高考理科数学直线与圆圆与圆的位置关系复习教案.docx
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高考理科数学直线与圆圆与圆的位置关系复习教案
2013高考理科数学直线与圆、圆与圆的位置关系复习教案
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八84 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲要求
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.
2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
4.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置,会推导空间两点间的距离公式.知识梳理
1.直线与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系有三种:
____、____、____
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法:
①代数法:
把直线方程与圆的方程联立方程组,消去x或整理成一元二次方程后,计算判别式Δ=b2-4a>0⇔ ,=0⇔ ,<0⇔
②几何法:
利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系:
d<r⇔____,
d=r⇔____,
d>r⇔____
(2)圆的切线方程:
若圆的方程为x2+2=r2,点P(x0,0)在圆上,则过P点且与圆x2+2=r2相切的切线方程为____________.
注:
点P必须在圆x2+2=r2上.
经过圆(x-a)2+(-b)2=r2上点P(x0,0)的切线方程为______________.
经过圆x2+2+Dx+E+F=0上点P(x0,0)的切线方程为__________.
(3)直线与圆相交:
直线与圆相交时,若l为弦长,d为弦心距,r为半径,则有r2=______,即l=2r2-d2,求弦长或已知弦长求其他量的值,一般用此公式.
2.圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系可分为五种:
_____、_____、_____、_____、_____
(2)判断圆与圆的位置关系常用方法:
①几何法:
设两圆圆心分别为1,2,半径为r1,r2(r1≠r2),则|12|>r1+r2⇔____;|12|=r1+r2⇔____;|r1-r2|<|12|<r1+r2⇔____;|12|=|r1-r2|⇔____;|12|<|r1-r2|⇔____
②代数法:
方程组x2+2+D1x+E1+F1=0,x2+2+D2x+E2+F2=0,
有两组不同的实数解⇔两圆____;
有两组相同的实数解⇔两圆____;
无实数解⇔两圆相离或内含.
3.在空间直角坐标系中,叫做坐标原点,x,,z轴统称为坐标轴,由坐标轴确定的平面叫做坐标平面.这儿所说的空间直角坐标系是空间右手直角坐标系:
即伸开右手,使拇指指向______轴的正方向,食指指向______轴的正方向,中指指向______轴的正方向.也可这样建立坐标系:
令z轴的正方向竖直向上,先确定x轴的正方向,再将其按逆时针方向旋转90°就是轴的正方向.
4.空间点的坐标
设点P(x,,z)为空间坐标系中的一点,则
(1)关于原点的对称点是______;
(2)关于x轴的对称点是______;(3)关于轴的对称点是______;(4)关于z轴的对称点是______;()关于x坐标平面的对称点是______;(6)关于z坐标平面的对称点是______;(7)关于xz坐标平面的对称点是______.
.空间两点间的距离
设A(x1,1,z1),B(x2,2,z2),则|AB|=__________
基础自测
1.在下列直线中,与圆x2+2+23x-2+3=0相切的直线是( ).
A.x=0B.=0
.x-=0D.x+=0
2.两圆x2+2-2=0与x2+2-4=0的位置关系是( ).
A.相交B.内切
.外切D.内含
3.直线l:
=(x-2)+2与圆:
x2+2-2x-2=0有两个不同的公共点,则的取值范围是( ).
A.(-∞,-1)B.(-1,1).(-1,+∞)D.(-∞,-1)∪(-1,+∞)
4.圆心在原点且与直线x+-2=0相切的圆的方程为________.
.直线l:
=(x+3)与圆:
x2+2=4交于A,B两点,|AB|=22,则实数=__________
6.已知A(x,2,3),B(,4,7),且|AB|=6,则x的值为__________.
思维拓展
1.在判断直线与圆相交时,当直线方程和圆的方程都含有字母时,如何判断?
提示:
若给出的方程都含有字母,利用代数法和几何法有时比较麻烦,这时只要说明直线过圆内的定点即可.
2.在求过一定点的圆的切线方程时,应注意什么?
提示:
①首先判断点与圆的位置关系,若点在圆上,该点即为切点,则切线只有一条;若点在圆外,切线应有两条;若点在圆内,无切线.②若求出的切线条数与判断不一致,则可能漏掉了切线斜率不存在的情况了.一、直线与圆的位置关系
【例1】点(a,b)是圆x2+2=r2内异于圆心的一点,则直线ax+b=r2与圆的交点个数为( ).
A.0B.1.2D.需要讨论确定
方法提炼直线与圆的位置关系有两种判定方法:
代数法与几何法.由于几何法一般比代数法计算量小,简便快捷,所以更容易被人接受.同时,由于它们的几何性质非常明显,所以利用数形结合,并充分考虑有关性质会使问题处理起更加方便.
请做[针对训练]4
二、直线与圆相交问题
【例2-1】过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+2-4=0所截得的弦长为( ).
A.3B.2.6D.23
【例2-2】已知点P(0,)及圆:
x2+2+4x-12+24=0若直线l过点P且被圆截得的弦长为43,求l的方程.
方法提炼直线与圆相交求弦长有两种方法:
(1)代数方法:
将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ>0的前提下,利用根与系数的关系求弦长.弦长公式l=1+2•|x1-x2|=(1+2)[(x1+x2)2-4x1x2]=1+2•Δ|a|其中a为一元二次方程中的二次项系数.
(2)几何方法:
若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2r2-d2
代数法计算量较大,我们一般选用几何法.
请做[针对训练]1
三、圆的切线问题
【例3】从圆(x-1)2+(-1)2=1外一点P(2,3)向该圆引切线,求切线方程.
方法提炼求圆的切线方程,一般设为点斜式方程.首先判断点是否在圆上,如果过圆上一点,则有且只有一条切线,如果过圆外一点,则有且只有两条切线.若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条,则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上.
请做[针对训练]
四、圆与圆的位置关系
【例4-1】已知圆1:
x2+2-2x+4+2-=0,圆2:
x2+2+2x-2+2-3=0,为何值时,
(1)圆1与圆2外切;
(2)圆1与圆2内含.
【例4-2】已知圆的圆心在直线x--4=0上,并且通过两圆1:
x2+2-4x-3=0和2:
x2+2-4-3=0的交点,
(1)求圆的方程;
(2)求两圆1和2相交弦所在直线的方程.
方法提炼1.判断两圆的位置关系,通常是用几何法,从圆心距d与两圆半径长的和、差的关系入手.如果用代数法,从交点个数也就是方程组解的个数判断,但有时不能得到准确结论.
2.若所求圆过两圆的交点,则可将圆的方程设为过两圆交点的圆系方程1+λ2=0(λ≠-1).
3.利用两圆方程相减即可得到相交弦所在直线的方程.
请做[针对训练]2
五、空间直角坐标系
【例-1】在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点在轴上,且到A与B的距离相等,则的坐标是__________.
【例-2】求点A(1,2,-1)关于x轴及坐标平面x的对称点B,的坐标,以及B,两点间的距离.
方法提炼求某点关于某轴的对称点时,“关于谁对称谁不变”,如点(x,,z)关于x轴的对称点是(x,-,-z);求某点关于某平面的对称点时,“缺哪个变哪个”,如点(x,,z)关于平面x的对称点是(x,,-z);点(x,,z)关于原点的对称点是(-x,-,-z).
请做[针对训练]3考情分析
通过分析近几年的高考试题,可以看到对于本节内容,主要是考查直线与圆的位置关系,以选择题、填空题为主,题目难度适中,着重于基础知识、基本方法的考查.整个命题过程主要侧重以下几点:
(1)直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的重点,特别是直线与圆的位置关系;
(2)圆中几个重要的度量关系.在直线与圆的位置关系中,弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形是解决问题的核心;在切线问题中,切线长、半径、圆外的点与圆心的连线构成的直角三角形是解决切线问题的载体.
针对训练
1.过原点的直线与圆x2+2-2x-4+4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为__________.
2.若圆x2+2=4与圆x2+2+2a-6=0(a>0)的公共弦长为23,则a=________
3.已知在空间中有△AB,其中A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),(0,0,-),则△AB的面积等于__________.
4.已知圆x2+2=2和直线=x+b,当b为何值时,圆与直线
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点.
.自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+2-4x-4+7=0相切,如图所示,求光线l所在直线的方程.
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1.
(1)相切 相交 相离 ①相交 相切 相离 ②相交 相切 相离
(2)x0x+0=r2 (x0-a)(x-a)+(0-b)(-b)=r2 x0x+0+D•x0+x2+E•+02+F=0 (3)d2+l22
2.
(1)相离 外切 相交 内切 内含
①相离 外切 相交 内切 内含 ②相交 相切
3.x z
4.(-x,-,-z) (x,-,-z) (-x,,-z) (-x,-,z) (x,,-z) (-x,,z) (x,-,z)
.(x1-x2)2+(1-2)2+(z1-z2)2
基础自测
1.B 解析:
将圆的方程化为标准方程为(x+3)2+(-1)2=1,分别结合图形及通过求解圆心到直线距离与半径的关系易得B选项正确(A,B选项均通过作图可直观判断).
2.B 解析:
两圆方程可化为x2+(-1)2=1,x2+2=4两圆圆心分别为1(0,1),2(0,0),半径分别为r1=1,r2=2
∵|12|=1=r2-r1,∴两圆内切.
3.D 解析:
由题意知,圆心(1,1)到直线l的距离d=|-1-2+2|2+1<2,解得≠-1,故的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,+∞).
4.x2+2=2 解析:
圆心(0,0)到直线x+-2=0的距离d=|-2|12+12=2
∴圆的方程为x2+2=2
.±147 解析:
由已知可求出圆心到直线l的距离d=2,即|3|1+2=2,解得=±147
6.1或9 解析:
由空间两点间的距离公式,得(x-)2+(2-4)2+(3-7)2=6,
即(x-)2=16,解得x=1或x=9
考点探究突破
【例1】A 解析:
由题意知a2+b2<r2,
所以圆心(0,0)到直线ax+b-r2=0的距离d=r2a2+b2>r,
即直线与圆相离,无交点.
【例2-1】D 解析:
直线方程为=3x,圆的方程可化为x2+(-2)2=4
圆心(0,2),半径长r=2
圆心到直线=3x的距离d=1
则弦长为2r2-d2=23
【例2-2】解:
圆的方程可化为(x+2)2+(-6)2=16,圆心(-2,6),半径长r=4
又直线l被圆截得的弦长为43,
所以圆心到直线l的距离d=42-(23)2=2
当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=0,此时符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线方程为-=x,即x-+=0
由|-2-6+|2+1=2,得=34,
此时l的方程为34x-+=0,即3x-4+20=0故所求直线方程为x=0或3x-4+20=0
【例3】解:
当切线斜率存在时,设切线方程为-3=(x-2),即x-+3-2=0
∵圆心为(1,1),半径长r=1,
∴|-1+3-2|2+(-1)2=1,∴=34
∴所求切线方程为-3=34(x-2),
即3x-4+6=0
当切线斜率不存在时,因为切线过点P(2,3),且与x轴垂直,此时切线的方程为x=2
【例4-1】解:
对于圆1与圆2的方程,经配方后得
1:
(x-)2+(+2)2=9;
2:
(x+1)2+(-)2=4
(1)如果1与2外切,则有(+1)2+(+2)2=3+2
(+1)2+(+2)2=2即2+3-10=0,解得=-,或=2
(2)如果1与2内含,则有(+1)2+(+2)2<3-2
(+1)2+(+2)2<1,2+3+2<0,
解得-2<<-1
∴当=-,或=2时,圆1与圆2外切;当-2<<-1时,圆1与圆2内含.
【例4-2】解:
(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,
故设此圆的方程为x2+2-4x-3+λ(x2+2-4-3)=0,(λ≠-1,λ∈R),即(1+λ)(x2+2)-4x-4λ-3λ-3=0,即x2+2-4x1+λ-4λ1+λ-3=0,圆心为21+λ,2λ1+λ
由于圆心在直线x--4=0上,
∴21+λ-2λ1+λ-4=0,解得λ=-13,
所求圆的方程为x2+2-6x+2-3=0
(2)将圆1和圆2的方程相减,得x-=0,此即相交弦所在直线的方程.
【例-1】(0,-1,0) 解析:
设(0,,0),由(1-0)2+(0-)2+(2-0)2=(1-0)2+(-3-)2+(1-0)2,
解得=-1,故(0,-1,0).
【例-2】解:
易知B(1,-2,1),(1,2,1).
所以|B|=
(1-1)2+(-2-2)2+(1-1)2=4
演练巩固提升
针对训练
1.2x-=0 解析:
圆的方程可化为(x-1)2+(-2)2=1,可知圆心为(1,2),半径为1
设直线方程为=x,则圆心到直线的距离为d=|-2|1+2,故有|-2|1+2=0,解得=2故直线方程为=2x,即2x-=0
2.1 解析:
依题,画出两圆位置如下图,公共弦为AB,交轴于点,连接A,则|A|=2两圆方程相减,得2a=2,解得=1a,
∴||=1a
又公共弦长为23,∴|A|=3
于是,由Rt△A可得2=A2-A2,即1a2=22-(3)2,
整理得a2=1,又a>0,∴a=13.92 解析:
根据空间中两点间的距离公式可得:
|AB|=(1+1)2+(-2+1)2+(-3+1)2=3,
|B|=(-1-0)2+(-1-0)2+(-1+)2=32
|A|=(1-0)2+(-2-0)2+(-3+)2=3
因为|AB|=|A|,且|AB|2+|A|2=|B|2,
所以△AB是以A为直角的等腰直角三角形,故其面积S=12|AB||A|=12×3×3=92
4.解:
方法一:
圆心(0,0)到=x+b的距离d=|b|2,圆的半径长r=2
(1)d<r,即-2<b<2时,直线与圆相交,有两个公共点;
(2)d=r,即b=2或b=-2时,直线与圆相切,有一个公共点;
(3)d>r,即b>2或b<-2时,直线与圆相离,没有公共点.
方法二:
把直线=x+b与圆的方程x2+2=2联立,即=x+b,x2+2=2,消去,整理得2x2+2bx+b2-2=0
再利用△>0,△=0,△<0,分别确定b的取值,结论同“方法一”.
.解法一:
设入射光线l所在直线方程为-3=(x+3).因为点A关于x轴的对称点为A′(-3,-3),所以反射光线所在直线经过点A′又∵光线的入射角等于反射角,
∴反射光线所在直线的方程为
x++3+3=0
∵反射光线与圆x2+2-4x-4+7=0相切,
∴|2+2+3+3|2+1=1,解得=-34,或=-43∴入射光线l所在的直线方程为-3=-34(x+3),或-3=-43(x+3),
即3x+4-3=0,或4x+3+3=0
解法二:
圆:
x2+2-4x-4+7=0关于x轴的对称圆′的方程为x2+2-4x+4+7=0
因入射光线经x轴反射后与圆相切,则入射光线所在直线与圆′相切.
设l:
-3=(x+3),即x-+3+3=0
∵圆′的圆心(2,-2)到l的距离与半径长相等,∴|2+2+3+3|2+1=1,
∴=-34,或=-43
∴入射光线所在直线方程为
3x+4-3=0,或4x+3+3=0
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