以立体几何中探索性问题为背景的解答题解析版知识讲解.docx
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以立体几何中探索性问题为背景的解答题解析版知识讲解
【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖,形式多样,近年来在高考中频频出现,而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色,它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具,应用空间向量这一工具,为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法.下面借“题”发挥,透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略,希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢,化解自如.
1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点,它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐.此类问题的基本特征是:
要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立.“是否存在”的问题的命题形式有两种情况:
如果存在,找出一个来;如果不存在,需要说明理由.这类问题常用“肯定顺推”的方法.求解此类问题的难点在于:
涉及的点具有运动性和不确定性.所以用传统的方法解决起来难度较大,若用空间向量方法来处理,通过待定系数法求解其存在性问题,则思路简单、解法固定、操作方便.解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是:
通常假定题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下
进行逻辑推理,若能导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若导出与条件或实际情况相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在.如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直,利用两法向量数量积为零,得参数p的方程.即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题.
2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题,常利用空间向量法解决,可以避开抽象、复杂地寻找角的过程,只要能够准确理解和熟练应用夹角公式,就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等.事实说明,空间向量法是证明立体几何中存在性问题
的强有力的方法.
【精选名校模拟】
1.在四棱锥EABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,EC底面ABCD,F为BE的中点.
(Ⅰ)求证:
DE∥平面ACF;
(Ⅱ)求证:
BDAE;
EG
(Ⅲ)若AB=2CE,在线段EO上是否存在点G,使CG平面BDE?
若存在,求出的值,若不EO
存在,请说明理由.
B
答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析;
Ⅲ)EG
EO
1
2
2.如图所示,四棱锥P—ABCD中,ABAD,CDAD,PA底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点。
(1)求证:
BM∥平面PAD;
(2)在侧面PAD内找一点N,使MN平面PBD;
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
【答案】
(1)见解析;
(2)N是AE的中点;(3).
3
试题解析:
(1)M是PC的中点,取PD的中点E,则
ME1CD,又AB1CD
22
四边形ABME为平行四边形
BM∥EA,BM平面PAD
EA平面PAD
4分)
BM∥平面PAD
2)以A为原点,以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,则B1,0,0),
C2,2,0,D0,2,0,P0,0,2,M1,1,1,E0,1,1
3.如图1,在RtACB中,C90°,BC3,AC6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE//BC,DE2,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如图2.
Ⅰ)求证:
A1C平面BCDE;
Ⅱ)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;
Ⅲ)点F是线段BE的靠近点E的三等分点,点P是线段A1F上的点,直线l过点B且垂直于平面
BCDE,求点P到直线l的距离的最小值.
答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)CM与平面A1BE所成角的大小45;(Ⅲ)点P到直线l的距离有最小值126565
试题解析:
(Ⅰ)Q由题CDDE,A1DDE,CDA1DD
DE平面A1CD,又QA1C平面A1CD,
A1CDE又QA1CCD,
DECDDA1C平面BCDE.
∴不妨取nr1,2,3又∵M1,0,3
uuuur
CM
1,
0,3
sin
|cos
CM,n|
uuuur
CM
rn
134
2,
uuuur
CM
rn
14313222
2,
CM
与平面
A1BE所成角的大小
45.
AB//CD,
4.在四棱锥PABCD中,侧面PCD底面ABCD,PDCD,底面ABCD是直角梯形,ADC90o,ABADPD1,CD2.
(Ⅰ)求证:
BC平面PBD;
uuuruuuro
(Ⅱ)设Q为侧棱PC上一点,PQPC,试确定的值,使得二面角QBDP为45o.
答案】解法
uuur
(Ⅱ)平面PBD的法向量为BC(1,1,0),⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
uuuruuuruuur
PC(0,2,1),PQPC,(0,1)
所以Q(0,2,1),⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分uuuruuur
设平面QBD的法向量为n=(a,b,c),DB(1,1,0),DQ(0,2,1),uuuruuur
由nDB0,nDQ0,得
法二:
(Ⅰ)∵面PCD⊥底面ABCD,面PCD∩底面ABCD=CD,PD面PCD,且PD⊥CD
∴PD⊥面ABCD,
1分又BC面ABCD,∴BC⊥PD①⋯..
分2
取CD中点E,学科网连结BE,则BE⊥CD,且BE=1
∵FQ//BC,∴
FQ
BC
PPQC即FQ
PPCQBC
2
5x
PFPQ
PBPC
即PF
PQ
PC
PB
3
5x
∵FG//PD∴
FG
PD
BF即
PB
FG
BF
PB
PD
1
1
5x
.⋯⋯分10
在Rt△FGQ中,∠FGQ=45°
21
∴FQ=FG,即2x1x
55
∴x
2
5
1
5(21)
分⋯⋯11
uuuruuur
∵PQPC∴5(21)
5
21
分⋯⋯12
5.如图,已知正四棱锥SABCD
的底面边长为
2,
高为6,P是棱SC的中点.
[来源学科网]
1)求直线AP与平面SBC所成角的正弦值;
2)求二面角B—SC—D大小的余弦值;
3)在正方形ABCD内是否存在一点Q,使得
PQ平面SDC?
若存在,求PQ的长;若不存在,请说明
答案】
(1)直线AP与平面SBC所成角的正弦值为27;
(2)二面角B—SC—D大小的余弦值为1;
77
3)不存在满足条件的点Q.
SBC的法向量
2x10,
uruuur
n1BC0,uruur,即
n1SB0
x1
y1
6z1
uur
n1=(x1,y1,z1),则
uur
,可取n1=(0,6,1),
0,
6.如图1,已知⊙O的直径AB4,点C、D为⊙O上两点,且CAB=45o,DAB60o,F为弧BC的中点.将⊙O沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图2).
(Ⅰ)求证:
OF//AC;
(Ⅱ)在弧BD上是否存在点G,使得FG//平面ACD?
若存在,试指出点G的位置;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求二面角C-AD-B的正弦值.
答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)在弧BD上存在点G,使得FG//平面ACD,且点G为弧BD的中点;(Ⅲ)
27;
7;
(3)根据,∠DAB=60°求出D点坐标,然后求出平面ACD的一个法向量,找出平面ADB的一个法向量,利用两平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值.试题解析:
(法一):
证明:
(Ⅰ)如右图,连接CO,
QCAB45o,COAB,
又QF为弧BC的中点,FOB45o,OF//AC.
(Ⅲ)过O作OEAD于E,连CE.
因为COAB,平面ABC平面ABD,故CO平面ABD.
又因为AD平面ABD,故COAD,所以AD平面CEO,ADCE,
则CEO是二面角C-AD-B的平面角,又OAD60o,OA2,故OE3.
由CO平面ABD,OE平面ABD,得CEO为直角三角形,
又CO2,学科网故CE7,可得cosCEO=3=21,故二面角C-AD-B的正弦值为27.
777(法二):
证明:
(Ⅰ)如图,以AB所在的直线为y轴,以OC所在的直线为z轴,以O为原点,作空间直角坐标系Oxyz,则A0,2,0,C0,0,2
uuur
AC(0,0,2)(0,2,0)(0,2,2),
Q点F为弧BC的中点,点F的坐标为0,2,2,uuuruuuruuur
OF(0,2,2),OF22AC,即OF//AC.
7.如图,在多面体ABCDE中,DB平面ABC,AE//DB,且ABC是边长为2的等边三角形,AE1,
CD与平面ABDE所成角的正弦值为
6
4
(1)在线段DC上是否存在一点F,使得EF面DBC,若存在,求线段DF的长度,若不存在,说明理由;
答案】(
Ⅰ)存在F为CD中点,DF=2时,使得EF面DBC(Ⅱ)6
4
8.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC2AA1,ABC90,D是BC的中点.
(1)求证:
A1B∥平面ADC1;
(2)求二面角C1ADC的余弦值;
(3)试问线段A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60角?
若存在,确定E点位置,若不存在,说明理由.
成60角.
2
ADC的余弦值为;(3)当点E为线段A1B1中点时,AE与DC1
3
由ABCA1B1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点.
又D为BC中点,所以OD为△A1BC中位线,所以A1B∥OD,
由二面角C1ADC是锐角,得cosn,v
|nv|2
nv3
8分
2所以二面角C1ADC的余弦值为.
3
(3)解:
假设存在满足条件的点E.
因为E在线段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可设E(0,,1),其中02.
uuuruuuur
所以AE(0,2,1),DC1(1,0,1)
因为AE与DC1成60角,所以
uuuruuuurAEDCuuur
AEDC
uuuur1
1
1
2
9.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面四边形ABCD是菱形,ACIBDO,PAC是边长为2的
等边三角形,PBPD6,AP4AF.
Ⅰ)求证:
PO底面ABCD;
Ⅱ)求直线CP与平面BDF所成角的大小;
Ⅲ)在线段PB上是否存在一点
M,使得CM∥平面BDF?
如果存在,求BM的值,如果不存在,请BP
说明理由.
答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)30o;(Ⅲ)存在,
BM
BP
1
3
试题解析:
解:
(Ⅰ)因为底面ABCD是菱形,ACIBDO,
uuuruuur1uuur3由已知可得OFOA14AP(43,0,
6分
nOB0,
设平面BDF的法向量为n(x,y,z),则uuur即33
nOF0,3x3z0.
44
因为cos
CPn
令x1,则z
CPn
8分
9分
所以直线CP与平面
|CP||n|
2
BDF所成角的正弦值为
10.如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视是BD的中点.又已知侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形
(1)
图中的侧视图、俯视图.在直观图中,M
有关数据如图所示
求证:
EM∥平面ABC;
(2)
试问在棱DC上是否存在点N,使NM⊥平面BDE?
若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.
答案】
(1)详见解析;
(2)存在,CN1解析】
11.如图,在各棱长均为2的三棱柱ABCA1B1C1中,侧面A1ACC1底面ABC,A1AC60.
(1)求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小;
(2)已知点D满足BDBABC,在直线AA1上是否存在点P,使DP//平面AB1C?
若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.
答案】
(1)6
4
2)存在点P,使DP//平面AB1C.
12.如图,已知平面四边形ABCP中,D为PA的中点,PAAB,CD//AB,且PACD2AB4.将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角PDCB,连接PA、PB,设PB中点为E.[来源:
Z_xx_k.Com]
(1)证明:
平面PBD平面PBC;
(2)在线段BD上是否存在一点F,使得EF平面PBC?
若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
答案】
(1)详见解析;
(2)点F存在,且为线段BD上靠近点D的一个四等分点;
3)66
易知这样的点F存在,且为线段BD上靠近点D的一个四等分点;
8分)
解法二:
(略解)如图所示,
2)解法一:
由
(1)的分析易知,PDDA,PDDC,DCDA,则以D为原点建立空间直角坐标系
3)解法
由(
uuur11
EF(,,1)是平面PBC的一个法向量,又
22
uuur
AB
(0,2,0)
uuuruuur则得cosEF,AB
uuuruuur
EFAB
uuuruuur
|EF||AB|
6
,所以
uuuruuur
6
EF,AB
arccos,
6
6
记直线AB与平面PBC所成角为
,则知
uuuruuur6sin|cosEF,AB|
6
故所求角的正弦值为6...(12分)
13.四棱锥PABCD中,ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD.
(1)求证:
ABPD;
2)若BPC90,PB
2,PC2,问AB为何值时,四棱锥PABCD的体积最大?
并求此时平面
PBC与平面DPC夹角的余弦值
答案】
(1)详见解析,
2)AB
时,四棱锥的体积
P-ABCD最大.平面BPC与平面DPC夹角的余
弦值为10.
5
(2)求四棱锥体积,关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理:
过P作AD的垂线,垂足为O,又平面PAD平面ABCD,平面PADI平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD,下面用n3表示高及底面积:
设ABm,,则DPPG2OG24m2,,故四棱锥P-ABCD的体积为
V6mm86m.故当m6时,即AB6时,四棱锥的体积P-ABCD最大.
33333
BPC的法向量及
求二面角的余弦值,可利用空间向量求解,根据题意可建立空间坐标系,分别求出平面平面DPC的法向量,再利用向量数量积求夹角余弦值即可.
试题解析:
(1)证明:
ABCD为矩形,故ABAD,又平面PAD平面ABCD
平面PADI平面ABCD=AD所以AB平面PAD,因为PD平面PAD,故ABPD
14.
如图1)在平面四边形ACPE中,D为AC中点,ADDC
PD2,AE1,且
AE
AC,PDAC,现沿PD折起使ADC900,得到立体图形
如图2),又B为平面ADC内一点,
并且
1)
求三棱锥PGHF的体积;
2)
在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为
600?
若存在,求出线段的长;若不
ABCD为正方形,设F,G,H分别为PB,EB,PC的中点.
存在,请说明理由
52
4
1
答案】
(1)V1;
(2)存在,PM
12
试题解析:
(1)因为F,G分别为PB,BE的中点,所以FG//PE.又FG平面PED,PE平面PED,所以FG//平面PED,同理:
FH//平面PED.
(2)因为EA平面ABCD,EA//PD,所以PD平面ABCD,所以PDAD,PDCD.又因为四
边形ABCD是正方形,所以ADCD.
如图,建立空间直角坐标系,因为ADPD2EA2,
15.如图,多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD,正方形ADEF的边长为2,直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4.
(Ⅰ)求证:
BC⊥平面BDE;[来源学§科§网]
(Ⅱ)试在平面CDE上确定点P,使点P到直线DC、DE的距离相等,且AP与平面BEF所成的角等于
30°.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析.
(Ⅱ)利用DE,DA,DC两两互相垂直建立空间直角坐标系,令
nx,y,z是平面BEF的一个法向
ruuur
nEF
0r
量,则由
ruur
求出向量nx,y,z的坐标,利用向量的夹角公式列方程求出点
P的坐标.
nEb
0
试题解析:
又因为EDIBDD
所以BC平面BDE.5分
解法二:
因为平面ADEF平面ABCD,EDAB
所以ED平面ABCD1分
所以DE,DA,DC两两互相垂直
以点D为原点,直线DA,DC,DE分别为x轴,y轴,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz
(Ⅱ)因为平面ADEF平面ABCD,EDAB所以ED平面ABCD
所以DE,DA,DC两两互相垂直
Dxyz
以点D为原点,直线DA,DC,DE分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系
BAD600,Q是AD的中点.
16.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,
Ⅰ)若PAPD,求证:
平面PQB平面PAD;
平面ABCD,且PAPDAD
2,点M在线段PC上,试确定点M的位置,使二
Ⅱ)若平面APD
PPMC的值.
1
3
答案】
(1)证明过程详见解析;
(2)PM
PC
解析】试题分析:
本题主要以四棱锥为几何背景,考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识,考
试题解析:
(1)∵PAPD,Q为AD的中点,∴PQAD,
又底面
ABCD为菱形,
BAD600,∴BQ
AD,
又PQI
BQQ∴AD
平面PQB,又∵AD
平面PAD,
平面PQB平面PAD;
ABCD,平面PADI平面
ABCDAD,PQAD∴PQ平面ABCD.
QP为x,y,
2)平面PAD平面
z轴建立空间直角坐标系如图
17.如图,PD垂直于梯形ABCD所在的平面,ADCBAD90.F为PA中点,PD2,
1ABADCD1.四边形PDCE为矩形,线段PC交DE于点N.
2
(1)求证:
AC//平面DEF;
(2)求二面角ABCP的大小;
(3)在线段EF上是否存在一点Q,使得BQ与平面BCP所成角的大小为?
若存在,请求出FQ的长;
6
若不存在,请说明理由.
P
N
F
D
E
C
2
3)首先假设存在点
Q满足条件.由
uuur
E(0,2,2).设FQ
1
F(12,0,
uuur
FE(0
1),再利用向量的
答案】
(1)详见解析;
2).(3)在线段EF上存在一点Q,且|FQ||EF|4
夹角公式确定的值.
18.如图,ABC中,O是BC的中点,ABAC,AO2OC2.将BAO沿AO折起,使B点与图中B点重合.
(Ⅰ)求证:
AO平面BOC;
(Ⅱ)当三棱锥BAOC的体积取最大时,求二面角ABCO的余弦值;
2(Ⅲ
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