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概率统计习题
第一章
随机事件与概率
例题精选
1已知U为必然事件,V为不可能事件,则P(U)=1,P(V)=0
2.已知事件A的概率P(A)=0.6,U为必然事件,则P(A+U)=1,P(AU)=
0.6
3.设A、E、C是三个事件,试将下列事件用A、E、C表示出来
(1){A发生而E、C都不发生}=ABC
(2){A、E都发生,而C不发生}=ABC
(3){A、E、C都发生}=ABC
(4){A、E,C中至少有一个发生}=A+B+C
(5){A、E、C中恰好一个发生}=ABCABCABC
(6){A、E,C中至少有一个不发生}=ABC
4.一个口袋内装有大小相等、质量相同的球(2个红球,3个白球,4个黑球),每次摸取1个,有放回地取两次,求取得的球中无红或无黑球的概率
解:
设A={无红},B={无黑},C={全白},则C=AB
故P(无红或无黑球)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=72+5232
=2+2-2
999
_65
—
81
5某药检所以送检的10件药品中先后抽检了两件,如果10件中有3件次品,求
(1)第一次检得次品的概率
(2)第一次检得次品后,第二次检得次品的概率
(3)两次都检得次品的概率
解:
设A={第一次检得次品},B={第二次检得次品},得
(1)P(A)=3/10
(2)P(B|A)=2/9
321
(3)P(AB)=P(A)P(B|A)=
10915
或按古典概型计算,p(ab)=22-
10汉915
6.甲、乙同时彼此独立地向一敌机开炮,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率
为0.5,求敌机被击中的概率
解:
设A={甲击中敌机},B={乙击中敌机},C={敌机被击中},贝U
C=A+B且A与B独立。
故
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=0.6+0.5-0.60.5=0.8
练习选解
练习1-2
1.在1、2、3、4、5这五个数字中任取两个,取得的两数之和为偶数的概率是多少?
P(A)=
C「C;
C52
=4/10=0.4
解:
设A={取得的两数之和为偶数},则
2.将一均匀硬币抛投两次,求下列事件的概率
(1)出现两次正面
(2)恰好出现一次正面
(3)至少出现一次正面
解:
设A={出现两次正面},B={恰好出现一次正面},C={至少出现一次正面},贝U
1
P(A)=—=1/4
22
2
P(B)=二=1/2
22
P(C)=P(A)+P(B)=3/4
3.袋中有大小相等、质量相同的球(3个蓝色球和5个红色球),从中任取2个球,问取出的2个球都是红色的概率是多少?
解:
设A={取出的2个球都是红色},则
P(A)=?
=5/14〜0.357
C;
4.65件产品,有正品60件,次品5件。
求
(1)从中任取一件而取得正品的概率?
(2)任取二件都取到正品的概率?
(3)任取两件取到一件正品、一件次品的概率?
解:
设A={任取一件而取得正品},B={任取二件都取到正品},C={取到一件正品、一件
次品},则
P(A)
_c6cc1
65
P(B)
-Cjc
c65
P(C)=
c;°cc2
65
练习1-3
=12/13〜0.9231
=177/208〜0.8510
1
5=15/104〜0.1442
2.若某地区人群中患结核病的概率为0.006,患沙眼病的概率为0.04,兼患此两种病的概率
为0.001,问该地区人群中至少患有一种病的概率。
解:
设A={患结核病},B={患沙眼病},则A与B独立。
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=0.006+0.04-0.001
=0.045
3.某机械零件的加工由两道工序组成。
第一道工序的废品率为0.015,第二道工序的废品率为
0.02,假定两道工序出废品是彼此无关的,求产品的合格率。
解:
设A={第一道工序生产的废品},B={第二道工序生产的废品},C={合格的产品},则
解法1:
P(C)=P(AB)=P(AB)=1-P(A+B)
=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]
=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
=1-0.015-0.02+0.0150.02
=0.9653
=96.53%
解法2:
P(C)=P(AB)=P(A)P(B)
=[1-P(A)][1-P(B)]
=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
=1-0.015-0.02+0.0150.02
=0.9653
=96.53%
4.某医疗器械厂的全部产品中有废品3%在合格品中有80%!
—级品。
求从产品中任取出一
产品恰是一级品的概率。
解:
设A={合格品},B={一级品},显然,A包含B,得P(A)=1-3%=97%,
P(B|A)=80%
•••P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=97%80%=0.776
5.设一袋中有大小相等、质量相同的两个红球,三个白球,从中每次任取一个,连取二次(无放回的抽取),求“第一次取得红球,第二次取得白球”的概率。
解:
设A={第一次取得红球},B={第二次取得白球}
233
•••P(AB)=P(A)P(B|A)=
5410
6.设一袋中有大小相等、质量相同的两个红球,三个白球,第一次取出一球,取后放回,第
二次再取一球,求“第一次取得红球,第二次取得白球”的概率。
解:
设A={第一次取得红球},B={第二次取得白球}
236
•••P(AB)=P(A)P(B)=
5525
练习1-3
1•假定患有肺结核的人,通过胸部透视被诊断为肺结核的概率为95%而未患肺结核的人,
通过透视被误诊为肺结核的概率为0.20%。
设某地居民患肺结核的概率为0.1%,若从中随机抽出1人,通过透视被诊断为肺结核,问此人确实患有肺结核的概率是多少?
解:
设A={诊断为肺结核},B={患有肺结核},由题意得:
P(A|B)=95%,P(A|B)=0.20%,P(B)=0.1%,P(B)=99.9%
由逆概公式可知
P(B|A)=——P(B)P(ALB)—=
P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)
=0.1%汉95%
—0.1%95%99.9%0.20%
=32.225%
2.10人抓阄,其中有两个是“有”,其余是无,试判定第一个抓阄者是否比第二个更合算。
解:
设A={第一个抓阄者抓到“有”},B={第二个抓阄者抓到“有”},
依题意得:
P(A)=2/10=1/5=0.2,根据全概率公式有
P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P((B|A)
1142
=
5959
=0.2
由于P(A)=P(B),故先抓阄者与后抓阄者获得“有”的机会是相等的。
练习1-5
1.用某药物治疗某种疾病,治愈的概率为P=0.6,不愈的概率为q=1-P=0.4(这里我们观察的
指标只定为治愈和不愈这两种),而每次治疗的结果互不影响(即相互独立),现在用这种
药物治疗4人,问下述事件的概率是多少?
(1)4人治愈
(2)4人都不愈
(3)4人中恰有1人治愈(4)4人中至少有1人治愈
解:
根据贝努里概型计算公式得:
44
P4(4)=C40.6=0.1296
P4(0)二C0(O.6)°(O.4)4=0.0256
113
P4
(1)=C4(0.6)(0.4)=0.1536
P(4人中至少有1人治愈)=1-P4⑼=0.9744
2.对某种新药进行研究,预计它对某种疾病的有效率为0.7,试问10个患该病的病人服用此
药后至少有5人有效的概率是多少?
解:
P{10个患该病的病人服用此药后至少有5人有效}
=P10(5)Pw(6)R°(7)+P10(8)P10(9)P10(10)
=C1o(0.7)5(0.3)5Cw(0.7)6(0.3)4C;(0.7)7(0.3)3C^(0.7)8(0.3)2
=0.9527
3.在一定的条件下,某种微生物菌落在培养基中出现的概率为0.8.现在保留相同条件下,
分别在5个培养基中接种,求至少有4个培养基中出现菌落的概率?
441550
=C5(0.8)(0.2)C5(0.8)(0.2)
=0.7373
习题一
1.10件产品中有3件次品,任取4件产品,求:
(1)事件A=“恰有两件次品”
(2)事件B
二“没有次品”;(3)事件C=“至少有一件次品”的概率
解:
P(A)==3/10
C10
C4
P(…盘=1/6
P(C)=1-P(B)=5/6
有20瓶“冬含补膏”,所装补膏的瓶中,有5只瓶口高低不平(属次品)。
现从中任取三
瓶,求最多取到一瓶是次品的概率。
解:
设Ai={取到i瓶是次品},i=0,1;A={最多取到一瓶是次品},显然,A=A)+Ai,且
C;G25
C3
P(A0)=芳,P(A)=C3
C20C20
•••P(A)=P(A°)+P(AJ=49/57
某个人群中患沙眼病的概率为0.04,现抽查20人,求其中有二人患沙眼的概率。
解:
已知P=0.04,n=20,k=2,根据贝努里概型计算公式得:
卩2。
(2)二C;°(0.04)2(0.96)18=0.1462
今有甲乙两盒乒乓球,各装10只,已知甲盒中有7只新的,乙盒中有6只是新的,现从
甲乙两盒中各任取一只。
试求:
(1)取到2只都是新球的概率;
(2)取到2只都是旧球的
概率(3)取到2球是一新一旧的概率。
解:
设A={从甲盒中取得一新球},B={从乙盒中取得一新球},则P(A)=7/10,P(B)=6/10,
且A与B独立。
(1){取到2只都是新球}=AB,
P(AB)=—-0.42
1010
(2){取到2只都是旧球}=AB
76
•••P(AB)=
(1)
(1)=0.12
1010
(3){取到2球是一新一旧}=AB+AB
7436
/.P(AB+AB)=+046
10101010
7甲乙两生产队分别有小麦种子250kg和750kg,假如甲队小麦的发芽率为88%乙队小麦的发芽率为92%现两队将所有小麦种子混合播种。
求种子发芽的概率。
解:
设A={甲队小麦种子},A={乙队小麦种子},B={种子发芽},则
P(A)=250/(250+750)=25%,P(A)=750/(250+750)=75%,P(B|A)=88%,P((B|A)=92%=根据全概率公式有
P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P((B|A)
=25%88%+75%92%
=91%
8假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌,这里以事件A表示“被检查者患有肝癌”,以事件B表
示“判断被检查者患有肝癌”即试验反应为阳性。
已知真阳性率为P(B|A)=95%,真阴性率
为P(B|A)=92%,若某地区的人群中患肝癌的比率为0.05%,现有一人被此检验法诊断为患肝癌,求此人真的患肝癌的概率P(A|B)
解:
由题意得:
P(A)=0.05%,P(B|A)=95%,P(B|A)=92%,则
P(A)=1-0.05%=99.95%,P(B|A)=1-P(B|A)=1-92%=8%
由逆概公式可知
P(A)P(B|A)
P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)
_0.05%x95%
0.05%95%99.95%8%
_0.0059
9某药对某病治愈率为0.6,无效率为0.4.如用该药治某病5例,问:
预期治愈几例的可能性最大?
解:
根据贝努里概型计算公式得:
P5(0)=C5)(0.6)°(0.4)5=0.01024
F5
(1)=C;(0.6)1(0.4)4=0.0768
P5
(2)=C|(0.6)2(0.4)3=0.2304
332
F5(3)二C5Q6)(0.4)=0.3456
P5(4)=Cs(0.6)4(0.4)1=0.2592
P5(5)=C;(0.6)5(0.4)0=0.07776
故预期治愈3例的可能性最大.
第二章随机变量的概率分布和数字特征
例题精选
1随机变量X服从参数卩,6的正态分布,则随机变量X的概率密度函数为:
1」X_J2
f(x)二十1「2孑(_:
:
:
:
:
X:
:
:
:
),E(X)_」,D(X)—2
2设x服从二项分布B(n,p),贝UE(X)_n,D(X)_np(1-p)
练习选解
练习2-1
3.设某运动员投篮命中的概率为0.8,独立投三次,求命中次数的概率函数。
解:
已知P=0.8,q=1-0.8=0.2,n=3
分布律如下:
X
0123
P(X=k)
0.0080.0960.3840.512
4〜7(略)
8.设X〜N(巴/),求P(x,cXcx2);P(X_片£1.96。
解:
P(x^:
:
X:
:
X2)=:
―叮
CT P(X—4<1.96口)=P(—1.96b+Pvx<1.96b+A) : 严6…J—.,「.96匚」」) CT =G(1.96)—门(一1.96) =0.97500-0.02500=95% 9.从学校乘车去火车站,有两条路可走。 一条穿过闹市区,路程较短,但交通拥挤,所需时 间X(单位为分)服从正态分布: N(50,100),第二条路沿环城路,路程较远,但意外阻塞较少,也服从正态分布: N(60,16)。 假若有70分钟可用,应走哪条路? 60分钟又应走哪条路? 解: (1)假若有70分钟可用时, 第一条路P(0 : 」(一5°)——: 」(050)=: : 」 (2)-: 」(-5)=0.97725 1010 第二条路P2(OvX<6O)=: : 」(60—60)—: >(-60)-: ^(0)-: : 」(-15)=0.544 •••Pi(0 假若有60分钟可用时,应走第一条路线。 10.设随机变量X服从正态分布N(70,100),试求: (1)随机事件(X<62的概率; (2)随机 事件(x>72的概率;(3)X落在68〜74之间的概率 解: (1)P(X<62)=讥6^70)=「(_0.8)=0.2119 10 (2)P(X>72)=1-P(X<72)=1^>(7^70)=1^/(0.2)=1-0.5793=0.4207 (3)P(68 」(68_70)=: : .4.2) 1010 =0.6554-0.4207=0.2347 练习2-2 1.已知随机变量X的概率分布为 P{X=k}=1/10,k=2,4,…,18,20。 求E(X).。 1111解: E(X)=246...■20- 10101010 1=(2+4+6+…+20) 10 =110— 10 =11 2甲、乙两位外科医生,各自对20名心脏病人进行手术治疗,设这两组病人年龄、病情等基本相同,用X1、X2分别表示甲乙两位医生手术成功人数。 X1、X2的概率分布如表所示,问甲乙两位医生的技术水平如何? 表1甲医生 0.121 P 0.2670.1030.009 0.000 0.028 0.234 0.200 0.037 0.001 0.000 表1 乙医生 工201 2345 6789 10 0.010 0.1170.2470.117 0.010 P 0.001 0.044 0.205 0.205 0.044 0.000 解: E(XJ=為Xj口=00.02810.121...100.000=2.998 E(X2)八xipi=00.00110.010...100.000=4.995 TE(X1): : : E(X2) •••乙医生的技术水平高于甲医生的技术水平。 3将一硬币连掷10次,以X表示出现正面的次数,试写出X的概率分布 解: 已知P=0.5,q=1-0.5=0.5,n=10 •P(X=k)=G0(0.5)k(0.5)10* k10 =Go(0.5)(k=0,1,2,…,10) (概率分布表从略) X的概率分布表 4从四名男学员和两名女学员中,选两人当组长,求男学员被选为组长人数和分布函数。 于是,F(X)眾 0 1/15 3/5 1 X: : : 0 0 1 : : 2 X_2 5.随机变量X1,X2…,Xn相互独立,并且服从同一分布,即E(Xi)=・i,D(Xi)乂2,i=1, 1n 2,…,求这些随机变量的算术平均值X二丄^Xi的数学期望与方差 ny 1n 解: E(X)=E(丄、Xi ni二 1n1n1 )=E(二Xi)=E(Xi)=n"=J nynyn 1n D(X)=D(丄、Xi ni壬 )=AdTXi)=A'0D(Xi)=An「2ni吕nimn 6.随机变量X的分布率为 0.40.30.3 试求E(X),D(X) 解法一: E(X)二為人口20.400.320.3=-0.2 D(X)八[洛-E(X)]2pj=[-2-(-0.2)]20.4[0-(-0.2)]20.3 +[2-(-0.2)]20.3 =1.296+0.012+1.452 =2.76 解法二: : E(X)二為xip^-20.400.320.3=-0.2 E(X2)(xj2p=(-2)20.4020.3220.3=2.8 22 •••D(X)=E(X)-[E(X)] =2.8-(-0.2)(-0.2)=2.76 7.设X~N(3,4),试求P(2: : X^5);P(-4 5_32_3 解: ⑴P(2: : : X乞5)=G(口)一G(23)=: .: 」 (1)-门(_0.5) 22 =0.8413-0.3085=0.5328 10_3_4_3 ⑵P(—4^X叮0)=讥)—: 』()=「(3.5)-「(—3.5) =: : 」(3.5)-[1-: : 」(3.5)]=2: : 」(3.5)-1 =20.9997674-1=0.9995 (4)P(X>3)=1-P(X<3)=1-: 」( ^-3)=1-: j(0) 2 =1-0.5=0.5 8设随机变量X~N(a,;「2),求X落在区间a-k;「,a-k;「啲概率。 其中: k=1,2,3。 —a十ka—aa—kb—a 解: P(a_k;「_Xmak;「)=: : 」()一: : 」()=: 「(k)-十(_k) aa =2「(k)-1 当k=1时,P(a-k;「EXEak;J=2: : 」 (1)-1=20.8413—仁0.6826 当k=2时,P(a-k;「EX^ak;「)=2 (2)-1=20.97725—仁0.9545 当k=3时,P(a-k;「EX^ak;「)=2: : 」(3)-1=20.998650—1=0.9973 可见,随机变量X之值几乎全部落入区间la-3「a・3二内。 f(x)二 1 40、.2二 (xdO)2 3200 —ooVXV+X 9.测量到某一目标的距离时发生的随机误差X(米)具有分布密度 求在一次测量中随机误差不超过30米的概率 解: 由题意可知: 「二20,二=40 -30-20 40 )=: : 」(0.25)-: : 」(-1.25) 30—20 二P(_30^X乞30)=: : 」()一: : 」( =0.5987-0.1056 =0.4931 70-600-60 第二条路P2(0vX<70)=: : 」()—: 弋)=: : 」(2.5)-「(-15)=0.993790 44 •••P1(0 .假若有70分钟可用时,应走第二条路线。 (2)假若有60分钟可用时, 第一条路P(0 : 」(6°一50)—」(050)=: 」 (1)-: : 」(-5)=0.8413 1010
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