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数学与应用数学英文文献及翻译
数学与应用数学英文文献及翻译-勾股定理
(外文翻译从原文第一段开始翻译,翻译了约2000字)
勾股定理是已知最早的古代文明定理之一。
这个著名的定理被命名为希腊的数学家和哲学家
毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯在意大利南部的科托纳创立了毕达哥拉斯学派。
他在数学上有许多贡献,虽然其中一些可能实际上一直是他学生的工作。
毕达哥拉斯定理是毕达哥拉斯最著名的数学贡献。
据传说,毕达哥拉斯在得出此定理很高兴,曾宰杀了牛来祭神,以酬谢神灵的启示。
后来又发现
2的平方根是不合理的,因为它不能表示为两个整数比,极大地困扰毕达哥拉斯和他的追随者。
他们在自己的认知中,二是一些单位长度整数倍的长度。
因此2的平方根被认为是不合理的,
他们就尝试了知识压制。
它甚至说,谁泄露了这个秘密在海上被淹死。
毕达哥拉斯定理是关于包含一个直角三角形的发言。
毕达哥拉斯定理指出,
对一个直角三角形斜边为边长的正方形面积,等于剩余两直角为边长正方形面积的总和
图1
根据勾股定理,在两个红色正方形的面积之和A和B,等于蓝色的正方形面积,正方形三区
因此,毕达哥拉斯定理指出的代数式是:
对于一个直角三角形的边长a,b和c,其中c是斜边长度。
虽然记入史册的是著名的毕达哥拉斯定理,但是巴比伦人知道某些特定三角形的结果比毕达哥拉斯早一千年。
现在还不知道希腊人最初如何体现了勾股定理的证明。
如果用欧几里德的算法使用,很可能这是一个证明解剖类型类似于以下内容:
六^维-论~文.网
“一个大广场边a+b是分成两个较小的正方形的边a和b分别与两个矩形A和B,这两个矩形各可分为两个相等的直角三角形,有相同的矩形对角线c。
四个三角形可安排在另一侧广场a+b
中的数字显示。
在广场的地方就可以表现在两个不同的方式:
1。
由于两个长方形和正方形面积的总和:
2。
作为一个正方形的面积之和四个三角形:
现在,建立上面2个方程,求解得
因此,对c的平方等于a和b的平方和(伯顿1991)
有许多的勾股定理其他证明方法。
一位来自当代中国人在中国现存最古老的含正式数学理论能找到对Gnoman和天坛圆路径算法的经典文本。
这勾股定理证明是一个鼓舞人心的数字证明,被列入书Vijaganita,(根计算),由印度数学家卜哈斯卡瑞。
卜哈斯卡瑞的唯一解释是他的证明,简单地说,“看”。
这些发现证明和周围的几何定理的毕达哥拉斯是导致在作为Pythgorean数论问题的最早的问题之一。
毕达哥拉斯问题:
找到所有的边的长度为直角三角形边长的组成,从而找到在毕达哥拉斯方程的正整数所有的解决方案:
有三个整数(x,y,z)满足这个方程,则称为勾股数。
部分勾股数:
xyz
345
51213
72425
94041
116061
该公式将产生所有勾股数最早出现在书欧几里德的元素x:
1794
数学与应用数学英文文献及翻译-勾股定理
其中n和m是.正整数,且不同为奇数或偶数
在他的书中算术,丢番图证实,他能利用这个公式直角三角形,虽然他给了一个不同的论证。
勾股定理可在初中向学生介绍。
在高中这个定理变得越来越重要。
仅仅这样还不够,为勾股定理代数公式,学生需要看到的几何连接以及在教学和学习中的勾股定理,可丰富和通过使用增强点纸,geoboards,折纸,和计算机技术,以及许多其他的教学材料。
通过对教具和其他教育资源的使用,毕达哥拉斯定理可能意味着更多的学生不仅仅是插上数字的公式。
以下是对勾股定理的证明包括欧几里德一个品种。
这些证明,随着教具和技术提高,可以大大提高学生对勾股定理的理解。
下面是一个由欧几里德其中最有名的数学家之一证明的总结。
这个证明可以在书欧几里德的《元素》中找到。
命题:
直角三角形上斜边的平方等于在直角边的平方和。
图2
欧几里德开始在上面图2所示的毕达哥拉斯配置。
然后,他建造了一个垂直线,从C做DJ就关于斜边垂线。
这点H和G是本与斜边上的正方形的边垂足。
它位于的三角形ABC的高。
见图3。
下一步,欧几里德表明六^维-论~文.网,矩形HBDG面积等于BC上正方形的和与矩形的HAJG正方形的面积关系。
他证明了这些等式利用相似的概念,三角形ABC,AHC和CHB相似,HAJG面积=(HA)(AG),AJ=AB,HAJG面积=(HA)(AB),三角形ABC与三角形AHC相似,即:
。
因此,
以同样的方式,三角形ABC的和CHG是相似的。
所以
即
由于这两个矩形的面积之和,是对斜边正方形的面积,这样就完成了证明。
欧几里德急于把这个结果在他的工作尽快得出结果。
然而,由于他的工作与相似联系不大,直至图书第五和第六,他必须与另一种方式来证明了勾股定理。
因此,他采用平行四边形的结果是相同的基础上翻一番,并在同一平行线之间的三角形。
连接CJ和BE。
矩形的AHGJ面积是三角形JAC面积的两倍,以及ACLE面积是三角形BAE面积的两倍。
这两个三角形全等采用SAS。
在同样的结果如下,为其他类似的方式长方形和正方形。
(卡茨,1993年)
点击这里,普惠制动画来说明这方面的证据。
接下来的三个证据更容易看到了毕达哥拉斯定理证明,将高中数学学生的理想选择。
其实,这些都是可以证明,学生可以自己在某个时候兴建
hePythagoreanTheoremwasoneoftheearliesttheoremsknowntoancientcivilizations.ThisfamoustheoremisnamedfortheGreekmathematicianandphilosopher,Pythagoras.PythagorasfoundedthePythagoreanSchoolofMathematicsinCortona,aGreekseaportinSouthernItaly.Heiscreditedwithmanycontributionstomathematicsalthoughsomeofthemmayhaveactuallybeentheworkofhisstudents.
ThePythagoreanTheoremisPythagoras'mostfamousmathematicalcontribution.Accordingtolegend,Pythagoraswassohappywhenhediscoveredthetheoremthatheofferedasacrificeofoxen.Thelaterdiscoverythatthesquarerootof2isirrationalandtherefore,cannotbeexpressedasaratiooftwointegers,greatlytroubledPythagorasandhisfollowers.Theyweredevoutintheirbeliefthatanytwolengthswereintegralmultiplesofsomeunitlength.Manyattemptsweremadetosuppresstheknowledgethatthesquarerootof2isirrational.Itisevensaidthatthemanwhodivulgedthesecretwasdrownedatsea.
ThePythagoreanTheoremisastatementabouttrianglescontainingarightangle.ThePythagoreanTheoremstatesthat:
"Theareaofthesquarebu六^维-论~文.网iltuponthehypotenuseofarighttriangleisequaltothesumoftheareasofthesquaresupontheremainingsides."
Figure1
AccordingtothePythagoreanTheorem,thesumoftheareasofthetworedsquares,squaresAandB,isequaltotheareaofthebluesquare,squareC.
Thus,thePythagoreanTheoremstatedalgebraicallyis:
forarighttrianglewithsidesoflengthsa,b,andc,wherecisthelengthofthehypotenuse.
AlthoughPythagorasiscreditedwiththefamoustheorem,itislikelythattheBabyloniansknewtheresultforcertainspecifictrianglesatleastamillenniumearlierthanPythagoras.ItisnotknownhowtheGreeksoriginallydemonstratedtheproofofthePythagoreanTheorem.IfthemethodsofBookIIofEuclid'sElementswereused,itislikelythatitwasadissectiontypeofproofsimilartothefollowing:
"Alargesquareofsidea+bisdividedintotwosmallersquaresofsidesaandbrespectively,andtwoequalrectangleswithsidesaandb;eachofthesetworectanglescanbesplitintotwoequalrighttrianglesbydrawingthediagonalc.Thefourtrianglescanbearrangedwithinanothersquareofsidea+basshowninthefigures.
heareaofthesquarecanbeshownintwodifferentways:
1.Asthesumoftheareaofthetworectanglesandthesquares:
2.Asthesumoftheareasofasquareandthefourtriangles:
Now,settingthetworighthandsideexpressionsintheseequationsequal,givesTherefore,thesquareoncisequaltothesumofthesquaresonaandb.(Burton1991)TherearemanyotherproofsofthePythagoreanTheorem.OnecamefromthecontemporaryChinesecivilizationfoundintheoldestextantChinesetextcontainingformalmathematicaltheories,theArithmeticClassicoftheGnomanandtheCircularPathsofHeaven.
TheproofofthePythagoreanTheoremthatwasinspiredbyafigureinthisbookwasincludedinthebookVijaganita,(RootCalculations),bytheHindumathematicianBhaskara.Bhaskara'sonlyexplanationofhisproofwas,simply,"Behold".
TheseproofsandthegeometricaldiscoverysurroundingthePythagoreanTheoremledtooneoftheearliestproblemsinthetheoryofnumbersknownasthePythgoreanproblem.
ThePythagoreanProblem:
Findallrighttriangleswhosesidesareofintegrallength,thusfindingallsolutionsinthepositiveintegersofthePythagoreanequation:
Thethreeintegers(x,y,z)thatsatisfythisequationiscalledaPythagoreantriple.
SomePythagoreanTriples:
xyz
345
51213
72425
94041
116061
TheformulathatwillgenerateallPythagoreantriplesfirstappearedinBookXofEuclid'sElements:
wherenandmarepositiveintegersofoppositeparityandm>n.
InhisbookArithmetica,Diophantusconfirmedthathecouldgetrighttrianglesusingthisformulaalthoughhearrivedatitunderadifferentlineofreasoning.
ThePythagoreanTheoremcanbeintroducedtostudentsduringthemiddleschoolyears.Thistheorembecomesincreasinglyimportantduringthehighschoolyears.ItisnotenoughtomerelystatethealgebraicformulaforthePythagoreanTheorem.Studen六^维-论~文.网tsneedtoseethegeometricconnectionsaswell.TheteachingandlearningofthePythagoreanTheoremcanbeenrichedandenhancedthroughtheuseofdotpaper,geoboards,paperfolding,andcomputertechnology,aswellasmanyotherinstructionalmaterials.Throughtheuseofmanipulativesandothereducationalresources,the
PythagoreanTheoremcanmeanmuchmoretostudentsthanjust
andpluggingnumbersintotheformula.
ThefollowingisavarietyofproofsofthePythagoreanTheoremincludingonebyEuclid.Theseproofs,alongwithmanipulativesandtechnology,cangreatlyimprovestudents'understandingofthePythagoreanTheorem.
ThefollowingisasummationoftheproofbyEuclid,oneofthemostfamousmathematicians.ThisproofcanbefoundinBookIofEuclid'sElements.
Proposition:
Inright-angledtrianglesthesquareonthehypotenuseisequaltothesumofthesquaresonthelegs.
Figure2
EuclidbeganwiththePythagoreanconfigurationshownaboveinFigure2.Then,heconstructedaperpendicularlinefromCtothesegmentDJonthesquareonthehypotenuse.ThepointsHandGaretheintersectionsofthisperpendicularwiththesidesofthesquareonthehypotenuse.ItliesalongthealtitudetotherighttriangleABC.SeeFigure3.
Figure3
Next,EuclidshowedthattheareaofrectangleHBDGisequaltotheareaofsquareonBCandthattheareoftherectangleHAJGisequaltotheareaofthesquareonAC.Heprovedtheseequalitiesusingtheconceptofsimilarity.TrianglesABC,AHC,andCHBaresimilar.TheareaofrectangleHAJGis(HA)(AJ)andsinceAJ=AB,theareaisalso(HA)(AB).ThesimilarityoftrianglesABCandAHCmeans
or,astobeproved,theareaoftherectangleHAJGisthesameastheareaofthesquareonsideAC.Inthesameway,trianglesABCandCHGaresimilar.So
Sincethesumoftheareasofthetworectanglesistheareaofthesquareonthehypotenuse,thiscompletestheproof.
Euclidwasanxioustoplacethisresultinhisworkassoonaspossible.However,sincehisworkonsimilaritywasnottobeuntilBooksVandVI六^维-论~文.网,itwasnecessaryforhimtocomeupwithanotherwaytoprovethePythagoreanTheorem.Thus,heusedtheresultthatparallelogramsaredoublethetriangleswiththesamebaseandbetweenthesameparallels.DrawCJandBE.
TheareaoftherectangleAHGJisdoubletheareaoftriangleJAC,andtheareaofsquareACLEisdoubletriangleBAE.ThetwotrianglesarecongruentbySAS.Thesameresultfollowsinasimilarmannerfortheotherrectangleandsquare.(Katz,1993)
ClickhereforaGSPanimationtoillustratethisproof.
ThenextthreeproofsaremoreeasilyseenproofsofthePythagoreanTheoremandwouldbeidealforhighschoolmathematicsstudents.Infact,theseareproofsthatstudentscouldbeabletoconstructthemselvesatsomepoint.
Thefirstproofbeginswitharectangledividedupintothreetriangles,eachofwhichcontainsarightangle.Thisproofcanbeseenthroughtheuseofcomputertechnology,orwithsomethingassimpleasa3x5indexcardcutupintorighttriangles.
Figure4
Figure5
Itcanbeseenthattriangles2(ingreen)and1(inred),willcompletelyoverlaptriangle3(inblue).Now,wecangiveaproofofthePythagoreanTheoremusingthesesametriangles.
Proof:
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