)=6x2-6x-2
[答案] C
[解析] ∵f(x)图象的顶点坐标为(1,-2),
∴设f(x)=a(x-1)2-2(a≠0).
又该图象过点(2,4),∴a-2=4,∴a=6,
∴f(x)=6(x-1)2-2=6x2-12x+4.
11.已知一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),则它们在同一坐标系中的大致图象是图中的( )
[答案] D
[解析] 选项A中,一次函数中b<0,二次函数中b=0,故排除A;选项B、C中一次函数中b>0;二次函数中b=0,故排除B、C,故选D.
12.设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列3个命题:
①c=0时,f(x)是奇函数;
②b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实数根;
③方程f(x)=0至多有两个实数根.
其中正确的命题是( )
A.①B.①③
C.①②D.①②③
[答案] C
[解析] c=0时,f(x)=x|x|+bx,f(-x)=-x|-x|-bx=-(x|x|+bx)=-f(x),
∴f(x)是奇函数,①正确;b=0,c>0时,
函数f(x)=x|x|+c=
,
∴方程f(x)=0只有一个实数根,②正确;
当b=-1,c=0时,方程f(x)=0,即
x|x|-x=0,∴x(|x|-1)=0,
∴x=0或|x|-1=0,
即x=0或x=±1,此时方程f(x)=0,
有三个实数根,③错误,故选C.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,将正确答案填在题中横线上)
13.(2014~2015学年度上海复旦大学附属中学高一上学期期中测试)函数y=
的定义域为________________.
[答案] [-2,1)∪(1,2]
[解析] 由题意得
,
∴-2≤x<1或1 14.(2014~2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知f(x)为一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,则函数f(x)的解析式为____________. [答案] f(x)=x+3 [解析] 设f(x)=ax+b(a≠0), ∴3[a(x+1)+b]-ax-b=2x+9, 即2ax+3a+2b=2x+9, ∴ ,解得 . ∴f(x)=x+3. 15.(2014~2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f(2x) [答案] (1,+∞) [解析] 由题意得2x>x+1,∴x>1. 16.已知关于x的方程|x2-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根,则实数a的值是________. [答案] 1 [解析] 本题可转化为函数y=|x2-4x+3|与y=a的图象的交点个数问题.作出函数y=|x2-4x+3|的图象,如图所示.由图象知,只有当a=1时,两函数图象才有三个交点. 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)(2014~2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)已知一次函数f(x)满足2f (2)-3f (1)=5,2f(0)-f(-1)=1. (1)求这个函数的解析式; (2)若函数g(x)=f(x)-x2,求函数g(x)的零点. [解析] (1)设f(x)=ax+b(a≠0), 由题意得 ,解得 . ∴f(x)=3x-2. (2)g(x)=f(x)-x2=3x-2-x2, 令g(x)=0,得3x-2-x2=0,∴x=1或x=2. ∴函数g(x)的零点是1和2. 18.(本小题满分12分)(2014~2015学年度湖北部分重点中学高一上学期期中测试)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-x-1. (1)求f(x)的解析式; (2)作出函数f(x)的图象(不用列表),并指出它的增区间. [解析] (1)设x<0,则-x>0,f(-x)=(-x)2-(-x)-1=x2+x-1, ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2-x+1. 又∵f(x)在x=0处有意义,∴f(0)=0. ∴f(x)= . (2)函数f(x)的图象如图所示, 由图象可知,函数f(x)的增区间为 , . 19.(本小题满分12分)若函数f(x)=x2+4x+a的定义域和值域均为[-2,b](b>-2),求实数a、b的值. [解析] ∵函数f(x)的对称轴方程为x=-2, ∴函数f(x)在定义域[-2,b](b>-2)上单调递增, ∴函数f(x)的最小值为f(-2)=a-4=-2, ∴a=2. 函数f(x)的最大值为f(b)=b2+4b+2=b. ∴b2+3b+2=0,∴b=-1或b=-2(舍去), ∴b=-1. 20.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数)满足条件: ①图象过原点;②f(1+x)=f(1-x);③方程f(x)=x有等根. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在x∈[-1,2]上的值域. [解析] (1)∵函数f(x)图象过原点,∴c=0, 又∵f(1+x)=f(1-x),∴函数图象的对称轴为x=1, ∴- =1,即b=-2a.∴f(x)=ax2-2ax. 又∵方程f(x)=x有等根, ∴方程ax2-(2a+1)x=0有等根, 即Δ=[-(2a+1)]2=0,∴a=- . ∴f(x)=- x2+x. (2)由 (1)知,f(x)=- x2+x=- (x-1)2+ , ∴当x=1时,f(x)取最大值 , 当x=-1时,f(x)取最小值- , ∴函数f(x)在x∈[-1,2]上的值域为[- , ]. 21.(本小题满分12分)关于x的二次方程为x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围. [解析] 设f(x)=x2+2mx+2m+1, ∵f(-1)=2,f(0)=2m+1, f (1)=4m+2,f (2)=6m+5. 由题意知抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得满足的条件为 ,即 ,解得 , ∴- . 22.(本小题满分14分)为配合国庆黄金周,促进旅游经济的发展,某火车站在调查中发现: 开始售票前,已有a人在排队等候购票.开始售票后,排队的人数平均每分钟增加b人.假设每个窗口的售票速度为c人/min,且当开放2个窗口时,25min后恰好不会出现排队现象(即排队的人刚好购完);若同时开放3个窗口,则15min后恰好不会出现排队现象. (1)若要求售票10min后不会出现排队现象,则至少需要同时开几个窗口? (2)若a=60,在只开1个窗口的情况下,试求第n(n∈N*且n≤118)个购票者的等待时间tn关于n的函数. [解析] (1)设至少需要同时开x个窗口,则根据题意有, , 由①②得,c=2b,a=75b,代入③得, 75b+10b≤20bx,∴x≥ , 即至少同时开5个窗口才能满足要求. (2)由a=60得,b= ,c= ,设第n个人的等待时间为tn,则由题意得, 当n≤60(n∈N*)时,tn= = ; 当60 t,此时已有 t人购到票离开队伍,即实际排队的人数为n- t, ∴tn= = , 综上,tn关于n的函数为 tn= .
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