VI《等比数列及其前n项和》作业.docx
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VI《等比数列及其前n项和》作业
§6.3 等比数列及其前n项和
最新考纲
考情考向分析
1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
3.了解等比数列与指数函数的关系.
以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主,等比数列的证明也是考查的热点.本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查,也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.
1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).
2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=a1·qn-1(a1≠0,q≠0).
3.等比中项
如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义,
=
,G2=ab,G=±
,称G为a,b的等比中项.
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:
an=am·qn-m(n,m∈N*).
(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),
,{a
},{an·bn},
仍是等比数列.
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,
当q=1时,Sn=na1;
当q≠1时,Sn=
=
.
6.等比数列前n项和的性质
公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.
知识拓展
等比数列{an}的单调性
(1)满足
或
时,{an}是递增数列.
(2)满足
或
时,{an}是递减数列.
(3)当
时,{an}为常数列.
(4)当q<0时,{an}为摆动数列.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( )
(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( )
(3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( )
(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.( )
(5)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=
.( )
(6)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.( )
题组二 教材改编
2.[P51例3]已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
,则公比q=______.
3.[P54A组T8]在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.
题组三 易错自纠
4.若1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则
的值为________.
5.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则
=________.
6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机________分钟,该病毒占据内存64MB(1MB=210KB).
题型一 等比数列基本量的运算
1.(2018·开封质检)已知等比数列{an}满足a1=
,a3a5=4(a4-1),则a2等于( )
A.2B.1C.
D.
2.(2018·济宁模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=
,a2+a4=
,则
=________.
思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
题型二 等比数列的判定与证明
典例(2018·潍坊质检)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明:
数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
引申探究
若将本例中“Sn+1=4an+2”改为“Sn+1=2Sn+(n+1)”,其他不变,求数列{an}的通项公式.
思维升华
(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
(2)利用递推关系时要注意对n=1时的情况进行验证.
跟踪训练(2016·全国Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=
,求λ.
题型三 等比数列性质的应用
1.(2019·郑州三模)已知等比数列{an},且a6+a8=4,则a8(a4+2a6+a8)的值为( )
A.2B.4C.8D.16
2.(2019·云南省十一校跨区调研)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于( )
A.40B.60C.32D.50
思维升华等比数列常见性质的应用
等比数列性质的应用可以分为三类:
(1)通项公式的变形.
(2)等比中项的变形.
(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
分类讨论思想在等比数列中的应用
典例(12分)已知首项为
的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:
Sn+
≤
(n∈N*).
1.(2019福建漳州八校联考)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则
等于( )
A.-3B.5C.-31D.33
2.(2019·武汉市武昌区调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1等于( )
A.-2B.-1C.
D.
3.(2019·张掖市一诊)已知等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则
的值为( )
A.2B.4C.8D.16
4.(2019·山西太原三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn+3)(n∈N*)在函数y=3×2x的图象上,等比数列{bn}满足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n项和为Tn,则下列结论正确的是( )
A.Sn=2TnB.Tn=2bn+1C.Tn>anD.Tn 5.(2019·广元模拟)等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10等于( ) A.5B.9C.log345D.10 6.(2018·长春质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题: “三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为: 有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( ) A.192里B.96里C.48里D.24里 7.已知{an}是各项都为正数的等比数列,其前n项和为Sn,且S2=3,S4=15,则a3=________. 8.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是________. 9.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和为________. 10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1(n∈N*),则通项an=________. 11.(2016·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a -(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式. 12.已知数列{an}中,a1=1,an·an+1= n,记T2n为{an}的前2n项的和,bn=a2n+a2n-1,n∈N*. (1)判断数列{bn}是否为等比数列,并求出bn; (2)求T2n. 13.(2019·新乡三模)若数列{an+1-an}是等比数列,且a1=1,a2=2,a3=5,则an=________. 14.(2018·徐州质检)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+an+1= (n=1,2,3,…),则S2n+3=________. 15.已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1,前n项积为Tn,且a2a4=a3,则使得Tn>1的n的最小值为( ) A.4B.5C.6D.7 16.(2017·武汉市武昌区调研)设Sn为数列{an}的前n项和,Sn+ =(-1)nan(n∈N*),则数列{Sn}的前9项和为________.
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- 等比数列及其前n项和 VI 等比数列 及其 作业